中间的点

积分中值定理中间点函数的可微性

刘冬红;张树义;丛培根

【摘要】研究积分中值定理"中间点函数"的可微性,利用Gamma函数在一定条件

下建立了积分中值定理"中间点函数"的一阶可微性.%Thepurpoofthispaper

istostudythedifferentiablepropertyofthe"intermediatepoint

function"ertainconditions,thefirst

orderdifferentiablebehavioroftheintermediatepointfunctionfor

integralsmeanvaluetheoremistablishedbyusingGammafunction.

【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2017(018)004

【总页数】5页(P434-438)

【关键词】积分中值定理;中间点函数;可微性;渐近性

【作者】刘冬红;张树义;丛培根

【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州

121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013

【正文语种】中文

【中图分类】O172.1

积分中值定理设a，b∈，且a

ⅰ)f(x)在闭区间[a，b]上连续；

ⅱ)g(x)在闭区间[a，b]上可积不变号，

则存在一点c∈(a，b)，使t.

下面我们指出积分中值定理“中间点”唯一的充分条件是：f是单射.

设I是上一区间，a∈I是I上一点，函数f，g：I→.如果函数f在I上连续，g在I

上可积不变号，则由积分中值定理，∀x∈I-{a}，在以a，x为端点的开区间上，

存在一点cx，使

其中n≥1.如果f是单射，则点cx是唯一的，进而可以定义c：I-{a}→I-{a}为

c(x)=cx，使得

如果f不是单射，则使式(1)成立的点cx一般说来不是唯一的.如果对∀x∈I-{a}，

在以a，x为端点的开区间上选取一个cx，使式(1)成立，那么可以定义函数c：I-

{a}→I-{a}为c(x)=cx，使式(2)成立.

定理1设I是上一区间，a∈I是I上一点，函数f，g：I→.如果函数f在I上连续，

g在I上可积不变号，则存在一函数c：I-{a}→I-{a}，使式(2)成立.此外如果f是单

射，则点c(x)是唯一的.

因为∀，所以a.于是可定义“中间点函数”为显然在点x=a连续.

Duca和Pop[1]研究了Cauchy中值定理“中间点函数”的性质，给出了Cauchy

中值定理“中间点”唯一的充分条件：f′(x)/g′(x)是单射，进而又证明了Cauchy

中值定理“中间点函数”(x)在x=a可微且(1)(a)=1/2.最近，文献[2-13]研究了中

值定理“中间点”的渐近性质，文献[14-19]研究了微分类几种中值定理“中间点

函数”的一阶可微性.本文的目的是借助积分中值定理“中间点”的渐近性质，研

究积分中值定理“中间点函数”在点a处的一阶可微性.

容易证明引理：

引理1设I是上一区间，a∈I是I的左端点，H：I→在I上连续且

则

(ⅰ)；

(ⅱ)在I上连续且，其中A是一常数，α是正实数，n≥1，Γ(·)为Gamma函数，

ξ→0(x→a+).

定理2设I是上一区间，a∈I是I的左端点，函数f，g：I→满足条件：

(ⅰ)函数f，g在I上连续；

(ⅱ)存在实数α>0和β≥0，使，其中A，B是非零常数，

则下列结论成立：

1°.若存在δ>0，使∀x∈(a，a+δ)，f′(x)≠0，则对∀x∈(a，a+δ)，存在唯一函

数c：(a，a+δ)→(a，a+δ)，使

2°.函数θ：(a，a+δ)→(0，1)定义为

有下列性质：

a)对∀x∈(a，a+δ)，有

b)存在极限.

3°函数定义为在x=a可微且

证明：1°.因∀x∈(a，a+δ)，f′(x)≠0，所以f(x)在(a，a+δ)上严格单调，进而f(x)

是单射，因此存在唯一函数c：(a，a+δ)→(a，a+δ)，使得式(3)成立.

2°.a)由式(3)和(4)即得证.

b)由引理1，有

其中ξ1→0，ξ2→0(x→a+).

由条件(ⅱ)，得

其中ξ2→0(x→a+).把式(6)～(8)代入式(5)，得

.

据此有

3°.结论3°由2°推出.证毕.

在定理2中取n=1，立得如下结果：

定理3设I是上一区间，a∈I是I的左端点，函数f，g：I→满足条件：

(ⅰ)函数f，g在I上连续；

(ⅱ)存在实数α>0和β≥0，使，其中A，B是常数，

则下列结论成立：

1°.若存在δ>0，使∀x∈(a，a+δ)，f′(x)≠0，则∀x∈(a，a+δ)，存在唯一函数c：

(a，a+δ)→(a，a+δ)，使

2°.函数θ：(a，a+δ)→(0，1)定义为θ(x)，有下列性质：

c)对∀x∈(a，a+δ)，有

d)存在极限.

3°.函数定义为在x=a可微且

定理4设I是上一区间，a∈I是I的左端点，函数f，g：I→满足条件：

(ⅰ)函数f，g在I上连续，g(x)≠0；

(ⅱ)且bg(a)-cf(a)≠0，其中b，c为非零常数，α为实数，α>0，n≥1，Γ(·)为嘎

玛函数，

则下列结论成立：

1°.若存在δ>0，使∀，则对∀x∈(a，a+δ)，存在唯一函数c：(a，a+δ)→(a，

a+δ)，使

2°.函数θ：(a，a+δ)→(0，1)定义为θ(x)，有下列性质：

a)对∀x∈(a，a+δ)，有

b)存在极限.

3°.函数定义为在x=a可微且

证明：1°.令F(x)=f(x)/g(x)，则，从而F(x)与g(x)满足定理2条件，由定理2(β≡0)

知对∀x∈(a，a+δ)，存在唯一函数c：(a，a+δ)→(a，a+δ)，使

再以F(x)=f(x)/g(x)代入式(9)并注意到便得1°.再由定理2中的2°和3°可得定理4

中的结论2°和3°.证毕.

定理5[15]设I是上一区间，a∈I是I的左端点，函数f，g：I→满足条件：

(ⅰ)函数f，g在I上存在n(n≥1)阶连续导数，g(n)(x)≠0；

(ⅱ)和且bg(n)(a)-cf(n)(a)≠0，

则下列结论成立：

1°.若存在δ>0，使∀，则对∀x∈(a，a+δ)，存在唯一函数c：(a，a+δ)→(a，

a+δ)，使

2°.函数θ：(a，a+δ)→(0，1)定义为θ(x)，有下列性质：

a)对∀x∈(a，a+δ)，有

b)存在极限.

3°函数定义为在x=a可微且

证明：由积分型Taylor公式，有

在定理4中用f(n)(x)和g(n)(x)分别代替f(x)和g(x)便得定理5.证毕.

【相关文献】

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