随机变量的分布函数

23

6.随机变量的分布函数

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》

第二章第§3的随机变量的分布函数

【教材分析】：前面几节内容我们初步研究了离散型随机变量及其分布律，在那里随机变量

只取有限个或可列个值，这有很大的局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，它们的取

值可以充满某个区域或区间，概率论就是要研究它们的统计规律，那么对于这种更一般的随

机变量，他如何来描述它的统计规律？因为单点集的长度为零，由此可知，用分布律是行不

通，需要另外找一个合适的工具—分布函数。学习本节要求学生掌握分布函数基本概念，会

求一些随机变量的分布函数。

【学情分析】：

1、知识经验分析

学生已经学习了离散型随机变量的分布律，会求随机变量取值的概率。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，

方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：

1、知识与技能目标

掌握分布函数概念及性质，并会求一些随机变量的分布函数。

2、过程与方法

根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，层层设

问，经过思考交流、概括归纳，得到分布函数的概念。

3、情感态度与价值观

通过学习使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

【教学重点、难点】：

重点：随机变量的分布函数的概念及性质。

难点：随机变量的分布函数的性质。

【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

24

一、问题引入

当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值

的概率。只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量，为此，我们引入随机变量的分布

函数的概念。

例如：

12

(,].Xxx求随机变量落在区间内的概率

12

{}PxXx

21

{}{}PXxPXx

【设计意图】：由探讨随机变量取值的概率导出随机变量的分布函数的概念。

二、分布函数的概念和性质

1、定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

)()()(xxXPxF

称为X的分布函数。有时记作

)(~xFX

或)(xF

X

。

2、分布函数的性质

（1）非负性：0()1,Fx

（2）单调非减：若

21

xx，则)()(

21

xFxF；

（3）规范性：;1)(lim)(,0)(lim)(



xFFxFF

xx

（4）右连续性：即).()(lim

0

0

xFxF

xx





【设计意图】：说明分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况。

强调().Fxx分布函数是的一个普通实函数

例1验证函数1,0;

()

,,

0

xx

Fx





其它

e

可以作为某个随机变量的分布函数。

解：由函数表达式显然有（1）0()1Fx

（2）

12

0xx，则

12

()=()=0FxFx；若

12

0xx，则2

12

()=0()1xFxFxe，

；

∴

12

()()FxFx；若

12

0xx，12

12

((

()()))

11xxxx

FF

ee

21

xx

ee0，∴

12

()()FxFx

；综上知，函数F(x)是单调不减函数，

（3）

lim

()()

x

FFx





lim

00

x

，lim

()()

x

FFx





lim

()

11x

x





e，

25

（4）

0

lim

()

x

Fx





0

lim

()

1x

x





e110

()

0F

∴()Fx是某函数的分布函数。

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握分布函数的性质。

3、重要公式

(1){}()(),PaXbFbFa

(2){}1().PXaFa

{}{}{}

{}{},

XbXaaXb

XaaXb





证明：（1）因为，

{}{}{},PXbPXaPaXb所以{}()().PaXbFbFa故

（3）)(1}{1}{aFaXPaXP

【设计意图】：给出两个重要的公式，利用分布函数可求随机变量在任意区间上取值的

概率，完整地描述了随机变量取值的概率规律。

例2掷一枚质地均匀的硬币，观察出现的是正面还是反面，且

1,

0.

X









出现正面；

，出现反面

求X的分布函数()Fx和概率{01}PX，{2}PX。

解：注意到X的所有可能取值为0和1。

当0x时，()()=0FxPXx

当01x时，

1

()()=(=0)=

2

FxPXxPX

当1x时，()()=(=0)+(=0)=1FxPXxPXPX

故X的分布函数为

0,0;

1/2,01;

()

1,1.

x

x

Fx

x





















1

{01}=10

2

PXFF

{2}1{2}12110PXPXF

一般，设离散型随机变量X的分布律为

(),1,2,.....

kk

PXxpk

由概率的可列可加性得X的分布函数为

26

()()()

kk

kk

xxxx

FxPXxPXxp



。

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握求离散型随机变量的分布函数的方法。

三、思考与提问：

分布函数描述的是什么？

四、内容小结

1、离散型随机变量的分布函数(){}.

i

k

xx

FxPXxp





2、分布律与分布函数的关系().

i

k

xx

Fxp





五、课外作业：

P57：17，18，19

六、板书设计

随机变量的分布函数

一、问题引入

当我们要描述一个随机变量时，不仅要

说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这

些值的概率。只有这样，才能真正完整地

刻画一个随机变量，为此，我们引入随机

变量的分布函数的概念。

例如：

12

(,].Xxx求随机变量落在区间内的概率

12

{}PxXx

21

{}{}PXxPXx

二、分布函数的概念和性质

1、定义

设X是一个随机变量，x是任意实

数，函数

)()()(xxXPxF

称为X的分布函数。有时记作

)(~xFX

或

)(xF

X

。

2、分布函数的性质

（1）非负性：0()1,Fx

（2）单调非减.若

21

xx，则

)()(

21

xFxF；

（3）规范性：

;1)(lim)(,0)(lim)(



xFFxFF

xx

（4）右连续性：即

).()(lim

0

0

xFxF

xx





例1验证函数1,0;

()

,,

0

xx

Fx





其它

e

可以作为某个随机变量的分布函数。

3、重要公式

(1){}()(),PaXbFbFa

(2){}1().PXaFa

例2掷一枚质地均匀的硬币，观察出

现的是正面还是反面，且

1,

0.

X









出现正面；

，出现反面

求X的分布函数

()Fx和概率{01}PX，{2}PX。

一般，设离散型随机变量X的分布

律为

(),1,2,.....

kk

PXxpk

由概率的可列可加性得X的分布函数为

()()()

kk

kk

xxxx

FxPXxPXxp





。

27