cosc

实用标准

文案大全

正弦定理和余弦定理

正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

内容

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R

a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

(2)sinA＝

a

2R

，sinB＝

b

2R

，sinC＝

c

2R

；

(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝

csinA

cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

；

cosB＝

c2＋a2－b2

2ac

；

cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

S

△ABC

＝

1

2

absinC＝

1

2

bcsinA＝

1

2

acsinB＝

abc

4R

＝

1

2

(a＋b＋c)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、

r

选择题

在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()

A．1个B．2个C．0个D．无法确定

解析∵bsinA＝6×

2

2

＝3，∴bsinA

在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为

3

2

，则BC的长为()

A.

3

2

B.3C．23D．2

实用标准

文案大全

解析因为S＝

1

2

×AB×ACsinA＝

1

2

×2×

3

2

AC＝

3

2

，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.

已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()

A．x＞2B．x＜2C．2＜x＜22D．2＜x＜23

解析若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，

又由sinA＝

a

b

sinB＝

x

2

×

2

2

＜1，可得x＜22，∴x的取值范围是2＜x＜22.

已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是()

A．(8,10)B．(22，10)C．(22，10)D．(10，8)

解析因为3>1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故





12＋x2>32，

12＋32>x2，

即8

又因为x>0，所以22

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

c

b

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形

解析已知

c

b

sinC

sinB

sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△

ABC是钝角三角形．

在△ABC中，cos2

B

2

＝

a＋c

2c

(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()

A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

解析∵cos2

B

2

＝

1＋cosB

2

，cos2

B

2

＝

a＋c

2c

，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，

实用标准

文案大全

∴a＝cosB·c＝

a2＋c2－b2

2a

，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．

在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是()

A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定

解析由正弦定理得

b

sinB

＝

c

sinC

，∴sinB＝

bsinC

c

＝

40×

3

2

20

＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

解析由正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶

11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．则cosC＝

5x211x213x2

2·5x·11x

＝

－23x2

110x2

＜0，

∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B

⇔cos2A＜cos2B，所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()

A.

3π

4

B.

π

3

C.

π

4

D.

π

6

解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

＝

2b2－a2

2b2

，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，

即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝

π

4

，故选C.

实用标准

文案大全

在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为

3

2

，则C＝()

A．30°B．45°C．60°D．75°

解析∵S

△ABC

＝

1

2

·AB·AC·sinA＝

3

2

，

即

1

2

×3×1×sinA＝

3

2

，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°，故选C

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

c－b

c－a

＝

sinA

sinC＋sinB

，则B等于()

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

3π

4

解析根据正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R，得

c－b

c－a

＝

sinA

sinC＋sinB

＝

a

c＋b

，

即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

1

2

，故B＝

π

3

，故选C.

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝

2π

3

，a＝2，b＝

23

3

，则B等于()

A.

π

3

B.

5π

6

C.

π

6

或

5π

6

D.

π

6

解析∵A＝

2π

3

，a＝2，b＝

23

3

，∴由正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

可得，sinB＝

b

a

sinA＝

23

3

2

×

3

2

＝

1

2

，

∵A＝

2π

3

，∴B＝

π

6

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C等于()

A.

2π

3

B.

π

3

C.

3π

4

D.

5π

6

解析因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－

3

5

a＝

7

5

a.令a

＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，

实用标准

文案大全

解得cosC＝－

1

2

，所以C＝

2π

3

.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝

π

3

，△ABC的面积是()

A．3B.

93

2

C.

33

2

D．33

解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝

π

3

，∴c2＝a2＋b2－2abcos

π

3

＝a2＋b2－ab.②

由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6，∴S

△ABC

＝

1

2

absinC＝

1

2

×6×

3

2

＝

33

2

.

填空题

△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为______

解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，

又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝

π

2

，∴△ABC为直角三角形．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，

则S

△ABC

＝________.

解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得

1

sinA

＝

3

sin60°

，解得sinA

＝

1

2

，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S

△ABC

＝

1

2

ab＝

3

2

在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则

sin2A

sinC

＝______

解析由余弦定理：cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

＝

25＋36－16

2×5×6

＝

3

4

，∴sinA＝

7

4

，

实用标准

文案大全

cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

＝

16＋25－36

2×4×5

＝

1

8

，∴sinC＝

37

8

，∴

sin2A

sinC

＝

2×

3

4

×

7

4

37

8

＝1.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为______

解析由余弦定理，得

a2＋c2－b2

2ac

＝cosB，结合已知等式得cosBtanB＝

3

2

，∴sinB＝

3

2

，∴B＝

π

3

或

2π

3

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋3bsinC－a－c＝0，则角B＝______

解析由正弦定理知，sinBcosC＋3sinBsinC－sinA－sinC＝0

∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入上式得3sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0

∵sinC＞0，∴3sinB－cosB－1＝0，∴2sin













B－

π

6

＝1，即sin













B－

π

6

＝

1

2

.

∵B∈(0，π)，∴B＝

π

3

在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_____

解析由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，

又c2＝b2＋2bc，∴cosA＝

2

2

，A＝45°，sinB＝

1

2

，B＝30°，∴C＝105°.

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－

1

4

，3sinA＝2sinB，则c＝______

解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋

9－2×2×3×













－

1

4

＝16，所以c＝4.

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝

1

2

，C＝

π

6

，则b＝______

实用标准

文案大全

解析因为sinB＝

1

2

且B∈(0，π)，所以B＝

π

6

或B＝

5π

6

.

又C＝

π

6

，B＋C<π，所以B＝

π

6

，A＝π－B－C＝

2π

3

.

又a＝3，由正弦定理得

a

sinA

＝

b

sinB

，即

3

sin

2π

3

＝

b

sin

π

6

，

在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝______

解析∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，

设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，

化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.

在△ABC中，A＝

2π

3

，a＝3c，则

b

c

＝________

解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，将A＝

2π

3

，a＝3c代入，可得(3c)2＝b2＋c2－2bc













－

1

2

，

整理得2c2＝b2＋bc，∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝













b

c

2＋

b

c

，可解得

b

c

＝1

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝

－

1

4

，则a的值为______

解析∵cosA＝－

1

4

，0＜A＜π，∴sinA＝

15

4

，S

△ABC

＝

1

2

bcsinA＝

1

2

bc×

15

4

＝315，∴bc＝24，

又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，

由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×













－

1

4

＝64，∴a＝8.

解答题

实用标准

文案大全

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝

π

4

，b2－a2＝

1

2

c2

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

解(1)由b2－a2＝

1

2

c2及正弦定理得

sin2B－

1

2

＝

1

2

sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝

π

4

，即B＋C＝

3

4

π，得

－cos2B＝－cos2













3

4

π－C

＝－cos













3

2

π－2C

＝sin2C＝2sinCcosC，②，由①②解得tanC＝2.

(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝

25

5

，cosC＝

5

5

，

因为sinB＝sin(A＋C)＝sin













π

4

＋C

，所以sinB＝

310

10

，

由正弦定理得c＝

22

3

b，又因为A＝

π

4

，

1

2

bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3bsinA－acosB.

(1)求角B；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c.

解(1)由a＝3bsinA－acosB及正弦定理，得sinA＝3sinB·sinA－sinA·cosB，∵0

sinA>0，∴3sinB－cosB＝1，即sin













B－

π

6

＝

1

2

，又∵0

π

6

π

6

<

5π

6

，∴B＝

π

3

.

(2)∵S＝

1

2

acsinB＝3，∴ac＝4，①，又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2＝8.②

由①②联立解得a＝c＝2.

如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求

sinB

sinC

；

实用标准

文案大全

(2)若AD＝1，DC＝

2

2

，求BD和AC的长．

解(1)S

△ABD

＝

1

2

AB·ADsin∠BAD，S

△ADC

＝

1

2

AC·ADsin∠CAD.

因为S

△ABD

＝2S

△ADC

，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得

sinB

sinC

＝

AC

AB

＝

1

2

.

(2)因为S

△ABD

∶S

△ADC

＝BD∶DC，所以BD＝2.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝

6

6

b，sinB＝6sinC

(1)求cosA的值；

(2)求cos













2A－

π

6

的值．

解(1)△ABC中，由

b

sinB

＝

c

sinC

，及sinB＝6sinC，可得b＝6c，

又由a－c＝

6

6

b，有a＝2c，所以cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

＝

6c2＋c2－4c2

26c2

＝

6

4

(2)在△ABC中，由cosA＝

6

4

，可得sinA＝

10

4

于是，cos2A＝2cos2A－1＝－

1

4

，sin2A＝2sinA·cosA＝

15

4

所以，cos













2A－

π

6

＝cos2Acos

π

6

＋sin2Asin

π

6

＝













－

1

4

×

3

2

＋

15

4

×

1

2

＝

15－3

8

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，

则△ABC面积的最大值为．

解析由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c

实用标准

文案大全

∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc

由余弦定理，得cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

＝

1

2

，∴sinA＝

3

2

.

由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.

∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4，∴S

△ABC

＝

1

2

bc·sinA≤3，即(S

△ABC

)

max

＝3.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA

－3sinBcosB.

(1)求角C的大小；

(2)若sinA＝

4

5

，求△ABC的面积．

解(1)由题意得

1＋cos2A

2

－

1＋cos2B

2

＝

3

2

sin2A－

3

2

sin2B，

即

3

2

sin2A－

1

2

cos2A＝

3

2

sin2B－

1

2

cos2B，sin













2A－

π

6

＝sin













2B－

π

6

.

由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，所以2A－

π

6

＋2B－

π

6

＝π，即A＋B＝

2π

3

，所以C＝

π

3

.

(2)由c＝3，sinA＝

4

5

，

a

sinA

＝

c

sinC

，得a＝

8

5

，

由a＜c，得A＜C，从而cosA＝

3

5

，

故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝

4＋33

10

，

所以，△ABC的面积为S＝

1

2

acsinB＝

83＋18

25

.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝

3

3

，sin(A＋B)＝

6

9

，ac＝23，求

sinA和c的值．

实用标准

文案大全

解在△ABC中，由cosB＝

3

3

，得sinB＝

6

3

，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝

6

9

.

因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角．所以cosC＝

53

9

.

因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝

6

3

×

53

9

＋

3

3

×

6

9

＝

22

3

.

由

a

sinA

＝

c

sinC

，可得a＝

csinA

sinC

＝

22

3

c

6

9

＝23c，又ac＝23，所以c＝1.

专项能力提升

在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()

A.

3

2

B.

33

2

C.

3＋6

2

D.

3＋39

4

解析设AB＝c，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负

值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×

3

2

＝

33

2

.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状

为()

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，

∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，

∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA

∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝

π

2

或B＝A或B＝π－A(舍去)，

∴△ABC为等腰或直角三角形．

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S

△ABC

＝23，a＋b＝6，

acosB＋bcosA

c

＝2cosC，则c＝()

实用标准

文案大全

A．27B．4C．23D．33

解析∵

acosB＋bcosA

c

＝2cosC，由正弦定理，

得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，

由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝

1

2

，∴C＝

π

3

.

∵S

△ABC

＝23＝

1

2

absinC＝

3

4

ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，







a＝2，

b＝4

或







a＝4，

b＝2，

c2＝a2＋b2－2abcosC

＝4＋16－8＝12，∴c＝23，故选C.

在△ABC中，若b＝5，B＝

π

4

，tanA＝2，则a＝______

解析由tanA＝2得sinA＝2cosA，又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝

25

5

.

∵b＝5，B＝

π

4

，根据正弦定理，有

a

sinA

＝

b

sinB

，∴a＝

bsinA

sinB

＝

25

2

2

＝210.

在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝______

解析由正弦定理得

AB

sin∠ADB

＝

AD

sinB

，即

2

sin∠ADB

＝

3

sin120°

，解得sin∠ADB＝

2

2

，所以∠ADB＝45°，

从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝

2×sin120°

sin30°

＝6.

在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为______

解析由正弦定理知

AB

sinC

＝

3

sin60°

＝

BC

sinA

，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.

又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)

＝2(sinC＋3cosC＋sinC)＝2(2sinC＋3cosC)＝27sin(C＋α)，

其中tanα＝

3

2

，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大

实用标准

文案大全

值27.