除法求导公式

导数乘除法则和复合函数求导1

*导数公式：(1)C0(C为常数)nn1(x)nx(nR)(2)

(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinxxx(a)alna(a0,a1)(5)

(ex)ex

(6)(logax)1(lnx)x

1(a0,a1)xlna

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三、导数的运算法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等

于这两个函数的导数的和(或差),即：

[f(x)g(x)]f(x)g(x).特别地：

[Cf(x)]Cf(x).(C为常数)

动手做一做1.求下列函数的导数：

y

23xx

3

2

(1)y3x22x(2)y4log3xx

1y4ln4xln3

(3)ysinxe

x

ycosxex1y22xcosx1

(4)yx0.5tanx2.使得函数y个？3

2x6x的导数等于0的x值有几两个，±1例2

法则2:两个函数的积的导数，等于第一个

函数的导数乘以第二个函数数

加上第一个函

乘以第二个函数的导数[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x).

例1求下列函数的导数：

(1)yxe;2x

(2)yxsinx;(3)yxlnx解析

解：(1)设

f(x)x,g(x)e2

x

,可知

xf(x)2x,g(x)e

由导数的乘法法则：

f(x)g(x)可得：2x

f(x)g(x)f(x)g(x)x2x2x

(xe)2xexe(2xx)e

(2)由导数的乘法法则

f(x)g(x)可得：

f(x)g(x)f(x)g(x)

sinx(xsinx)(x)sinxx(sinx)xcosx2x(3)由导数的乘法

法则可得：

1(xlnx)(x)lnxx(lnx)1lnxxlnx1x例2

法则3:两个函数的商的导数，等于分

子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除

以分母的平方,即：

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[]2g(x)g(x)

其中g(x)0

例2求下列函数的导数：

sinxx2(1)y;(2)yxlnx解析

解：(1)设f(x)sinx,g(x)x,则可知

f(x)cosx,g(x)1由导数的除法运算法则

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2g(x)可得

sinxcosxxsinx1xcosxsinx22xxx

(2)由导数的除法运算法则可得：212xlnxx2xx(2lnx1)

x22lnx(lnx)lnx

练习

2.求ytanx的导数sinx解ycosx''sinx(sinx)cosxsin

x(cosx)y'=()cosxcos2x

1cosxcosxsinx(sinx)22cosxcosx

1(tanx).2cosx

例3求下列函数的导数：

co

sxx(1)yx(lnxsinx);(2)yx22

解析

解：(1)可设

f(x)x,g(x)lnxsinx2

1则有：f(x)2x,g(x)cosxx根据导数的乘法法则，得：

x(lnxsinx)2

12x(lnxsinx)x(cosx)xx2xlnx2xsinxx2cosx2

本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。

例3求下列函数的导数：

cosxx(1)yx(lnxsinx);(2)yx22

解析

(2)由导数的除法法则，可得：

cosxxx2(cosxx)x2(cosxx)2x22(x)(sinx1)x22x

cosx2x24xxsinx2cosxx例4x3

1.计算下列函数的导数：

x(1)y1cosx

1cosxxsinxy(1cosx)2

3x24xx1x1y(2)y2222x(x1)x1xxe12e(3)yxy

xe1(e1)2x2.求曲线y在x处的切线方程。sinx323ky3

6232y()x3618

3.用两种方法求y(2x的导数2

2

3)(3x2)2

解：y(2x3)(3x2)(2x3)(3x2)法一：

4x(3x2)(2x3)32

18x8x932法二：y(6x4x9x6)2

18x8x92

1.计算下列函数的导数：

(1)y(2x3)(3x1)2

y18x24x9

(2)y(x2)2xx(3)yxsincos22

2y1x

1y1cosx2本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则

计算。2.求曲线yx(2x3)2在(1,9)处的切线方程。ky27y

27x18

例3

小结*导数的乘除法法则：

f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)

kf(x)kf(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2g(x)