两个向量平行

学科教师辅导讲义

年级：辅导科目：数学课时数：

课题向量垂直、平行的充要条件及应用

教学目的通过加强练习让学生掌握扎实向量平行垂直的充要条件

教学内容

【知识梳理】

(1)两个向量平行的充要条件

a∥ba＝λbx

1

y

2

－x

2

y

1

＝O.（λ不等于0）

(2)两个向量垂直的充要条件

a⊥ba·b＝0x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0.

课堂练习与讲解：

(1)若向量

(,1),(4,)axbx

rr

，当

x

＝__2___时

a

r

与

b

r

共线且方向相同；

(2)已知

(1,2),(3,)OAOBm

uuuruuur

，若

OAOB

uuuruuur

，则

m

3

2

；

(3)已知向量(2,3)a，(,6)bx，且abP，则x为___4__________．

(4)已知向量5,(1,2)ab

r

r

，且ba





，则a



的坐标是__(

25,5

)或___

(25,5)

____。

(5)若221,2,ababa

rr

rrr

，则ba





与的夹角为_____

045

______。

(6)已知平面向量(1,2)a

r

，

(2,)bm

r

，且a

r

//b

r

，则23ab

rr

＝（B）

A、(5,10)B、(4,8)C、(3,6)D、(2,4)

(7)已知babakba3),2,3(),2,1(与垂直时k值为（C）

A．17B．18C．19D．20

(8)已知向量(3,1)a

r

，

(1,3)b

r

，

(,7)ck

r

，若

()ac

rr

∥b

r

，则k=5．

(9)已知平面向量a=,1x（），b=2,xx（－），则向量ab（C）

A平行于

x

轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线

(10)已知向量(1,1),(2,),xab若a+b与4b2a平行，则实数

x

的值是（D）

A．-2B．0C．1D．2

（11）已知

(1,1),(4,)abx

rr

，

2uab

rrr

，

2vab

rrr

，且

//uv

rr

，则x＝__4____；

（12）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，

90B

，则点B的坐标是_（1，3）或（3，-1）

_______；

（13）已知

(1,2)n

r

向量

nm

rur

，且

nm

rur

，则

m

ur

的坐标是_

(2,1)或(2,-1)

___

(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk

uuuruuuruuur

，且A、B、C三点共线，则k=

3

4

_

(15)已知四边形ABCD的三个顶点(02)A，，(12)B，，(31)C，，且2BCAD

uuuruuur

，则顶点D的坐标为（A）

A．

7

2

2







，B．

1

2

2









，C．(32)，D．(13)，

(16)已知向量(2,4)a，(1,1)b．若向量()bab，则实数的值是-3．

(17)已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°．

(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)a，(2,3)b．若向量

c

满足()//cab，()cab，则

c（B）

A．

77

(,)

93

B．

77

(,)

39

C．

77

(,)

39

D．

77

(,)

93



(19)已知向量a、b不共线，cka



b(kR),dab,如果c//d，那么（D）

A．1k且c与d同向B．1k且c与d反向

C．1k且c与d同向D．1k且c与d反向

(20)已知点(1,2)A,若向量AB

uuur

与

(2,3)a

r

同向,

||AB

uuur

=

213

,则点B的坐标为(5,4)或（-3，-8）.

(21)已知向量

(3,4),(sin,cos),ab

rr

且//ab

rr

,则tan=（C）.

A．

3

4

B.

3

4

C.

4

3

D.

4

3



(22)若，且，则向量与的夹角为（C）

A.30°B.60°C.120°D.150°

(23)若平面向量a，b满足

1ba

，

ba

平行于

x

轴，)1,2(b，则

a

（-1，1）或（-3，1）.

(24)设向量a

r

，b

r

，c

r

满足0abc

rrrr

，

()abc

rrr

，ab

rr

，若｜a

r

｜=1,则

｜a

r

｜22||b

r

+｜c

r

｜2的值是4.

(25)（本题12分）已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）

⑴若|

c

|

52

，且

ac//

，求

c

的坐标；

⑵若|

b

|=

,

2

5

且

ba2

与

ba2

垂直，求

a

与

b

的夹角θ.

解：⑴设20,52,52||),,(2222yxyxcyxc

xyyxaac2,02),2,1(,//

由











02

2

22yx

xy

∴











4

2

y

x

或











4

2

y

x

∴)4,2(),4,2(cc或

⑵0)2()2(),2()2(babababa

0||23||2,023222

22bbaabbaa……（※）

,

4

5

)

2

5

(||,5||222ba代入（※）中,

2

5

0

4

5

2352baba

,1

2

5

5

2

5

||||

cos,

2

5

||,5||













ba

ba

ba

],0[

(26)设平面内有两个向量。

试证明：；

证明：（1）

(27)已知2,32bnamc，a与c垂直，b与c的夹角为0120，且b4c，22a，求实数nm,的

值及

a

与

b

的夹角．

解：设

11

,yxa，

22

,yxb，则0232

11

yxca；

4232

22

yxcb；82

1

2

1

2

yxa；42

2

2

2

2

yxb．

解得











6

2

1

1

y

x

，或











6

2

1

1

y

x

，对应的b分别为











2

0

2

2

y

x

，或











1

3

2

2

y

x

，

分别代入2,32bnamc，解得

6,4mn

；

5

,.

6

ab

rr

(28)已知锐角ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc,向量(2sin,3),mB

ur

2(2cos1,cos2)

2

B

nB

r

,且

mn

urr

（Ⅰ）求B的大小，

（Ⅱ）如果2b，求ABC的面积

ABC

S



的最大值.

解：（Ⅰ）

mn

urr

Q，

(2sin,3),(cos,cos2)mBnBB

urr

因为

0•nm

，所以)2cos,1

2

cos2()3,sin2(2B

B

Bnm••

=B

B

B2cos3)1

2

cos2(sin22

2sincos3cos2BBB，sin23cos2BB

2sin(2)0

3

B





又0

2

B



Q2

3

B





3

B





（Ⅱ）由余弦定理得2222cosbacacB22222acacacacac

∴4ac（当且仅当a=c时取到等号）∴

ac

的最大值为4

13

sin3

24ABC

sacBac



ABC的面积

ABC

S



的最大值为

3

(29)已知



a=（x,0），



b=（1，y），（



a+

3



b）（



a–

3



b）．

（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；

（II）若直线l：y=kx+m(m



0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

解:（I）



a+

3



b=（x,0）+

3

(1,y)=(x+

3

,

3

y),



a–3



b=（x,0）3

(1,y)=(x3

,–

3

y)

.(



a+

3



b)(



a3



b),(



a+

3



b)·(



a3



b)=0,

(x+

3

)(x3

)+

3

y·(3

y)=0,

故P点的轨迹方程为

2

21

3

x

y．

（II）考虑方程组

2

2

,

1,

3

ykxm

x

y















消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0(*)

显然1-3k2

0,=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.

设x

1

,x

2

为方程*的两根，则x

1

+x

2

=

231

6

k

km



，x

0

=

2

21

31

3

2

k

km

xx







,y

0

=kx

0

+m=

231k

m



,

故AB中点M的坐标为（

231

3

k

km



，

231k

m



）,

线段AB的垂直平分线方程为y

213

m

k

=（

k

1

）

2

3

()

13

km

x

k





,

将D（0，–1）坐标代入，化简得4m=3k21,

故m、k满足

22

2

130,

431,

mk

mk











消去k2得m24m>0,解得m<0或m>4.

又4m=3k21>1,

1

,

4

m故m(

4

1

,0)(4,+)．

【点睛】本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。

(30)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点(1,3)M，(5,1)N，若点C满足(1)()OCtOMtONtR

uuuruuuuruuur

，

点C的轨迹与抛物线24yx交于A、B两点；

（1）求点C的轨迹方程；

（2）求证：OAOB

uuuruuur

；

（3）在x轴正半轴上是否存在一定点(,0)Pm，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距

离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设(,)Cxy，由

(1)OCtOMtON

uuuruuuuruuur

知，点C的轨迹为4yx.

（2）由

2

4

4

yx

yx











消y得：212160xx

设

11

(,)Axy，

22

(,)Bxy，则

12

16xx，

12

12xx,

所以

1212

(4)(4)16yyxx，所以

1212

0xxyy，于是OAOB

uuuruuur

（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为xkym,由

24

xkym

yx











消x得：2440ykym，设

33

(,)Exy，

44

(,)Fxy，

则

34

4yyk，

34

4yym.

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以OEOF

uuuruuur

即

3434

0xxyy,所以

22

34

34

0

16

yy

yy得4m，所以存在4m.

【课后练习】

向量章节练习

一、选择题

1、下列命题中，真命题是（）

A、若

0.0kka

r

则

B、若,0abab

rrrrr

则C、若0,0aa

rrr

则D、若0,0,0abab

rrrr

则或

2、若

,ab

rr

为非零向量，则abab

rrrr

是

,ab

rr

平行的（）

A、充分不必要B、必要不充分C、充要条件D、既不充分也不必要

3、若

00

(1,2),aaaa

ruurruur

为与同方向的单位向量，则的坐标为（）

A、

525

55

（，）B、

525

55

（，-）C、

525

55

（-，）

D、

525

55

（-，-）

4、如图所示，

,,,CDABaACbBDc

uuurruuurruuurruuur

设则为

（）

A、

()cab

rrr

B、abc

rrr

C、

()cba

rrr

D、bac

rrr

5、若向量

5

(1,2),(2,4)5,(),

2

abcabcac

rrrrrrrr

若则与的夹角为()

A、30oB、60oC、120oD、150o

6、若

ac

rr

与的夹角为

60o，4,(2)(3)72,bababa

rrrrrr

则的模为（）

A、2B、4C、6D、12

7、△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（）

A、（2，-7）B、（-7,2）C、（-3，-5）D、（-5，-3）

8、在四边形ABCD中，若

ABAC=0,ABCD

uuuruuuruuuruuur

且

,则四边形ABCD的形状是（）

A、平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形

9、若

(3,1),(1,1)ammbmmab

rrrr

且⊥

，则实数m=（）

A、-1或2B、-1或-2C、1或2D、1或-2

10、已知△ABC的顶点坐标是A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在BC上。若△ABD的面积是△ABC的1/3，则AD的长为（）

A、

72

2

B、32C、22D、2

二、填空题

11、若

(1,2),(4,6),abab

rruurr

则

b

a

c

d

12.已知AD、BE分别为ABCV的中线，若,ADaBEb

uuuruuur

r

r

，则用

,ab

r

r

表示AB

uuur

,得AB

uuur

________

13.已知向量1,2,3,OAOBm

uuuruuur

，若OA

uuur

OB

uuur

，则

m

___________

14.设,3,4,4xaya

rr

，若x

r

∥y

r

，则

a

_________

15.已知点2,0,3,0AB，且4,3PAPB

uuuruuur

,则P点的坐标为____________

16.一人用绳拉车沿直线方向前进30米，若绳与行进方向的夹角为

5



，人的拉力为50牛顿，则人对车所做的功为

___________

17.物体自点A出发运动点B，又折向点C，若

,ABaBCb

uuuruuur

r

r

,用,ab

r

r

表示物体的实际移位，有

AC

uuur

_____________

18.有以下6个结论：①abab

rr

rr

gg②00a

r

r

g③00a

r

r

④0BAAB

uuuruuur

r

⑤abab

rr

rr

gg⑥若,abbc

rr

rr

，则必有a

r

∥c

r

，其中成立的序号是_____________

三、解答题

19.已知4,3,,10abab

rr

rr

，求b

r

的坐标。

20.设4,10ab

r

r

，夹角为

3



，求2ab

r

r

的值。

21如图所示，已知a

r

，b

r

，作2ab

r

r

。

22.写出a

r

，b

r

两个向量的数量积的定义；已知

11

,,axy

r



22

,bxy

r

，求证：

1212

abxxyy

r

r

g。

23.已知ABCV和ABCV所在平面内一点O,且,OABCOBCA,用向量的方法

证明：

OCAB.

24．如图，一个质量为40N的物体，由两根绳子,ACBC悬挂起来，若,ACBC与铅垂线所成的角分别为30°，45°，

且物体静止不动，求绳子,ACBC需要承受多大的力？

答案：1.C2.A3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.D

10.B11.1612

22

33

ab

r

r

13.414.26或

15.

612

,

55









16.750焦耳

r

r

18.②④⑤

19.6,86,8或20.22121略22略

23.只要证明0OCAB

uuuruuur

g

24.4031,20231

ACBC

FNFN

A

B

C