球体表面积

1..球的体积和表面积（1）

设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面

把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆

片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近

似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度

n

R

，底面

就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：

22)]1([i

n

R

Rr

i

，（i＝1,2,3，···，n）

第i层“小圆片”的体积为：

V≈π

2

i

r·

n

R

＝

































2

31

1

n

i

n

R

，（i＝1,2,3，···，n）

半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn

≈

n

R3

{1＋（1－

2

21

n

）＋（1－

2

22

n

）＋···＋［1－

2

2)1(

n

n

］}

＝

n

R3

［n－

2

222)1(21

n

n•••

］（注：)12)(1(

6

1

21222•••nnnn）

＝

n

R3

［n－

6

)12()1(1

2



•

nnn

n

＝

2

3

6

)12)(1(

1(

n

nn

R



）＝





























6

)

1

2)(

1

1(

13nn

R①

当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的

体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n增大，

n

1

就越来越小，当n无限大时，

n

1

趋向于0，这时，有

V半径＝

3

3

2

R，所以，半径为R的球的体积为：V＝

3

3

4

R

1..球的体积和表面积（2）

球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）

（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，……

Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn

把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球

面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后

就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”

的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么

“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近

似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。

（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn

那么球的体积为：V＝V1＋V2＋…＋Vn

由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的

近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”

顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S’i，于是，它的体积为：

V’i＝

3

1

hiS’i，（i＝1,2,…，n）

这样就有：Vi≈

3

1

hiS’i，（i＝1,2,…，n）

V≈

3

1

（h1S’1＋h2S’2＋…＋hnS’n）①

（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分

割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi（i＝1,2,…，n）就趋向于R，S’i就趋向于Si，于是，

由①可得：V＝

3

1

RS

又V＝

3

3

4

R，所以，有

3

3

4

R＝

3

1

RS即：S＝4πR2