求向量组的秩与最大无关组
一、对于具体给出的向量组,求秩与最大无关组
1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法:为阶梯形矩阵
【定理】矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩.(三秩相等)
①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A;
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;
③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.
【例1】求下列向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6)的秩.
解1:以a1,a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.
解2:以a1,a2,a3为行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为
阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.
2、求向量组的最大线性无关组的方法
方法1逐个选录法
给定一个非零向量组A:1,2,…,n
①设10,则1线性相关,保留1
②加入2,若2与1线性相关,去掉2;若2与1线性无关,保留1,2;
③依次进行下去,最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组:
123
1,2,12,3,14,1,1,,,TTT的最大无关组
解:因为a1非零,故保留a1
取a2,因为a1与a2线性无关,故保留a1,a2
取a3,易得a3=2a1+a2,故a1,a2,a3线性相关。
所以最大无关组为a1,a2
方法2初等变换法
【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.
证明从略,下面通过例子验证结论成立.
向量组:1=(1,2,3)T,2=(-1,2,0)T,3=(1,6,6)T
由上可得,求向量组的最大线性无关组的方法:
(1)列向量行变换
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;
③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组,即为最大无关组.
【例3】求向量组:1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最
大无关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
解以1,2,3,4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩:
1234
23141-13-3
113305-510
,,,
324105-510
10210-11-2
A
--
-
1133
0112
0000
0000
知r(A)=2,故向量组的最大无关组含2个向量
而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故1,2为向量组的一个最大无关组
事实上,
12
11
01
00
00
-
,知r(1,2)=2,故1,2线性无关
为把3,4用1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵
102-1
01-12
0000
0000
AB
记矩阵B=(1,2,3,4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性,因此向量1,2,3,4与向量
1,2,3,4之间有相同的线性关系。
312412
210
101
212,2
000
000
而
因此3=21-2,4=-1+22
【例4】求下列向量组的一个最大无关组,其中:
1
1,2,0,3
2
2,5,3,6
3
0,1,3,0,
4
2,1,4,7
5
5,8,1,2.
解:以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B
再利用初等行变换,将B再化成行最简形矩阵C.
用最大线性无关组表示其它向量的方法为:
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;
③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C;
④根据行最简形矩阵列向量的分量,用最大无关组表示其它向量.
初等矩阵A,B,C
初等变换行作为
求秩无关B中见
线性无关C做陪
【例5】求向量组,
,,
的秩和一个最大无关组.
解:
(1)当且
时,,故向
量组的秩为3,且是一个最大无关组;
(2)当时,
,故向量组的秩为3,且
是一个最大无关组;
(3)当时,若
,则,此时
向量组的秩为2,且是一个最大无关组.若
,则,此
时向量组的秩为3,且是一个最大无关组.
(2)行向量列变换
同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵(即列向量的转置矩阵),通过做初等列变换来求向量
组的最大无关组。
【例6】求向量组,
,,
,的一个最
大无关组.
解:以给定向量为行向量作成矩阵A,用初等列变换将A化为行最简形:
(行向量列变换)
由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关,故
是向量组的一个最大无关组.
方法3线性相关法(了解)
若非零向量组A:1,2,…,n线性无关,则A的最大无关组就是1,2,…,n
若非零向量组A线性相关,则A中必有最大无关组
二、对于抽象的向量组,求秩与最大无关组常利用一些有关的结论,如:
1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩
2、等价向量组有相同的秩
3、秩为的向量组中任意
个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组
【例7】设向量组的秩为
.又设
,,
求向量组的秩.
解法1:由于
,
且,
所以,
故向量组与
等价,从而
的秩为.
解法2:将看做列向量,则有
,其中
可求得
0,即
可逆,从而
可由线性表示,
由已知可由
线性表示,故这两个向量组等价,即它们有相同的秩.
【例7】设向量组(Ⅰ):和向量组(Ⅱ):
的秩分别为
和,而向量
组(Ⅲ):的
秩为.证明:
.
证:若和
中至少有一个为零,显然有,结论成立.
若和都不
为零,不妨设向量组(Ⅰ)的最大无关组为,向量组(Ⅱ)的
最大无关组为,由于向量组可以由它的最大无关组线性表
示,所以向量组(Ⅲ)可以由,
线性表示,
故:
的秩
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