对角面

线面角的求法总结

LT

解：设点B到AB

1

C

1

D的距离为h,

∵V

B﹣AB1C1=V

A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△

BB1C1·AB，易得h=12／5

设AB与面AB

1

C

1

D所成的角为θ,则sinθ

=h／AB=4／5

A

1

C

1

D

1

H

4

C

B

1

2

3

B

A

D

图2

∴AB与面AB

1

C

1

D所成的角为arcsin4

／5

3.利用公式cosθ=cosθ1

·cosθ

2

（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜

足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的

一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，

B

α

O

A

C图3

θ

1

为OA与OB所成的角，即线面角，θ

2

为OB与

OC所成的角，那么cosθ=cosθ1

·cosθ

2

（同学

们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角

是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角

中最小的角（常称为最小角定理）

例3（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所

成的角为60°,，求直线OA与面OBC所成的

角的余弦值。

解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC

内的射影在∠BOC的平分线OD上，则

∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知

∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos

∠DOC

∴cos60°=cos∠AOD·cos30°

∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC

所成的角的余弦值为√3／3。

O

α

D

A

C

B

图4

（一）复习：

1．直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线

在平面内）

2．思考：当直线a与平面的关系是aA时，如

何反映直线与平面的相对位置关系呢？

（可以用实物来演示，显然不能用直线和平

面的距离来衡量）

（二）新课讲解：

1．平面的斜线和平面所成的角：

已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，

OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是

斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意

一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成

角为

1

，AB与AC所成角为

2

，AO与AC所成角为，

则易知：

1

||||cosABAO，

212

||||cos||coscosACABAO

又∵||||cosACAO，

可以得到：

12

coscoscos，

注意：

2

(0,)

2



（若22



，则由三垂线定理可知，

OAAC，即

2



；与“AC是平面内的任意一条直

线，且BCAC，垂足为C”不相符）。

易得：

1

coscos又1

,(0,)

2



即可得：

1

．

则可以得到：

（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，

是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成

角中最小的角；

（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它

在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面

所成角（或叫斜线和平面的夹角）。

说明：1．若a，则规定a与所成的角是直角；





2



1

O

C

B

A



2．若//a或a，则规定a与所成的角为

0；

3．直线和平面所成角的范围为：090；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面

内直线所成角的最小值（

12

coscoscos）。

2．例题分析：

例1．如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜

足，,AOO为垂足，BC为内的一条直线，

60,45ABCOBC，求斜线AB和平面所成角。

解：∵AO，由斜线和平面所成角的定义可知，

ABO为AB和所成角，

又∵

12

coscoscos，

∴coscos60122

cos

coscos45222

ABC

ABO

CBO







，

∴45BAO，即斜线AB和平面所成角为45．

例2．如图，在正方体

1

AC中，求面对角线

1

AB与对

角面

11

BBDD所成的角。

〖解〗（法一）连结

11

AC与

11

BD交于O，连结OB，

∵

111

DDAC，

1111

BDAC，∴

1

AO平面

11

BBDD，

∴

1

ABO是

1

AB与对角面

11

BBDD所成的角，

在

1

RtABO中，

11

1

2

AOAB，∴

1

30ABO．

（法二）由法一得

1

ABO是

1

AB与对角面

11

BBDD所成的

角，

又∵

11

2

coscos45

2

ABB，1

1

6

cos

3

BB

BBO

BO

，

O

C

B

A



1

B1

A

1

C

A

B

C

1

D

D

O

∴11

1

1

2

cos3

2

cos

cos2

6

3

ABB

ABO

BBO







，∴

1

30ABO．

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜

线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。

另外，在条件允许的情况下，用公式

2

1

coscoscos

求线面角显得更加方便。

例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，

求AC与平面BCD所成角的余弦值。

解：过A作AO平面BCD于点O，连接,,COBODO，

∵ABACAD，∴O是正三角形BCD的外心，

设四面体的边长为a，则3

3

COa，

∵90AOC，∴ACO即为AC与平面BCD所成角，

∴3

cos

3

ACO，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值

为3

3

．

五．课堂练习：课本第45页练习第1，2，3题；

第47页习题9.7的第1题。

六．小结：1．线面角的概念；

2．

12

coscoscos及应用步骤：

12

,,在

图形中所表示的角。

七．作业：课本第45页练习第4题、第47页习

题9.7的第2题。

O

D

C

B

A

补充：1如图，PA是平面的斜线，BAC在平面内，

且满足90BAC，又已知60PABPAC，求PA和平

面所成的角。

2．如图，已知PA正方形ABCD所在平面，且

24,610PCPBPD，求PC和平面ABCD所成的角。

A

P

C

B



A

B

C

D

P