sinx的平方

1/15

专题四三角函数与复数

[考点聚焦]

考点1：函数y=Asin<)0,0)(Ax的图象与函数y=sinx图象的关系以与根据图

象写出函数的解析式

考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；

考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；

考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角

函数关系式；

考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；

考点6、复数的基本概念与运算.

[自我检测]

1．同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.

2．诱导公式是指α的三角函数与－α,180º,90º,270º,360º－

α,k360º+α三角函数之间关系：奇变偶不变,符号看象限.

3．两角和与差的三角函数：sin<αβ>=_______________________;

cos<αβ>=________________________;tan<αβ>=_________________________.

4．二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________

tan2α=_____________.

5．半角公式：sin

2



=_______,cos

2



=_______,tan

2



=________=________=______.

6．万能公式sinα=_____________,cosα=_____________,tanα=_____________.

7．三角函数的图象与性质：

y=sinxy=cosxy=tanx

定义域

值域

图

象

单调性

奇偶性

周期性

[重点•难点•热点]

问题1：三角函数的图象问题

2/15

关于三角函数的图象问题,要掌握函数图象的平移变化、压缩变化,重点要掌握函数

y=Asin<)0,0)(Ax的图象与函数y=sinx图象的关系,注意先平移后伸缩与先伸

缩后平移是不同的,要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式.

例1．〔05##理〕要得到

2cosyx

的图象,只需将函数)

4

2sin(2



xy的图象上所有

的点的

A、横坐标缩短到原来的

1

2

倍〔纵坐标不变〕,再向左平行移动

8



个单位长度

B、横坐标缩短到原来的

1

2

倍〔纵坐标不变〕,再向右平行移动

4



个单位长度

C、横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,再向左平行移动

8



个单位长度

D、横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,再向右平行移动

4



个单位长度

思路点拨：将)

4

2sin(2



xy化为)

4

2cos(2



xy,再进行变换.

解答：变换1：先将)

4

2cos(2



xy的图象向左平移

8



个单位,得到

xxy2cos2]

4

)

8

(2cos[2



的图象,再将

xy2cos2

的图象的横坐标缩短

到原来的2倍得到

xycos2

.

变换2：先将)

4

2cos(2



xy的图象的横坐标缩短到原来的2倍,得到

)

4

cos(2



xy的图象,再将)

4

cos(2



xy的图象向左平移

4



个单位,得到

xycos2.

由上可得,应选C.

演变1：函数)20,0,)(sin(Rxxy

的部分图象如图,则〔〕

A．

4

,

2







B．

6

,

3









C．

4

,

4







D．

4

5

,

4









点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅,再将〔1,10坐标代入即可.

问题2：三角函数的求值问题

3/15

关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,

正确选择所求三角函数值的符号

例2：已知

5

1

cossin,0

2

xxx



.

〔I〕求sinx－cosx的值；〔Ⅱ〕求

xx

xxxx

cottan

2

cos

2

cos

2

sin2

2

sin322





的值.

思路分析：将sinx-cosx=

5

1

平方,求出sinxcosx的值,进而求出〔sinx-cosx〕2,然后由角的范

围确定sinx-cosx的符号.

解法一：〔Ⅰ〕由,

25

1

coscossin2sin,

5

1

cossin22xxxxxx平方得

即.

25

49

cossin21)cos(sin.

25

24

cossin22xxxxxx

又,0cossin,0cos,0sin,0

2

xxxxx



故.

5

7

cossinxx

〔Ⅱ〕

x

x

x

x

x

x

xx

xxxx

sin

cos

cos

sin

1sin

2

sin2

cottan

2

cos

2

cos

2

sin

2

sin3222











125

108

)

5

1

2()

25

12

()sincos2(cossinxxxx

解法二：〔Ⅰ〕联立方程















.1cossin

,

5

1

cossin

22x

xx

由①得,cos

5

1

sinxx将其代入②,整理得,012cos5cos252xx





















.

5

4

cos

,

5

3

sin

,0

2

.

5

4

cos

5

3

cos

x

x

xxx



或

故.

5

7

cossinxx

〔Ⅱ〕

xx

xxxx

cottan

2

cos

2

cos

2

sin

2

sin322





x

x

x

x

x

x

sin

cos

cos

sin

1sin

2

sin22







①

②

4/15

125

108

)

5

3

5

4

2(

5

4

)

5

3

()sincos2(cossinxxxx

点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等

基本知识,以与推理和运算能力.

演变1：已知)

3

tan(sin,

25

7

2cos,

10

27

)

4

sin(







及求.

点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.

问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题

有关三角函数的单调性、周期性等问题,通常需要先变形化简,然后求解.

例3：设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线

8



x.

〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求函数)(xfy的单调增区间；〔Ⅲ〕画出函数)(xfy在区间],0[

上的图像.

思路点拨：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线)(

2

Zkkx



,其对称轴与x轴交点的

横坐标即是使函数取得最值的x值.

解：〔Ⅰ〕)(

8

xfyx是函数



的图像的对称轴,,1)

8

2sin(



.,

24

Zkk







.

4

3

,0





〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知).

4

3

2sin(,

4

3

xy因此

由题意得.,

2

2

4

3

2

2

2Zkkxk









所以函数.],

8

5

,

8

[)

4

3

2sin(Zkkkxy











的单调增区间为

〔Ⅲ〕由知)

4

3

2sin(



xy

x0

8



8

3

8

5

8

7



y

2

2

－1010

2

2



故函数上图像是在区间],0[)(xfy

5/15

点评：本小题主要考查三角函数性质与图像的基本知识,考查推理和运算能力.

演变3：已知向量

baxf

xx

b

xx

a)()),

42

tan(),

42

sin(2()),

42

tan(,

2

cos2(令



.

求函数f的最大值,最小正周期,并写出f在[0,π]上的单调区间.

问题4："拆项"与"添项"的问题

"拆项"与"添项"是指在作三角变换时,对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.

例4：〔1〕求





8sin15sin7cos

8sin15cos7sin





的值；

〔2〕已知：

4

1

)

2

tan(,

5

2

)tan(



,求：)

4

tan(



的值.

思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如〔1〕中的含有角7º、15º、

8º,发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º,故可将7º拆成15º－8º；同理在第〔2〕题中





4

可以拆成两角差,即)

4

()(



.

解：〔1〕





8sin15sin7cos

8sin15cos7sin





＝





8sin15sin)815cos(

8sin15cos)815sin(





＝





15cos8cos

15sin8cos

＝tan15º=





30sin

30cos1

=

32

<2>∵





4

=)

4

()(





6/15

∴tan<





4

>=tan[)

4

()(



]＝

)

4

tan()tan(1

)

4

tan()tan(













＝

4

1

5

2

1

4

1

5

2





＝

22

3

点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系,

根据实际情况,对角进行"拆"或"添"变形,这样可以大大减少运算量.

演变4：求





20cos

20sin10cos2

的值.

点拨与提示：10º＝30º－20º.

问题五：复数方程和共轭复数

复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：

①Z∈RZZ,②非零复数y为纯虚数

0yy

,这两个充要条件是用整体观点处

理复数的生要工具.

例5：##数k的值,使方程02)2(2kixikx至少有一个实根.

思路分析：已知方程是一元二次方程,系数含有参数,并且方程有一个实根,设出实根,利用复

数相等可得出实数方程组,从而得解.

解：设



是方程的实根,则02)2(2kiik,

即0)2()2(2ikk根据复数相等的充要条件得：











02

022

k

k





,消去

得k2=8,∴k=22

点评：如果利用一元二次方程的判别式△＝〔k+2i〕2－4<2+ki>＝k2－12,要使方程至

少有一个实根,只需△≥0,即k≤

32

,k≥

32

,这样的解法是错误的.错误的原因在于：

一元二次方程的判别式△＝b2-4ac≥0是实系数一元二次方程有实根的充要条件,不适合

于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为



,

将x＝



代入方程,根据复数相等的条件来解.

演变5：解复数集中的方程：

0)2()252(22ixxxx

点拨与提示：整理成关于x的一元二次方程,用求根公式求解.

例6：设z是虚数,

z

zW

1

是实数,

u

u

u







1

1

,求证：u为纯虚数.

7/15

思路分析：本题证法很多,可以从共轭复数运算的角度给出证明.

证明：∵

z

zW

1

∈R,∴

z

z

z

z

z

z

111

,∴0)

11

(

z

z

zz

∴0)

||

1

1)((

2



z

zz,∵z是纯虚数,∴0zz,∴|z|＝1,∴

z

z

1



∵u

z

z

z

z

z

z

z

z

u

























1

1

1

1

1

1

1

1

)

1

1

(.∴0uu.∵z是虚

数,∴1z,∴0u,∴u为纯虚数.

点评：用整体观点处理复数问题时,应注意利用前面提到的充要条件.

演变6：设z

1

,z

2

为两个非零复数,且｜z

1

+z

2

｜=|z

1

－z

2

|,求证：2

2

1)(

z

z

为负数.

点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解.

专题小结

1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法,升幂降幂法、辅助元素法,"1”的代换法等．对

于三角公式要记忆准确〔在理解基础上〕,并要注意公式成立的条件,在应用时,要认真分析,

合理转化,避免盲目性．

2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象

的形状和位置特征,要准确掌握,它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函

数图象各种变换的实质要熟练掌握,不能从形式上简单判断．

3．解三角形时,要根据条件正确选择正、余弦定理以与三角变换式．要充分发挥图形

的作用,注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能

[临阵磨枪]

一、选择题

1．已知f=cos3x,则f的值为〔〕

A0B1C－1D

2

3

2．〔2006年##卷〕ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量

(,)pacb

,

(,)qbaca

,若

//pq

,则角C的大小为

6



3



2



2

3



8/15

3．〔2006年##卷〕将函数sin(0)yx的图象按向量,0

6

a











平移,平移后的图

象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是〔〕

A．sin()

6

yx



B．sin()

6

yx





C．sin(2)

3

yx



D．sin(2)

3

yx





4．把函数)3sin3(cos

2

2

xxy的图象适当变动,就可得到y=－sin3x的图象,这种

变动可以是〔〕

A沿x轴向右平移

4



B沿x轴向左平移

4



C沿x轴向右平移

12



D沿x轴向左平移

12



5．已知复数z

1

,z

2

在复平面上对应的点分别是A,B,O为坐标原点,当

z

1

=2〔cos60º+isin60º〕•z2,|z2|=2,则△AOB的面积为〔〕

A

34

B

32

C

3

D2

6．复数z＝1－cosθ－isinθ〔3＜θ＜4π〕的辐角主值是〔〕

A

2

3

B

2

3

C

2



D

2

3

7．函数y=3sin+5sin的最大值为〔〕

A

2

11

B

2

13

C7D8

8．在△OAB中,O为坐标原点,]

2

,0(),1,(sin),cos,1(



BA,则当△OAB的面积

达最大值时,〔〕

A．

6



B．

4



C．

3



D．

2



9．在△ABC中,若

ba

baBA









2

tan,其中a,b分别是∠A,∠B的对边,则△ABC是

〔〕

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形

10．函数y=

2

3

cos32sin

2

1

2xxy的最小正周期为〔〕

A2πBπC

2



D

4



9/15

二、填空题

11已知sinα=

5

3

,α∈<

2



,π>,tan<π－β>=

2

1

,则tan<α－2β>=______

12设α∈<

4

3

,

4



>,β∈<0,

4



>,cos<α－

4



>=

5

3

,sin<

4

3

+β>=

13

5

,则

sin<α+β>=_________

13．已知复数：

0

32zi,复数z满足

00

3zzzz,则复数z

14．设函数f的图象与直线x=a,x=b与x轴所围成图形的面积称为f在[a,b]上

的面积,已知函数y＝sin〔nx〕在[0,

n



]上的面积为

n

2

〔n∈N

*

〕,〔i〕y＝sin3x在[0,

3

2

]

上的面积为；〔ii〕y＝sin〔3x－π〕＋1在[

3



,

3

4

]上的面积为.

三、解答题

15不查表求值：

.

10cos1

)370tan31(100sin130sin2





16〔2006年##卷〕已知

310

,tancot

43





〔Ⅰ〕求tan的值；

〔Ⅱ〕求

225sin8sincos11cos8

2222

2sin

2

















的值.

17．在复数范围内解方程：

i

i

izzz







2

3

)(2

.

18．〔2006年四川卷〕已知,,ABC是三角形ABC三内角,向量

1,3,cos,sinmnAA,且1mn.

〔Ⅰ〕求角A；〔Ⅱ〕若

22

1sin2

3

cossin

B

BB







,求tanB.

19已知cosα+sinβ=

3

,sinα+cosβ的取值范围是D,x∈D,求函数y=

104

32

log

2

1



x

x

的

最小值,并求取得最小值时x的值

参考答案

1．C提示：1180cos)60(cos)30(sinff

10/15

2B提示：222//()()()pqaccabbabacab,利用余弦定理可得

2cos1C,即

1

cos

23

CC



,故选择答案B.

3．C提示：将函数sin(0)yx的图象按向量,0

6

a











平移,平移后的图象所

对应的解析式为sin()

6

yx



,由图象知,

73

()

1262



,所以2.

4．D提示：)]

12

(3sin[)

4

3sin(



xxy

5．B提示∠AOB＝60º,｜z

2

|=2|z

1

|=4,3260sin||||

2

1

21





zzS

AOB

6．B提示：

)]

2

3

sin()

2

3

[cos(

2

sin2







iz,∵0

2

sin,2

22

3









,

).3(

2

1

arg,

22

3

0







Z

7．C提示：y=3sin+5sin＝3sin+5sin[＋60º]

＝

7)20sin(7)20cos(

2

35

)20sin(

2

11

xxx

8．D提示：

cossin

2

1

2

1

)sin1)(cos1(

2

1

cos

2

1

sin

2

1

1

OAB

S

11

sin2

24

,当2即

2



时,面积最大.

9．D提示：由正弦定理得：

2

cos

2

sin2

2

cos

2

sin2

sinsin

sinsin

2

tan

BABA

BABA

Ba

BA

ba

baBA





















＝

2

cot

2

tan

BABA

,∴0

2

tan

BA

或1

2

cot

BA

∴0

2



BA

或

22





BA

∴A＝B或A＋B＝90º

10．D提示：)

2

2sin(

2

3

2

3

2cos

2

3

2sin

2

1

xxxy,则T

11．

24

7

提示∵sinα=

5

3

,α∈<

2



,π>,∴cosα=－

5

4

11/15

则tanα=－

4

3

,又tan<π－β>=

2

1

可得tanβ=－

2

1

,

2

2

1

2()

2tan4

2

tan2.

1

1tan3

1()

2















2

34

()

tantan7

43

tan(2)

34

1tantan224

1()()

43

















12

65

56

提示α∈<

4

3

,

4



>,α－

4



∈<0,

2



>,又cos<α－

4



>=

5

3

65

56

)sin(.

65

56

13

5

5

4

)

13

12

(

5

3

)

4

3

sin()

4

sin()

4

3

cos()

4

cos()]

4

3

()

4

cos[(

]

2

)

4

3

()

4

sin[()sin(

.

13

12

)

4

3

cos(,

13

5

)

4

3

sin().,

4

3

(

4

3

).

4

,0(,

5

4

)

4

sin(























































即

13．1-

3

2

i提示：设z=a+bi,由<3+2i>=3+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,

∴a=1,b=

3

2

.

14．

3

2

,

3

4

提示：由题意得：，，xy

3

4

2

3

2

]

3

2

0[3sin上的面积为在



上的图象在]

3

4

3

[1)3sin(



，xy为一个半周期结合图象分析其面积为

3

2

.

15答案2

16．解：<Ⅰ>由

10

tancot

3

得23tan10tan30,即

1

tan3tan

3

或,又

3

4



,所以

1

tan

3

为所求.

〔Ⅱ〕

225sin8sincos11cos8

2222

2sin

2

















=

1-cos1+cos

54sin118

22

2cos











12/15

=

55cos8sin1111cos16

22cos









=

8sin6cos8tan6

22cos22











=

52

6



17．解：原方程化简为iizzz1)(2

,

设z=x+yi,代入上述方程得x2+y2+2xi=1－i,∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－

2

1

且

y=±

2

3

,∴原方程的解是z=-

2

1

±

2

3

i.

18．解：〔Ⅰ〕∵1mn∴1,3cos,sin1AA即3sincos1AA

31

2sincos1

22

AA











,

1

sin

62

A











∵

5

0,

666

AA



∴

66

A



∴

3

A





〔Ⅱ〕由题知

22

12sincos

3

cossin

BB

BB







,整理得22sinsincos2cos0BBBB

∴cos0B∴2tantan20BB

∴tan2B或tan1B

而tan1B使22cossin0BB,舍去∴tan2B

∴tantanCAB





tanAB

tantan

1tantan

AB

AB







23

123







853

11





19解设u=sinα+cosβ则u2+<

3

>2

=2+2=2+2sin<α+β>≤4

∴u2≤1,－1≤u≤1即D=［－1,1］,

设t=

32x

,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤

5

x=

2

32t

13/15

2

max

0.5

min0.50.50.5

23112

.

4

410248

42

2

42

2,2,.

8

log0,

25

loglog2log8,

82

1

2,232,.

2

xt

M

xt

t

t

ttM

t

yMM

y

txx

















当且仅当即时

在时是减函数

时

此时

[挑战自我]

设a,b,c为△ABC的三边,a≤b≤c,R是△ABC的外接圆半径,令f=a+b－

2R-8R

2

sin

2

sin

2

sin

CBA

,试用C的大小来判定f的符号.

解：f=2R〔sinA+sinB－1－4

2

sin

2

sin

2

sin

CBA

〕

＝2R[

2

sin)

2

cos

2

(cos21

2

cos

2

sin2

CABABABAB









]

＝4R

2

sin

2

cos42)

2

sin

2

(sin

2

cos

CC

RR

CABAB





＝4R

2

sin42)

2

sin

2

(sin

2

cos2

C

RR

CCAB





＝2R)

2

sin

2

cos

2

cos2)(

2

sin

2

(cos

CCABCC







由a≤b≤c,得A≤B≤C,所以0＜B－A＜B＋A,因此

2

cos

2

cos

CAB





,

2

sin

2

cos

2

cos

CABAB









,所以

2

sin

2

cos

2

cos2

CCAB





故当f>0时,

2

sin

2

cos

CC

,则0＜C＜

2



当f＝0时,

2

sin

2

cos

CC

,则C＝

2



当f＜0时,

2

sin

2

cos

CC

,则C＞

2



[答案与点拨]

演变1：由图得2,8

4

T

T,由T=

2



,得

4



,在y=sin<

4

x



>中令x=1,y=1,得

14/15

2

42

k



,2

4

k



,得

4



,选

演变2：〔解法一〕由题设条件,应用两角差的正弦公式得

)cos(sin

2

2

)

4

sin(

10

27







,

即

5

7

cossin①

由题设条件,应用二倍角余弦公式得

)sin(cos

5

7

)sin)(cossin(cossincos2cos

25

7

22故

5

1

sincos②

由①式和②式得

5

4

cos,

5

3

sin.因此,

4

3

tan,由两角和的正切公式

.

11

32548

334

334

4

33

1

4

3

3

tan31

3tan

)

4

tan(



























解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得2sin212cos

25

7

解得

5

3

sin,

25

9

sin2即

由

5

7

cossin,

10

27

)

4

sin(



可得

由于0

5

7

sincos,0cos

5

7

sin且,故



在第二象限,于是

5

3

sin.

从而

5

4

5

7

sincos,以下同解法一.

演变3：)

42

tan()

42

tan()

42

sin(

2

cos22)(





xxxx

baxf

2

1tantan1

22

22

22cos(sincos)

22222

1tan1tan

22

2sincos2cos1

222

xx

xxx

xx

xxx









xxcossin=)

4

sin(2



x.

15/15

所以2)(的最大值为xf,最小正周期为,2]

4

,0[)(



在xf上单调增加,[,]

42



上单调减

少.

演变4：∵10º＝30º－20º,

∴原式＝











20cos

20sin)20sin30sin20cos30(cos2

20cos

20sin)2030cos(2

＝2cos30º=

3

.

演变5：原方程可化为022)5()2(2ixixi

△＝iiiiii188241024)22)(2(4)5(2.

而18i的平方根为)1(3i,所以方程的根为

)2(2

)1(35

2,1i

ii

x





,∴ixx

5

3

5

1

,2

21

.

演变6：提示：∵｜z

1

+z

2

｜=|z

1

－z

2

|〔y

1

y

20〕,∴|1||1|

2

1

2

1

z

z

z

z

.即

2

1

z

z

在复平面内对

应的点到〔－1,0〕、〔1,0〕的距离相等,∴

2

1

z

z

对应的点在虚轴上,即

2

1

z

z

为纯虚数.

演变题要有点拨,原创题有详解,一般题给答案