数列收敛

《数学分析》教案

§２收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。

教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极

限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。

教学难点：数列极限的计算。

教学方法：讲练结合。

教学程序：

引言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim

n

n

aa



的方法，这是极限较基本的内容，要

求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性）若数列

n

a收敛，则它只有一个极限。

性质２（有界性）若数列

n

a收敛，则

n

a为有界数列。

注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列(1)n

有界，但它不收敛。

性质３（保号性）若lim0

n

n

aa



（或0a），则对任何

(0,)aa





（或

(,0)aa





），存在正数

Ｎ，使得当nN时有

n

aa



（或

n

aa



）。

性质４（保不等式性）设数列

n

a与

n

b均收敛，若存在正数

0

N，使得当

0

nN时有

nn

ab，则

limlim

nn

nn

ab



。

思考：如果把条件“

nn

ab”换成“

nn

ab”，那么能否把结论换成limlim

nn

nn

ab



？

保不等式性的一个应用：

例设0(1,2,3,)

n

an，证明：若lim

n

n

aa



，则lim

n

n

aa



.

思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？

性质５（迫敛性）设收敛数列

n

a、

n

b都以a为极限，数列

n

c满足：存在正数

0

N，当

0

nN

时有

nnn

acb，则数列

n

c收敛，且lim

n

n

ca



.

注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

下面是其应用一例：

例求数列nn的极限。

性质６（极限的四则运算法则）若

n

a、

n

b

为收敛数列，则,,

nnnnnn

ababab

也都

《数学分析》教案

收敛，且有

lim()limlim

nnnn

nnn

ababab





;

lim()limlim

nnnn

nnn

ababab





.

若再做假设

0

n

b

及

lim0

n

n

b





，则数列n

n

a

b







也收敛，且有

lim

lim

lim

n

nn

n

nn

n

a

a

a

bbb







.

特别地，若

n

bc，则lim()lim

nn

nn

acac



，limlim

nn

nn

caca



.

在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；

例求

1

110

1

110

lim

mm

mm

kk

n

kk

ananana

bnbnbnb



















，其中,0,0

mk

mkab.

例求

lim

1

n

n

n

a

a

，其中1a.

例求lim(1)

n

nnn



.

例求

222

111

lim

(1)(2)nnnn











.

二数列的子列

１．引言

极限是个有效的分析工具。但当数列

n

a的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？

难道

n

a没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列

进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推

断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。

２．子列的定义

定义１设

n

a为数列，

k

n为正整数集N



的无限子集，且

123k

nnnn，则数列

12

,,,,

k

nnn

aaa

称为数列

n

a的一个子列，简记为

k

n

a.

注1由定义可见，

n

a的子列

k

n

a的各项都来自

n

a且保持这些项在

n

a中的的先后次序。简单地

讲，从

n

a中取出无限多项，按照其在

n

a中的顺序排成一个数列，就是

n

a的一个子列（或子列就是从



n

a中顺次取出无穷多项组成的数列）。

《数学分析》教案

注2子列

k

n

a

中的

k

n

表示

k

n

a是

n

a中的第

k

n

项，k表示

k

n

a是

k

n

a

中的第k项，即

k

n

a

中的第

k项就是

n

a中的第

k

n

项，故总有

k

nk

.特别地，若

k

nk

，则

k

nn

aa，即

k

nn

aa

.

注3数列

n

a本身以及

n

a去掉有限项以后得到的子列，称为

n

a的平凡子列；不是平凡子列的子

列，称为

n

a的非平凡子列。

如

221

,

kk

aa



都是

n

a的非平凡子列。由上节例知：数列

n

a与它的任一平凡子列同为收敛或发散，

且在收敛时有相同的极限。

那么数列

n

a的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

定理数列

n

a收敛

n

a的任何非平凡子列都收敛。

由此定理可见，若数列

n

a的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若

数列

n

a有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列

n

a一定发散。这是判断数列发散的

一个很方便的方法。