史上最诡异的数学题

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数

我喜欢各种各样的证明。⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。说“没有突破⼝”还不够确切。准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀

些技巧使得证明变得⾮常简单。我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。

直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命

题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。

今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章ThePowerOfMathematics恰好说明了这⼀点。⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。今天我想把我

已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。

如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。当时的很多数学证明都隐性

地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之

⽐。被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危

机。今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。换

句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。直到看了答案后才恍然⼤悟，数学

上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。证明过程地球⼈都知道：假设p/q

已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也

是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

根号2是⽆理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。你

可以在⽹上看到，Theodorus对数学的贡献之⼀就是“证明了3到17的⾮平⽅数的根是⽆理数”。这给后⼈留下了⼀个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？⼀个俄国的数学历史家“猜”到

了原因。

他猜测，当时Theodorus就是⽤类似上⾯的⽅法证明的。⽐如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已

经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。⼀个奇数2n+1的平⽅应该等于4(n^2+n)+1，也即8*n(n+1)/2+1，其中n(n+1)/2肯定是⼀个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进

p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2–x*m(m+1)/2]=x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样⼀个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表⽰

成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平⽅根⼀定不是有理数。在x=9时发⽣了⼀次例外，但9是⼀个平⽅数。⽽当x=17时这种证明⽅法没办法解释

了，于是Theodorus就此打住。

实际上，我们上⾯说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的⼏何。因此，Hippasus当时

的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的⾼科技东西。事实上，Hippasus当时完全运⽤的平⾯⼏何知识来证明他的结论。有⼈觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊⼈

是怎么提出“所有数都可以表⽰为整数之⽐”的呢？其实古希腊⼈根本没有提出什么整数之⽐，这是后⼈的⼀个误解。当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。

两条线段的公度单位，简单的说就是找⼀个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并⽤于测量）。寻找公度量的

⽅法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段⼀样长。熟悉数论的同学⼀下就明⽩了这就是欧⼏⾥德的辗转相除算法求最⼤公约数。第⼀次数学危机的根

结就在于，古希腊⼈理所当然地相信不断地截取线段，总有⼀个时候会截到两个线段⼀样长。后来，Hippasus画了这么⼀张图，告诉⼤家了⼀个反例：有可能这个操作会⽆穷尽地进⾏下

去。

现在看他怎么解释，在图中的BC和BD之间进⾏辗转相除为什么永远不能停⽌。把BD减去BC，剩下⼀段DE。以DE为边做⼀个新的⼩正⽅形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为

等腰直⾓且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去⼀个DE相当于减去⼀个FC，就只剩下⼀段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，⽽它们

是⼀个新的正⽅形的边和对⾓线，其⽐例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且⽆限递归下去。最后的结论⽤我们的话说就是，不存在⼀个数x使得BC和BD

的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表⽰为两个整数之⽐p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。

有发现上⾯的代数证明和⼏何证明之间的共同点吗？它们都是这样的⼀个思路：假设我已经是满⾜这个性质的最⼩的那个了，那么我就可以⽤⼀种⽅法找出更⼩的⼀个来，让你⽆限循

环下去，数⽬越来越⼩！