n阶矩阵

第２３卷第４期

２００７年７月

齐齐哈尔大学学报

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．２３．Ｎｏ．４

Ｊｕｌｙ，２００７

阶幂零矩阵的判别及构建

吴险峰

（齐齐哈尔大学理学院．黑龙江齐齐哈尔１６１００６）

摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质．给ｌ山构建幂零矩阵的几种方法。

关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式

中圈分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—９８４Ｘ（２００７）０４－００７２－－０４

对于有限维的线性空问，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系，而线性变换是比较抽象的，

不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空问的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性

变换．有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何

构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解

决这一问题的关键。因此本文给出了，，阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域Ｆ上

的矩阵．数均为数域Ｆ上的数。

１幂零矩阵的判别

引理１，｜阶矩阵 是幂零矩阵，当且仅当Ａ的所有特征根都是零。

引理２设，｜阶矩阵 ＝（口 ）的特征多项式为

（ ）＝ｌｘｓ一 ＝ ＋６ｌ ＋…＋ 一ｌｘ＋ｂ

则 为Ａ的一切川喻主子式的和乘以（－０ ，ｋ＝ｌ，２，…，，，，即

‘ 口让

：（－１）ｔ∑ 口

ｉ ·‘ｑ ｌ

‘口‘‘

定理１数域Ｆ上，｜阶矩阵Ａ为幂零矩阵，当且仅当Ａ的一切ｋ（七：ｌ，２，…，，｜）阶主子式之和为零。

证

必要性：设 ＝（ ），则由引理２有

ｆＡ（ｘ）＝Ｊ． 一 ＝ ＋ｂｔｘ ‘＋…＋６， ｌ ＋

其中系数 为Ａ的一切七阶主子式的和乘以（－０ ，ｋ＝ｌ，２，…， ，即

ｌ ＩｉｉＩ ＩＩ

－（－１） ∑ 口

‘” ｌ

１ ｌ＾｜ ：

啦疆日期：２０ｏ６－Ｉ１－２３

基金璜目：黑龙江省教育厅科研项目（Ｊ １５２１３１３）

作者篱介：吴险峰（１９７０－）．女，黑龙汀省拜泉县人，剐教授．大学本科，现主要从事李代数及李超代数，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｉａｎｆｅｎ ａｏｓｈ国ｌ６３．ｃｏｉｎ。

．． ．。 ．

：

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第４期 ，ｌ阶幂零矩阵的判别及构建

已知Ａ为幂零矩阵，则 （ ）＝ ，所以有６ｌ＝６２＝…＝ ＝０，从而 的一切七（七＝ｌ，２，…，，，）阶主子式之

和为零。

充分性：已知Ａ的一切ｋ（ｋ＝ｌ，２Ｉｉ￣￣￣Ｉｉ，，）阶主子式的和为零，南引理２，ｂｌ＝６２＝…＝ ＝０，于是，

（ ）＝ ，则Ａ的特征根都为零，南引理ｌ知Ａ为幂零矩阵，至此定理１得证。

因为严格ｊ角形矩阵的一切ｋ阶主子式的和为零，故严格上（下）三角形矩阵为幂零矩阵。

推论１ 数域 上的二阶矩阵Ａ为幂零矩阵的充要条件是Ａ的一切ｋ（ｋ＝ｌ，２）阶主子式之和为零。

推论２数域 上的三阶矩阵Ａ为幂零矩阵的充要条件是Ａ的一切ｋ（ｋ＝ｌ，２，３）阶主子式之和为零。

定理２数域Ｆ上，，阶矩阵Ａ为幂零矩阵，当且仅当Ａ与严格上（下）三角形矩阵相似。

Ｆ｝１引理ｌ不难证明定理２。证略。

２幂零矩阵的构建

方法１利用定理１的充分性，特别适合二，三阶幂零矩阵的构建。 ‘

二阶矩阵 ＝ｆ：ＩＩ ＯＩ２ ｌ为幂零矩阵的充要条件是口ｌｌ＋口２：：０，且 ：０，即主对角元之和等于零，且ａ ＼、口２Ｉ ２２ “ ～

它的两行溅列）成比例。

例…（ ）一 ｃ＝（ 都是二 零

ｆ口ＩＩ 口Ｉ２ 口Ｉ３ １

三阶矩阵 ＝ｌ ａ２。ａ２２ ａ２３ Ｉ为幂零矩阵的充要条件是ａｌｌ＋ａ２２＋口３３＝０，ａＩｌａ２２－Ｏｉ２０２１－ＦａＩｌａ３３一

￣，Ｑ３１￣１３２ ａ３３Ｊ

口。３口３。＋口：：口３３一ａ２３口３：＝０，且 ＝０，即 的主对角元之和为零，主对角线两元素乘积之和等于所有位置

关于主对角线对称的两元素乘积之和，且 ＝０。

厂２ 例２ Ａ＝ｌ ２

ｌ

—ｌ 一２、 ｌ

一２ ０ ｌ，Ｂ＝

一ｌ ０Ｊ

ｌ

２

ｌ

２

５

２

都是三阶的幂零矩阵。

方法２利用定理２的充分性，特别适合三阶以上的幂零矩阵的构建。

南定理２知，与严格三角形矩阵相似的矩阵就是幂零矩阵，因此由相似矩阵可以构建新的幂零矩阵。

众所周知，可逆矩阵是初等矩阵的乘积，故可逆矩阵Ｐ可取为各种初等矩阵或初等矩阵之积。

例３ Ａ＝

０ ｌ ０ ０

０ ０ 一ｌ ０

０ ０ ０ ｌ

０ ０ ０ ０

是严格上三角形矩阵，故Ａ是幂零矩阵，取Ｐ＝

ｌ ｌ

一２ ２

４ ４

—８ ８

，求得

２●一５—２。一

２ ０

—

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－７４· 齐齐哈尔大学学报

ｒ ８ ８—２—２ １ ｆ一２—１４—３２—３２１ Ｐ一＝Ｔ≥ｌ一 一；一 一 ｌ，冈此 ＝Ｐ Ｐ＝ ｌ 一 一 ３ ｌ也是幂零矩阵。

Ｉ一２—１ ２ ｌ ｌ １ １ —８ １６

定理３若Ａ是幂零矩阵，１）则２，１，Ａ （ｋ

零矩阵。

证略。

定理４设Ａ．Ｂ为， 阶幂零矩阵，若ＡＢ

证已知Ａ，Ｂ为门阶幂零矩阵．设它们

∈Ｚ ）也是幂零矩阵；２）若Ｐ为可逆矩阵，则Ｐ一’ Ｐ也是幂

＝ＢＡ，则Ａ＋Ｂ，ＡＢ为幂零矩阵。

的幂零指数分别为止。，ｋ：。

１）取 ｋ。＋ ，南于ＡＢ＝ ，则有

（ ＋Ｂ ＝ Ｃ Ａｍ一 ＝Ａｍ＋Ｃ ｍ ＋…＋Ｃｍ ＡＢｍ一十 ”， 、 ，』一 １１ｌ １１

１ １１１

七＝０

当ｋ＜ｋ２时，ｍ—ｋ＞ｋ．，从而Ａ 一 ＝０，推出Ｃ ＊ Ａ Ｂ ＝０；当ｋ≥ｋ，时，显然有Ｂ ：０，推出Ｃ＊Ａ Ｂ ＝０，

所以（Ａ＋Ｂ ＝０，即Ａ＋Ｂ为幂零矩阵。

２）取ｍ＝ｍａｘ｛ｋ．，ｋ，｝，Ｆｈ于 ＝ＢＡ，则有（ ＝ＡｍＢ ＝０，即 为幂零矩阵。

方法３在前２种方法的基础上。利件Ｊ定理３和定理４可以构建新的幂零矩阵。

定理３说明：给定一个幂零矩阵，那么它的数乘阵和方幂还是幂零矩阵；或者只要给出一个可逆矩阵．

南已知的幂零矩阵就可以构建新的幂零矩阵。定理４说明：两个同阶的幂零矩阵相乘可换，那么它们的和、

差、乘积仍为幂零矩阵。

例４ 取例２中的幂零矩阵Ａ

Ｉ １ ０

． Ｉ～ １ ０ １

０ ０

２三 是幂零矩阵。

取 ＝［２；三］，＝［ 取 【 一。一主Ｊ’显然 ～ 【：

例５

，，０ ｌ

ｌ ０ ＡＢ

＝Ｉ ｆ ０

０

，，０

Ｉ

设 ： ｊ ０

０

都是幂零矩阵。Ｆｈ例３可知，

］都是幂零矩阵。

于是 。＝ Ｐ＝［ 二；

２； ３２一３１１６２８６］也是幂零矩阵 Ｉ．…， ．一 一 Ｉ～… 。。。 ｌ８ Ｉ Ｊ

易征ＡＢ＝ＢＡ，

、，

ｌ

，Ｌ

３

ｌＪ

＼、●●●，●●●，／

ｌ Ｏ ｌ

Ｏ●Ｏ

●Ｏ Ｏ ，，，．．．．。．，．。。 ．。 ＝

ｐ

取

Ｏ Ｏ Ｏ

，，，．．．．。．，．。。 ．。

ｌＪ

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ｎ

一

２

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第４期 ，ｌ阶幂零矩阵的判别及构建 ·７５·

参考文献

ｆｌ１张禾瑞，郝钢新．高等代数ｆｌ ．北京：高等教育出版社，１９９７：１８２－２０６．

ｆ２１杨子胥．高等代数习题解（下册）ｆ ．济南：Ｉ“尔科技出版社，１９８２：８３６－８６６．

Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ａｎｄ ｂｕｉｌｄ ａｂｏｕｔ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｎ－ｏｒｄｅｒ

ＷＵ Ｘｉａｎ－ｆｅｎｇ

（Ｓｃｉｅｎｃｅ ＣｏＨｅｇｅ，Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｑｉｑｉｈａｒ １６１００６，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｂｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｖａｌｕｅ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｎａｔｕｒｅ ａｂｏｕｔ ｉｔ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｉｌｏｐｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ；ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｍａｔｒｉｘ；ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｍｉｎｏｒ

ＳＨＷ４．２—０．７／９５厂７０一Ａ¨型锅炉改造

讷河市供热处一台ＳＨＷ４．２—０．７／９５／７０－Ａ １１型锅炉，长期处于出力不足、热效率低的状态，锅炉实际运行远达不到设计的

额定参数，而且锅炉的排烟浓度超标．燃料燃烧不彻底，即浪费能源又污染环境．又给冬季供热带来很大困难。

１原因分析

该锅炉运行时，作者对炉膛进行测试，温度最高达到６８０￣Ｃ左右且炉膛内烟气没有扰动现象，预燃Ⅸ的煤层过长，主燃

区燃烧不彻底，炉膛里的烟气中未燃物与空气混合不良增加了烟气中不完全燃烧损失，导致锅炉热效率低，排烟浓度超标，

其原冈是前后拱布置不合理，前拱过高而后拱短覆盖率低起不到助燃的作用。

炉拱在层燃炉中的主要作用就是引燃、保温和强化燃料气体挥发份的燃烧，炉拱的优劣对锅炉的效率和出力具有决定性

作用，炉拱南前、后拱组成，前拱又称引燃拱，主要作用是将热量辐射到新燃料层上，使燃料被加热引燃，前拱的形状应使

火焰的热量尽可能多的辐射煤层，提高其温度，强化传热使预燃区煤及时着火。该炉型前拱长度一般ｌｍ左右，高度以满足

辐射面积为准。后拱又称对流拱或保温拱，它的主要作用：１）后拱将拱区内主燃区中产生的高温烟气导向拱外燃烧 ，以

强化那里的燃烧，同时加热前拱，使前拱区形成高温，从而促使新燃料因高温辐射而引燃。２）混合对流作用。当后拱出１３

的烟气达到一定的流速（一般不低于５～７ ｍ／ｓ）便能与前拱配合，使烟气产生强烈扰动，使烟气中的可燃物充分燃烧，减少

热损失及飞灰热损失，有效利用炉内受热面。后拱对新燃料提供的对流热约－ 新燃料吸收总热量的ｌ１％。为保证后拱出口的

烟气流速足够高，后拱应低而长且拱前端的形状应采用锐角形。３）保温促燃作用。 保证主燃区及燃尽区内在高温环境下．

燃料才能充分燃尽。

２解决措施

基于上述锅炉炉拱的工作机理，以强化燃烧，改善预燃区的着火条件，结合该炉的实际情况，对炉拱改造如下：

１）重新捣制前拱，并使前拱落低０．７５ ｍ．其倾角南原３５。改为５０ｏ，南于前拱高度降低，即增加了前拱蓄热量，使前

拱Ⅸ温度提高到ｌ ２００℃左右，对燃料预燃十分有利。

２）将原后拱及后拱管拆除，对后拱管重新设计，然后重新捣制后拱使后拱加长，新制后拱前端下落０．４ｍ且前伸长０．５ｍ．

新的后拱覆盖率南原来的４５％增加到５５％，拱前端南原来圆形改为锐角形。南于后拱落低，长度加长端部下倾使出１３截面积

减少，提高烟气流速，导流作用提高，烟气扰动显著，强化了炉内燃烧，又提高了前拱区的温度，改善了燃料的着火条件．

燃料能充分燃烧，排烟浓度符合标准要求。

３改造运行效果

ＳＨＷ４．２—０．７／９５／７０－Ａ １Ｉ型锅炉经过对其前、后拱重新改造后．取得了令人满意的效果，锅炉着火稳定、燃烧彻底、混合

强烈、工况均衡、通应煤种强、运行安全稳定、炉渣含碳量降低，炉膛温度达到ｌｌＯ０￣Ｃ左右，经测试改造前每年带采暖面

积７万余ｍ ，运行６ ｈ Ｉ水温度为４５。ｃ左右，改造后带采暖面积８．７万余ｍ ，运行５ ｈ ｆｕ］水温度达６３℃，每年节煤约３００ｔ。

通过改造不但保证了冬季供暖．又给供热部门节约了大量资金。

（孟昭禄；讷河市质量技术监督局，黑龙江齐齐哈尔１６１０００）

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