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极大无关组

更新时间:2022-12-08 21:58:50 阅读: 评论:0

初一英语公开课ppt-教的偏旁


2022年12月8日发(作者:实数)

求向量组的秩与最大无关组

一、对于具体给出的向量组,求秩与最大无关组

1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法:为阶梯形矩阵

【定理】矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩.(三秩相等)

①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A;

②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;

③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.

【例1】求下列向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6)的秩.

解1:以a1,a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.

因为阶梯形矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.

解2:以a1,a2,a3为行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为

阶梯形矩阵后可求.

因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.

2、求向量组的最大线性无关组的方法

方法1逐个选录法

给定一个非零向量组A:1,2,…,n

①设10,则1线性相关,保留1

②加入2,若2与1线性相关,去掉2;若2与1线性无关,保留1,2;

③依次进行下去,最后求出的向量组就是所求的最大无关组

【例2】求向量组:

123

1,2,12,3,14,1,1,,,TTT的最大无关组

解:因为a1非零,故保留a1

取a2,因为a1与a2线性无关,故保留a1,a2

取a3,易得a3=2a1+a2,故a1,a2,a3线性相关。

所以最大无关组为a1,a2

方法2初等变换法

【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.

证明从略,下面通过例子验证结论成立.

向量组:1=(1,2,3)T,2=(-1,2,0)T,3=(1,6,6)T

由上可得,求向量组的最大线性无关组的方法:

(1)列向量行变换

①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;

②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;

③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组,即为最大无关组.

【例3】求向量组:1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最

大无关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。

解以1,2,3,4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩:





















1234

23141-13-3

113305-510

,,,

324105-510

10210-11-2

A

--

-













1133

0112

0000

0000

知r(A)=2,故向量组的最大无关组含2个向量

而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故1,2为向量组的一个最大无关组

事实上,













12

11

01

00

00



-

,知r(1,2)=2,故1,2线性无关

为把3,4用1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵

102-1

01-12

0000

0000















AB

记矩阵B=(1,2,3,4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性,因此向量1,2,3,4与向量

1,2,3,4之间有相同的线性关系。



312412

210

101

212,2

000

000















而

因此3=21-2,4=-1+22

【例4】求下列向量组的一个最大无关组,其中:



1

1,2,0,3

2

2,5,3,6

3

0,1,3,0,

4

2,1,4,7

5

5,8,1,2.

解:以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B

再利用初等行变换,将B再化成行最简形矩阵C.

用最大线性无关组表示其它向量的方法为:

①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;

②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;

③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C;

④根据行最简形矩阵列向量的分量,用最大无关组表示其它向量.

初等矩阵A,B,C

初等变换行作为

求秩无关B中见

线性无关C做陪

【例5】求向量组,

,,

的秩和一个最大无关组.

解:

(1)当且

时,,故向

量组的秩为3,且是一个最大无关组;

(2)当时,

,故向量组的秩为3,且

是一个最大无关组;

(3)当时,若

,则,此时

向量组的秩为2,且是一个最大无关组.若

,则,此

时向量组的秩为3,且是一个最大无关组.

(2)行向量列变换

同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵(即列向量的转置矩阵),通过做初等列变换来求向量

组的最大无关组。

【例6】求向量组,

,,

,的一个最

大无关组.

解:以给定向量为行向量作成矩阵A,用初等列变换将A化为行最简形:

(行向量列变换)

由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关,故

是向量组的一个最大无关组.

方法3线性相关法(了解)

若非零向量组A:1,2,…,n线性无关,则A的最大无关组就是1,2,…,n

若非零向量组A线性相关,则A中必有最大无关组

二、对于抽象的向量组,求秩与最大无关组常利用一些有关的结论,如:

1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩

2、等价向量组有相同的秩

3、秩为的向量组中任意

个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组

【例7】设向量组的秩为

.又设

,,

求向量组的秩.

解法1:由于

且,

所以,

故向量组与

等价,从而

的秩为.

解法2:将看做列向量,则有

,其中

可求得

0,即

可逆,从而

可由线性表示,

由已知可由

线性表示,故这两个向量组等价,即它们有相同的秩.

【例7】设向量组(Ⅰ):和向量组(Ⅱ):

的秩分别为

和,而向量

组(Ⅲ):的

秩为.证明:

.

证:若和

中至少有一个为零,显然有,结论成立.

若和都不

为零,不妨设向量组(Ⅰ)的最大无关组为,向量组(Ⅱ)的

最大无关组为,由于向量组可以由它的最大无关组线性表

示,所以向量组(Ⅲ)可以由,

线性表示,

故:

的秩

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