反常积分收敛判别法

278/18

习题8.2反常积分的收敛判别法

⒈⑴证明比较判别法（定理8.2。2）；

⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中

l0

或



时，

a

dxx)(和



a

dxxf)(

的敛散性可以产生各种不同的的情况。

解（1)定理8。2.2(比较判别法）设在

[,)a

上恒有

)()(0xKxf

，其

中

K

是正常数。则

当

a

dxx)(收敛时

a

dxxf)(

也收敛；

当

a

dxxf)(

发散时

a

dxx)(也发散.

证当

a

dxx)(

收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

0，aA

0

，

0

,AAA



:

K

dxxA

A





)(

。

于是



A

A

dxxf)(

A

A

dxxK)(

，

所以

a

dxxf)(

也收敛；

当

a

dxxf)(

发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

0

0



,aA

0

，

0

,AAA



：KdxxfA

A

)(

.

于是



A

A

dxx)(

0

)(

1



A

A

dxxf

K

，

所以

a

dxx)(

也发散。

（2）设在

[,)a

上有

0)(,0)(xxf，且0

)(

)(

lim

x

xf

x

.则当



a

dxxf)(发散

时，

a

dxx)(

也发散；但当

a

dxxf)(收敛时，

a

dxx)(

可能收敛，也可能发

散。

例如

2

1

)(

x

xf，)20(

1

)(p

x

x

p

,则0

)(

)(

lim

x

xf

x

.显然有



1

)(dxxf收敛，而对于

1

)(dxx

,则当21p时收敛，当10p时

发散。

279/18

设在

[,)a

上有

0)(,0)(xxf，且

)(

)(

lim

x

xf

x

.则当



a

dxxf)(收

敛时，

a

dxx)(

也收敛；但当

a

dxxf)(发散时,

a

dxx)(

可能发散，也可能

收敛。

例如

x

xf

1

)(，)

2

1

(

1

)(p

x

x

p

，则

)(

)(

lim

x

xf

x

.显然有



1

)(dxxf发散，而对于

1

)(dxx

，则当

1

2

1

p

时发散，当

1p

时收敛。

⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。

证定理8。2.3（Cauchy判别法）设在

[,)a(,)0上恒有

fx()0

，

K

是

正常数。

⑴若

fx

K

xp

()

,且

p1

，则

a

dxxf)(

收敛；

⑵若

fx

K

xp

()

，且

p1

,则

a

dxxf)(

发散.

推论（Cauchy判别法的极限形式)设在

[,)a(,)0上恒有

fx()0

，且

lim()

x

pxfxl



，

则

⑴若

0l

，且

p1

，则

a

dxxf)(

收敛;

⑵若

0l

，且

p1

，则

a

dxxf)(

发散.

证直接应用定理8。2。2（比较判别法)及其推论（比较判别法的极限形式），

将函数

)(x取为

px

1

.

⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴

1

132

1xex

dx

x



ln

；

⑵



1

31

tanarc

dx

x

x

；

⑶

1

10



xx

dx

|sin|

;

⑷

x

x

dx

q

p11

(Rqp,）。

解（1）当x时，

1ln

1

23xexx

～

2

3

1

x

,

280/18

所以积分

1

132

1xex

dx

x



ln

收敛.

（2）当x时，

31

arctan

x

x



～

32x



，

所以积分

1

31

tanarc

dx

x

x

收敛.

（3)因为当

0x

时有

xxx



1

1

sin1

1

，

而积分

dx

x



01

1

发散,所以积分

1

10



xx

dx

|sin|

发散。

（4）当x时,

p

q

x

x

1

～

qpx

1

，

所以在

1qp

时，积分

x

x

dx

q

p11

收敛,在其余情况下积分

x

x

dx

q

p11

发散。

⒋证明：对非负函数

fx()

，

)cpv(fxdx()



收敛与fxdx()



收敛是等价的.

证显然，由fxdx()



收敛可推出

)cpv(fxdx()



收敛，现证明当

0)(xf

时

可由

)cpv(fxdx()



收敛推出fxdx()



收敛。

由于

)cpv(fxdx()



收敛，可知极限

A

lim)(AF

A

lim



A

A

dxxf)(

存在而且有限，由Cauchy收敛原理，

0，

0

0A,

0

,AAA



：)'()(AFAF，

于是

0

,AAA



与

0

',ABB，成立



A

A

dxxf)()'()(AFAF与



B

B

dxxf

'

)()'()(BFBF,

这说明积分

0

)(dxxf与



0)(dxxf都收敛,所以积分fxdx()



收敛.

⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：

281/18

⑴

lnln

ln

sin

x

x

xdx

2

；

⑵

sinx

x

dx

p1

（Rp）；

⑶

1

tanarcsin

dx

x

xx

p

（Rp）;

⑷

sin()xdx2

0

;

⑸



a

n

mxdx

xq

xp

sin

)(

)(

（

px

m

()

和

qx

n

()

分别是m和n次多项式，

qx

n

()

在

),[ax

范围无零点.）

解（1）因为AxdxAF

2

sin)(有界，

x

x

ln

lnln

在

),2[

单调，且

0

ln

lnln

lim

x

x

x

,

由Dirichlet判别法，积分

lnln

ln

sin

x

x

xdx

2

收敛；

由于x

x

x

sin

ln

lnln

x

x

x

2sin

ln

lnln

)2cos1(

ln

lnln

2

1

x

x

x

,而积分



2ln

lnln

dx

x

x

发散，

2

2cos

ln

lnln

xdx

x

x

收敛，所以积分

2

sin

ln

lnln

dxx

x

x

发散，

即积分

lnln

ln

sin

x

x

xdx

2

条件收敛。

(2)当

1p

时,

ppxx

x

1

sin



，而

1

1

dx

xp

收敛，所以当

1p

时积分

sinx

x

dx

p1

绝对收敛；

当

10p

时，因为AxdxAF

1

sin)(

有界,

px

1

在

),1[

单调,且0

1

lim



p

xx

,

由Dirichlet判别法，积分

sinx

x

dx

p1

收敛;但因为当

10p

时积分

1

|sin|

dx

x

x

p

发散,所以当

10p

时积分

sinx

x

dx

p1

条件收敛.

（3）当

1p

时，



px

xxarctansin

px2



,而

1

1

dx

xp

收敛,所以当

1p

时积分



1

tanarcsin

dx

x

xx

p

绝对收敛；

当

10p

时，因为AxdxAF

1

sin)(

有界，

px

xarctan

在),1[单调，且

0

arctan

lim



p

xx

x

，由Dirichlet判别法，积分

1

arctansin

dx

x

xx

p

收敛；但因为当

282/18

10p

时积分

1

sin

arctan

dxx

x

x

p

发散，所以当

10p

时积分



1

arctansin

dx

x

xx

p

条件收敛。

（4)令2xt

，

0

2)sin(dxx

02

sin

dt

t

t

，由于

02

sin

dt

t

t

条件收敛，可知积分

sin()xdx2

0

条件收敛。

(5）当1mn且x充分大时,有x

xq

xp

n

msin

)(

)(

2x

K

，可知当1mn时积分



a

n

mxdx

xq

xp

sin

)(

)(

绝对收敛.

当1mn时,因为AxdxAF

1

sin)(

有界，且当x充分大时，

)(

)(

xq

xp

n

m单调且

0

)(

)(

lim

xq

xp

n

m

x

，由Dirichlet判别法可知

a

n

mxdx

xq

xp

sin

)(

)(

收敛；但由于当x

时，

)(

)(

xq

xp

n

m～

x

a

，易知

1

sin

)(

)(

dxx

xq

xp

n

m发散，所以当1mn时，积分



a

n

mxdx

xq

xp

sin

)(

)(

条件收敛.

当1mn时，由

A

xq

xp

n

m

x



)(

)(

lim

,A为非零常数、或，易知积分



a

n

mxdx

xq

xp

sin

)(

)(

发散.

⒍设

fx()

在

[,]ab

只有一个奇点

xb

，证明定理8.2。

'3

和定理8。2.



5

。

定理8。2。



3

（Cauchy判别法）设在

[,)ab

上恒有

fx()0

,若当x属于

b

的某

个左邻域

[,)bb

0

时，存在正常数

K

,使得

⑴

fx

K

bxp

()

()





，且

p1

，则fxdx

a

b()收敛；

283/18

⑵

fx

K

bxp

()

()





，且

p1

,则

fxdx

a

b()发散。

证（1)当

p1

时，积分



b

a

p

dx

xb)(

1

收敛，由反常积分的Cauchy收敛原理，

0，

0，

),0(',

:

K

dx

xb

b

b

p













'

)(

1

.

由于





')(





b

b

dxxf













'

)(

b

b

p

dx

xb

K

，所以

fxdx

a

b()收敛。

（2）当

1p

时，积分



b

a

p

dx

xb)(

1

发散，由反常积分的Cauchy收敛原理，

0

0



,

0，

),0(',

：

K

dx

xb

b

b

p

0

'

)(

1













.

由于





')(





b

b

dxxf

0

'

)(













b

b

p

dx

xb

K

,所以fxdx

a

b()发散.

推论（Cauchy判别法的极限形式）设在

[,)ab

上恒有

fx()0

，且

lim()()

xb

pbxfxl





，

则

⑴若

0l

，且

p1

，则fxdx

a

b()收敛；

⑵若

0l

，且

p1

，则fxdx

a

b()发散。

证（1)由

lim()()

xb

pbxfxl





(

lp0,1

），可知

0，

),(bbx

:

pxb

l

xf

)(

1

)(





，

再应用定理8。2.



3

的(1）.

（2）由

lim()()

xb

pbxfxl





(

lp0,1

），可知

0,),(bbx:

pxb

l

xf

)(2

)(



，

再应用定理8.2.



3

的（2）.

定理8.2。



5

若下列两个条件之一满足,则fxgxdx

a

b()()收敛：

284/18

⑴(Abel判别法）fxdx

a

b()收敛,

gx()

在

[,)ab

上单调有界；

⑵（Dirichlet判别法）

b

a

dxxfF)()(

在

],0(ab

上有界，

gx()

在

[,)ab

上

单调且

0)(lim



xg

bx

。

证（1）设

Gxg|)(|

，因为

fxdx

a

b()收敛，由Cauchy收敛原理，

0，

0，

),(,bbAA





：

G

dxxfA

A2

)(



。

由积分第二中值定理，



A

A

dxxgxf)()(



A

A

dxxfAgdxxfAg





)()()()(

A

A

dxxfGdxxfG





)()(





22

。

(2）设

MF|)(|，于是

),[,baAA





，有

MdxxfA

A

2)(.因为

0)(lim



xg

bx

，

0,

0，

),(bbx

，有

M

xg

4

)(





。由积分第

二中值定理,



A

A

dxxgxf)()(



A

A

dxxfAgdxxfAg





)()()()(

|)(|2|)(|2AgMAgM









22

.

所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有

a

dxxgxf)()(

收

敛的结论。

⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴

1

12

3

0

1

xx

dx

()

；

⑵

lnx

x

dx

20

1

1

;

⑶

1

220

2

cossinxx

dx;

⑷

1

0

2





cosx

x

dx

p

;

⑸

|ln|xdxp

0

1；

⑹

xxdxpq11

0

11()；

⑺1

0

11|ln|)1(dxxxxqp。

解（1）因为

3

2)1(

1

xx

～

3

2

1

x

)0(x，

3

2)1(

1

xx

～

3

1

)1(

1

x

)1(x，所以

积分

1

12

3

0

1

xx

dx

()

收敛.

285/18

(2)因为

1

ln

lim

2

1x

x

x2

1



，且对任意

10，

0

1

ln

lim

2

0



x

xx

x



，即当

0x

充分小

时，有

xx

x1

1

ln

2





,所以积分

lnx

x

dx

20

1

1

收敛.

（3）因为

xx22sincos

1

~

2

1

x

)0(x

，

xx22sincos

1

～

2)

2

(

1

x



)

2

(



x

，所以

积分

1

220

2

cossinxx

dx发散。

(4）因为

px

xcos1

～

22

1

px

)0(x

，所以当

3p

时积分

1

0

2





cosx

x

dx

p

收敛,当

3p

时积分

1

0

2





cosx

x

dx

p

发散。

（5）首先对任意的10与任意的p,有0]|ln|[lim

0





p

x

xx，即当0x充分

小时，有

x

xp1

ln；且pxln

～

px)1(

1

)1(x

.所以当

1p

时,积分

|ln|xdxp

0

1收敛,当

1p

时，积分|ln|xdxp

0

1发散.

（6)11)1(qpxx~

px1

1

)0(x

，11)1(qpxx～

qx1)1(

1

)1(x

，所以在

0,0qp

时积分xxdxpq11

0

11()收敛,在其余情况下积分

xxdxpq11

0

11()发散.

（7)|ln|)1(11xxxqp～

qx)1(

1

)1(x

，且

0|)]ln|)1(([lim11

2

1

0







xxxxqp

p

x

，即当0x充分小时，有

2

1

11

1

ln)1(

p

qp

x

xxx



，所以当

1,0qp

时积分1

0

11|ln|)1(dxxxxqp收

敛,在其余情况下积分1

0

11|ln|)1(dxxxxqp发散。

⒏讨论下列反常积分的敛散性:

286/18

⑴

xx

x

dx

pq

11

0

1

ln

（Rqp,)；

⑵

1

122

3

0xxx

dx

()()

;

⑶

ln()1

0



x

x

dx

p

;

⑷

0

tanarc

dx

x

x

p

；

⑸2/

0

tan



dx

x

x

p

;

⑹

xdxpx

1

0

e;

⑺

1

0xx

dx

pq

;

⑻

2ln

1

dx

xxqp

。

解（1）

xx

x

dx

pq

11

0

1

ln





2

1

0

1

ln

dx

x

xp





2

1

0

1

ln

dx

x

xq





1

2

1

11

ln

dx

x

xxqp

。

当

0p

，

0q

时积分



2

1

0

1

ln

dx

x

xp

与积分



2

1

0

1

ln

dx

x

xq

显然收敛，且当

1x

时，





x

xxqp

ln

11

)1(1ln

1)1(11)1(111





x

xxqp

～

qp

x

xqp







1

)1)((

，

即

1

2

1

11

ln

dx

x

xxqp

不是反常积分,所以积分

xx

x

dx

pq

11

0

1

ln

收敛.

（2）







0

3

2)2()1(

1

dx

xxx





1

0

3

2)2()1(

1

dx

xxx





2

1

3

2)2()1(

1

dx

xxx







2

3

2)2()1(

1

dx

xxx

。

因为

3

2)2()1(

1

xxx

~

3

1

3

1

2

1

x



)0(x

，

3

2)2()1(

1

xxx

～

3

2

)1(

1





x

)1(x

，

所以积分



1

0

3

2)2()1(

1

dx

xxx

收敛；

因为

3

2)2()1(

1

xxx

~

3

2

)1(

1





x

)1(x,

287/18

3

2)2()1(

1

xxx

～

3

1

3

)2(

1

2

1





x

)2(x

，

所以积分



2

1

3

2)2()1(

1

dx

xxx

收敛；

因为

3

2)2()1(

1

xxx

～

3

1

3

)2(

1

2

1





x

)2(x

,

3

2)2()1(

1

xxx

～

3

4

1

x

)(x

，

所以积分

2

3

2)2()1(

1

dx

xxx

收敛.

由此可知积分

1

122

3

0xxx

dx

()()

收敛。

（3）







0

)1ln(

dx

x

x

p





1

0

)1ln(

dx

x

x

p



1

)1ln(

dx

x

x

p

。

由

px

x)1ln(

~

1

1

px

)0(x

,可知当

2p

时，积分

1

0

)1ln(

dx

x

x

p

收敛，当

2p

时，积分

1

0

)1ln(

dx

x

x

p

发散;

当

1p

时,0

)1ln(

lim2

13



























p

p

xx

x

x，即当

0x

充分大时，有

2

13

1)1ln(







pp

x

x

x

，其中1

2

13



p

，可知当

1p

时,积分

1

)1ln(

dx

x

x

p

收敛,当

1p时，积分

1

)1ln(

dx

x

x

p

发散；

综上所述，当21p时，积分

0

)1ln(

dx

x

x

p

收敛，在其余情况下积分



0

)1ln(

dx

x

x

p

发散。

（4）

0

tanarc

dx

x

x

p1

0

tanarc

dx

x

x

p



1

tanarc

dx

x

x

p

.

288/18

由

px

xarctan

～

1

1

px

)0(x

，可知当

2p

时积分1

0

tanarc

dx

x

x

p

收敛;

由

px

xarctan

~

px2



)(x

，可知当

1p

时积分

1

tanarc

dx

x

x

p

收敛。

所以当

21p

时积分

0

tanarc

dx

x

x

p

收敛,在其余情况下积分



0

tanarc

dx

x

x

p

发散。

（5）2/

0

tan



dx

x

x

p

4/

0

tan



dx

x

x

p

2/

4/

tan





dx

x

x

p

。

由

px

xtan

~

2

1

1

p

x

)0(x

，可知当

2

3

p

时积分4/

0

tan



dx

x

x

p

收敛，当

2

3

p

时积分4/

0

tan



dx

x

x

p

发散；

由

px

xtan

～

1

2

2

()

2

p

px





)

2

(



x,可知积分2/

4/

tan





dx

x

x

p

收敛.

所以当

2

3

p

时积分2/

0

tan



dx

x

x

p

收敛，当

2

3

p

时积分

2/

0

tan



dx

x

x

p

发散。

(6）xdxpx

1

0

e1

0

1edxxxp



1

1edxxxp。

由于积分



1

1edxxxp收敛，及xpex1～

px1

1

)0(x

，所以当

0p

时

积分xdxpx

1

0

e收敛，当

0p

时积分xdxpx

1

0

e发散.

（7）

1

0xx

dx

pq







1

0

1

dx

xxqp







1

1

dx

xxqp

.

当qp时,显然积分

1

0xx

dx

pq

发散；

当qp时，由于

289/18

qpxx

1

~

),min(

1

qpx

)0(x

，

qpxx

1

~

),max(

1

qpx

)(x

,

所以当

1),min(qp

，且

1),max(qp

时积分

1

0xx

dx

pq

收敛，其余情况下积

分

1

0xx

dx

pq

发散。

（8）设

1p

，则对任意的q,当x充分大时，有

2

1

1

ln

1





pqp

x

xx

，因为

1

2

1



p

,

可知积分

2ln

1

dx

xxqp

收敛.

设

1p

，则对任意的q，当x充分大时，有

2

1

1

ln

1





pqp

x

xx

，因为

1

2

1



p

,

可知积分

2ln

1

dx

xxqp

发散.

设

1p

，令

txln

,则

2ln

1

dx

xxqp



2ln

qt

dt

，由此可知当

1p

或

1,1qp

时积分

2ln

1

dx

xxqp

收敛，在其余情况下积分

2ln

1

dx

xxqp

发散。

⒐讨论下列反常积分的敛散性：

⑴

x

x

dx

p





1

201

;

⑵

xx

x

dx

q

p

sin

11

（

p0

);

⑶

0

sinco

dx

x

x

p

x

;

⑷

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

;

（5）1

0

2

1

cos

1

dx

xxp

；

(6）

















1

1

sin

dx

x

x

x

p

(

0p

）.

解（1）

x

x

dx

p





1

201









1

0

2

1

1

dx

x

xp









1

2

1

1

dx

x

xp

.

由

2

1

1x

xp





～

px1

1

)0(x，

2

1

1x

xp





～

px3

1

)(x，可知当20p时积

分

x

x

dx

p





1

201

收敛，在其余情况下积分

x

x

dx

p





1

201

发散.

290/18

（2）当

1pq

时，由

qpp

q

xx

xx







1

1

|sin|

，可知积分

xx

x

dx

q

p

sin

11

绝对收

敛。

当

pqp1

时，因为AxdxAF

1

sin)(有界，当x充分大时

p

q

x

x

1

单

调减少，且

0

1

lim



p

q

xx

x

,由Dirichlet判别法，积分

11

sin

dx

x

xx

p

q

收敛;

但因为积分

11

|sin|

dx

x

xx

p

q

发散，所以当

pqp1

时积分

sinx

x

dx

p1

条

件收敛。

当pq时，由于n时2

2

sin

1

q

n

p

n

xx

dx

x









不趋于零，可知积分

xx

x

dx

q

p

sin

11

发散.

(3）

0

sinco

dx

x

x

p

x

1

0

sinco

dx

x

x

p

x



1

sinco

dx

x

x

p

x

。

由

p

x

x

xecossin

～

px

1

)0(x

，可知当

1p

时积分1

0

sinco

dx

x

x

p

x

收敛，在其

余情况下积分1

0

sinco

dx

x

x

p

x

发散.

当1p时,易知积分

1

sin|cos|e

dx

x

x

p

x

发散；当0p时，易知积分



1

sinco

dx

x

x

p

x

发散。

当

10p

时,因为

1cos

1

sinexdxeA

x，

px

1

单调减少，且0

1

lim



p

xx

,由

Dirichlet判别法；可知积分

1

sinco

dx

x

x

p

x

收敛.

综上所述,当10p时，积分

0

sinco

dx

x

x

p

x

条件收敛，在其余情况下积分

291/18



0

sinco

dx

x

x

p

x

发散.

（4)

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

1

0

sin2sine

dx

x

x

p

x



1

sin2sine

dx

x

x

p

x

。

由

p

x

x

xe2sinsin

~

1

2

px

)0(x

,可知当

2p

时积分1

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

收敛,在其

余情况下积分1

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

发散.

当

21p

时，显然积分

1

sin|2sin|e

dx

x

x

p

x

收敛;当

1p

时,易知积分



1

sin|2sin|e

dx

x

x

p

x

发散；当

0p

时，易知积分

1

sin2sine

dx

x

x

p

x

发散.

当

10p

时，因为





)1(

sin02sink

k

xxdxe

，可知A

xxdxe

0

sin2sin

有界,且

px

1

单调减少，0

1

lim



p

xx

,由Dirichlet判别法，可知积分



1

sin2sine

dx

x

x

p

x

收敛.

综上所述，当

21p

时积分

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

绝对收敛，当

10p

时积分



0

sin2sine

dx

x

x

p

x

条件收敛，在其余情况下积分

0

sin2sine

dx

x

x

p

x

发散.

（5)令

2

1

x

t

,则

1

0

2

1

cos

1

dx

xxp

tdt

t

p

cos

1

2

1

1

2

3





.

于是可知当

1p

时积分1

0

2

1

cos

1

dx

xxp

绝对收敛；当31p时积分

1

0

2

1

cos

1

dx

xxp

条件收敛，当3p时积分1

0

2

1

cos

1

dx

xxp

发散。

292/18

（6）当

1p

时，因为

ppxx

x

x

1

1

sin

















，可知积分















1

1

sin

dx

x

x

x

p

绝对收敛.

当

10p

时,因为

















2

6

1

sin









n

n

p

dx

x

x

x

p

n



















2

32

1







，而级数



















1

2

1

n

p

n





发散，所以积分















1

1

sin

dx

x

x

x

p

发散;又因为





dx

x

x

x

p

1

)

1

sin(

dx

x

x

x

x

x

p





1

sin

1

coscos

1

sin

，注意到当

x

充分大时，

px

x

1

sin

与

px

x

1

cos

都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分















1

1

sin

dx

x

x

x

p

收敛，所以

积分















1

1

sin

dx

x

x

x

p

条件收敛.

10．证明反常积分

0

4sinsinxdxxx

收敛.

证对任意

AAA'"

，由分部积分法，

"

'

4sinsinA

A

xdxxx"

'

4

2

)(cos

4

sinA

A

xd

x

x

"

'

2

4

4

cossin

A

A

x

xx

















"

'

2

4

4

coscosA

A

dx

x

xx

"

'

3

4

2

sincosA

A

dx

x

xx

。

显然，当A时,等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理,可知反常积

分

0

4sinsinxdxxx

收敛.

11．设fx()单调，且当

x0

时

fx()

，证明：fxdx()

0

1收敛的必要条

件是lim()

x

xfx





0

0.

证首先由

fx()

的单调性，对于充分小的10x，有

293/18

x

x

dttfxf

x

2

)()(

2

0

.

由Cauchy收敛原理，



x

x

x

dttf

2

0

0)(lim，于是得到

0)(lim

0





xxf

x

.

12．设

a

dxxf)(

收敛，且

)(xxf

在

),[a

上单调减少,证明：

0)()(lnlim



xfxx

x

.

证首先容易知道当x时,

)(xxf

单调减少趋于

0

，于是有

0)(xxf

,且

x

x

dt

t

ttfxfxx

1

)()()(ln

2

1

0x

x

dttf)(

。

然后由Cauchy收敛原理，

0)(lim



x

x

x

dttf

，于是得到

0)()(lnlim



xfxx

x

。

13．设

fx()

单调下降，且lim()

x

fx



0，证明：若



fx()

在

[,)0

上连续,则反常

积分

fxxdx()sin2

0

收敛。

证首先由分部积分法,



0

2sin)('xdxxf

0

2)(sinxxdf

0

2sin)(xdxxf

.

由于AxdxAF

0

2sin)(

有界，

fx()

单调下降，且lim()

x

fx



0，由

Dirichlet判别法，可知积分

0

2sin)(xdxxf

收敛，从而积分

fxxdx()sin2

0

收

敛.

14.设

a

dxxf)(

绝对收敛，且lim()

x

fx



0,证明fxdx

a

2()收敛.

证首先由lim()

x

fx



0，可知aA,Ax,有1)(xf，即当Ax时,

成立)()(2xfxf。因为积分

a

dxxf)(

绝对收敛，于是由比较判别法,

积分fxdx

a

2()收敛.

15．若fxdx

a

2()收敛，则称

fx()

在

[,)a

上平方可积（类似可定义无界函数

294/18

在

[,]ab

上平方可积的概念).

⑴对两种反常积分分别探讨

fx()

平方可积与

fx()

的反常积分收敛之间的

关系；

⑵对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含;

⑶对无界函数的反常积分,证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。

解(1）

a

dxxf)(收敛不能保证fxdx

a

2()收敛，例如：

x

x

xf

sin

)(,

则

1

)(dxxf收敛，但

1

2)(dxxf发散；

fxdx

a

2()收敛不能保证

a

dxxf)(收敛，例如：

x

xf

1

)(，则



1

2)(dxxf收敛，但

1

)(dxxf发散。

（2)fxdx

a

2()收敛不能保证

a

dxxf)(绝对收敛，例如:

x

x

xf

sin

)(

,则



1

2)(dxxf收敛,但

1

)(dxxf不是绝对收敛的;



a

dxxf)(绝对收敛不能保证fxdx

a

2()收敛,例如：



















其他0

]

1

,[

)(

2

3



n

n

nnxn

xf

，则

1

)(dxxf绝对收敛,但

1

2)(dxxf发散。

（3)由

)](1[

2

1

)(2xfxf

,可知b

a

dxxf)(2收敛保证b

a

dxxf)(绝对收敛;

但b

a

dxxf)(绝对收敛不能保证b

a

dxxf)(2收敛，例如：

x

xf

1

)(,则

1

0

)(dxxf绝对收敛,但1

0

2)(dxxf发散。

16。证明反常积分

sin

sin

x

xx

dx

p



1

当

p

1

2

时发散，当

1

2

1p

时条件收敛,当

p1

时绝对收敛.

证当

p1

时，对充分大的x，有

xx

x

psin

sin

px

2

,由于积分

1

2

dx

xp

收敛，可知积分

sin

sin

x

xx

dx

p



1

绝对收敛.

当

10p

时，利用等式

295/18

)sin(

sinsin

sin

sin2

xxx

x

x

x

xx

x

pppp





。

这时积分

1

sin

dx

x

x

p

收敛；积分

1

2

)sin(

sin

dx

xxx

x

pp

当

1

2

1p

时收敛，当

2

1

0p

发散.

当

1

2

1p

时,由于



4

3

4

sin

sin







n

n

p

dx

xx

x

1)1(

1

22





ppn



,因为级数

1)1(

1

1





pp

nn

发散，所以积分

1sin

sin

dx

xx

x

p

发散.

综上所述,当

1

2

1p

时，积分

sin

sin

x

xx

dx

p



1

条件收敛；当

2

1

0p

时，

积分

sin

sin

x

xx

dx

p



1

发散。

当

0p

时，因为有



2

2

4

2sin

sin







n

n

p

dx

xx

x2

2

2

4

sin

2

n

n

x

dx















16

2

,由

Cauchy收敛原理，可知积分

sin

sin

x

xx

dx

p



1

发散。