sin3x

3.2三角函数的积化和差与和差化积

（一）教学目标

知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用

公式进行和、积互化。

能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明

情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和

辩证唯物主义观点。

（二）教学重点、难点

重点：公式的应用。难点：公式的灵活应用。

（三）教学方法

观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

（四）教学过程

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

提出

问题

通过做过的作业，习题

3－1A2(2)的结果，对两

个角的正弦之和的形式

进行讨论

sinsin2sincos

333













师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？

引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边

的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。

师：通过类比，对任意两个角，

sinsinxy

应

该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。

从做过的练

习出发，引导

学生进一步

思考，培养学

生从特殊到

一般的思想

方法。

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

解决

问题

由两角和与差的三角函

数公式，使用换元法得

到两角的正弦之和可化

成另两个角的三角函数

的乘积的形式。

sin()sincoscossin

sin()sincoscossin

两式相加得：

sin()sin()2sincos

(1)

设

x

，

y

，则

2

xy







，

2

xy







，公式(1)可以写成：

sinsin2sincos

22

xyxy

xy





培养学生运

用已有知识

分析问题的

能力和问题

探究的能力，

体会换元思

想在解题中

的应用。

总结

方法

提出

新问

题

总结推导过程所用的方

法，实际上公式（1）还

隐含着积化和差的公

式。

师：公式(1)实际上还可以变形成

1

sincos[sin()sin()]

2



两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个

角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两

个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一

步加以证明。

培养学生经

常对方法进

行总结和运

用类比，在一

个问题的基

础上提出新

的问题的能

力。

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

积化

和差

公式

的推

导

推导积化和差公式。

回忆两角和与差的三角函数公式：

cos()coscossinsin

cos()coscossinsin

sin()sincoscossin

sin()sincoscossin

由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，

写出所有的积化和差的公式：

1

coscos[cos()cos()]

2



1

sinsin[cos()cos()]

2



1

sincos[sin()sin()]

2



1

cossin[sin()sin()]

2



师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。

只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是

化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公

式前面的系数。

巩固旧知识，

通过恒等变

形，培养学生

严谨地考虑

问题。

积化

和差

公式

的应

用

例1把下列各积化成

和差的形式。

(1)

2sin64cos10

(2)

sin84cos132

(3)

coscos

66



(4)

sin2sin1.2

学生做练习教师巡视检查。

让学生初步

学会应用公

式。

和差

化积

公式

的推

导

推导和差化积公式

由积化和差公式，变形可以得到：

cos()cos()2coscos

cos()cos()2sinsin

引导学生由

积化和差公

式推导和差

化积公式，在

推导过程中

运用了换元

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

sin()sin()2sincos

sin()sin()2cossin

，

再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。

sinsin2sincos

22

xyxy

xy





sinsin2cossin

22

xyxy

xy





coscos2coscos

22

xyxy

xy





coscos2sinsin

22

xyxy

xy





师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同

名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式

相辅相成，配合使用。

法进行角的

转化。

通过组织学

生讨论探究，

逐步培养学

生团结协作

的思想品质，

提高学生综

合运用知识

思考问题解

决问题的能

力。

和差

化积

公式

的应

用

例2把下列各式化成

积的形式：

(1)

cos3cos

(2)

sin54sin22

(3)

sin5sin3xx

(4)

cos40cos52

(5)

cos40cos52

例3已知A＋B＋C＝

180，求证：

sinsinsin

4coscoscos

222

ABC

ABC



利用四个和差化积的公式和其他三角函数关

系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积

的形式。

在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打

出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并

订正。

提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三

角函数的积的形式。

例1和练习A

的第1,3题是

和差化积公

式的直接应

用，注意化积

后是几个三

角函数的积。

例2是一道典

型的综合性

问题，对于它

的解题过程

的深入探讨，

有益于启发

学生思维，提

高学生分析

问题和解决

问题的能力。

巩固

练习

练习

1．把下列各式化成积的

形式

（1）

1

cos

2

x

练习1和2的第（1）小题先做示范讲解，让

学生独立完成第（2）小题。再次提醒学生，

化成积的时候一定要写成几个三角函数的积

的形式。

练习1的两道

化积题，学生

可能比较难

想到要将常

数化成某个

特殊角的三

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

（2）

1sin2x

2．求证下列各恒等式

（1）

sinsin

coscos

cot

2















角函数，对于

它们的解题

过程的思考

有助于学生

开阔思维，培

养学生灵活

运用知识的

能力。

小结

从知识、方法两个方面

来对本节课进行归纳总

结。

（1）本节重点学习了两组公式，不要求记住

这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角

函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求

值、化简和证明等问题。

（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成

几个三角函数的积的形式。

（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一

种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应

用。

让学生明确

本节课的重

点和要达到

的要求。

布置

作业

习题3－3A2,3，4

对本节内容

及时巩固。