三次方程怎么解

三次方程

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的圖形

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為

，

其中,,和()是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。

本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程。

目录

[隐藏]

•1历史

•2三次方程解法

o2.1求根公式法

o2.2三角函数解

o2.3卡尔丹诺法

▪2.3.1判别式

▪2.3.2第一個例子

▪2.3.3第二个例子

•3极值

o3.1驻点的公式

o3.2极值

o3.3拐点

o3.4驻点的类型

•4外部链接

•5参见

[编辑]历史

中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年)前后所著的《緝古算經》中建立了

25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方

法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字

式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方

程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”

的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形

如的方程。事实上，如果我们允许,是复数，所有的三次方

程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着这个秘密，

直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚（Tartaglia）听说了这件事

并很快自己找到了一种方法。他把他的方法透露给了卡尔丹诺，后者把它发表在

《数学大典》（又名《大術》，1545年）上。

卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在《数学大典》

裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐罗·邦别利（Rafael

Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

[编辑]三次方程解法

[编辑]求根公式法

，其中。

红色字体部分为判别式：

当时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当时，方程的三个实根中

有两个相等；

当时，方程有三个不等的实根。

[编辑]三角函数解

，其中。

若，则

[编辑]卡尔丹诺法

令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方

程除以，就得到一個二次方程，而我們已會解二次

方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代

數基本定理的結果。

解方程步驟：

•把原來方程除以首項係數，得到：

，其中，，。

•代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到

這項，正好抵消掉出現於的項。故得：

，其中和是域中的數字。

；。

•記。前一方程化為。

展開：。

重組：。

分解：。

因為多了一個未知項（和代替了），所以可加入一個條件，就是：

，由此導出。

•設和。我們有和因為

。所以和是輔助方程

的根，這方程我們已會解出。

接下來，和是和的立方根，適合，，最後得出

。

在域裡，若和是立方根，其他的立方根就是和，當然還有和

，其中是單位的立方根。

因為乘積固定，所以可能的是，和

。因此三次方程的其他根是和

。

[编辑]判别式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方

程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差

異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式，

•若，方程有一个实根和两个共轭复根；

•若，方程有三个实根：当时，方程有一个三重实

根；当时，方程的三个实根中有两个相等；

•若，方程有三个不等的实根：

其中

。

注意到实系数三次方程至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在和

的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，

所以從介值定理可知它在某點的值為0。

[编辑]第一個例子

解。

我們依照上述步驟進行：

•（全式除以）

•設，代換：，

再展開。

•，，。設和。和

是的根。

和，

和。

，

该方程的另外两个根：

，

，

[编辑]第二个例子

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是。

从函数算出判别式的值，知道这方程

有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：，，。

和。

和是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没

有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一

个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方

法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开

复数的实部和虚部：现设。

等价于：

（实部）

（虚部）

（模）

得到和，也就是，而是其共轭：。

归结得，可以立时验证出来。

其他根是和

，其中。

当是负，和共轭，故此和也是（要适当选取立方根，记得）；

所以我们可确保是实数，还有和。

[编辑]极值

[编辑]驻点的公式

设

将其微分，可得

[编辑]极值

设，可得在中的极值（极大值或极小值）满足：

将代入，可得的极值：

[编辑]拐点

设，可得的拐点。

[编辑]驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：

，是的极大值点；

，是的极小值点；

，是的拐点。

可知：

，的驻点为极大值点；

，的驻点为极小值点；

，的驻点为拐点。

如何亲自发现三次方程的解法

——TimothyGowers谢国芳（RoyXie）

译

让我们想像自己面对着一个三次方程x3+ax2+bx+c=0.解出该方程意味着

要写出一个求它的根的公式，该公式应该以它的系数a,b,c和一些常数(即不依赖

于a,b,c的数)表示，并且只用加减乘除和开方运算。

正如我在其他网页里所做的那样，我将表明这样的一个公式可以凭着标准的数学

直觉推导出来，而不需要神秘的灵感闪现。我当然不是断言任何有理性的人都能在一

两个小时内推导出这个公式——通常需要尝试几种不成功的直觉才能发现正确的标

准化数学直觉。然而，在任何给定的情况下，合适的直觉之列表一般不会太长。如果

你年轻，雄心勃勃，仍然不知道如何解三次方程，那么我建议你亲自动手一试，或者

在读一点本页的内容之后再作尝试，你在几个小时内获得成功的可能性很可能比你预

想的高。让我们从一个数学中最普遍有效（而且明显易懂）的解题原则开始吧。

如果你正试图解决一个问题，看看能不能把一个已知的解法类

推应用于一个类似的问题。

运用这个原则可以避免对每一个新问题都从头开始。重要的并不是该问题本身的

难度，而是克服该问题和其他已经解决的问题之间的差异的难度。

二次方程的解法

在现在这个情形中，显而易见，我们想到的类似的问题就是解二次方程x2+2ax

+b=0（我加上因子2仅仅是为了方便，当然这在数学上没有任何区别）。我们怎

么办呢？唔，我们"注意到"

x2+2ax+b=(x+a)2+b-a2

这很快就导出解

x=-a+/-(a2-b)1/2

这一招高明吗？在接下去考虑三次方程之前详细考察这个更初等的方程是有益

的，所以让我们假想我们甚至不知道如何解二次方程，一个可能把我们引向它的解的

思路是这样的：在干瞪着一般的方程x2+2ax+b=0毫无头绪之后，我们退回到

下面这个问题：

有我知道如何求解的特殊情形吗？

然后，我们有点尴尬地注意到当a=0时我们能解这个方程，也就是说，我们

能解方程x2+b=0（因为我们可以开平方根）。接下去，我们也许注意到如果b=a

2那么我们就得到了方程x2+2ax+a2=0,它可以改写为(x+a)2=0.一旦注意到

这一点，我们就会认识到有帮助的并不是方程的右边是0，而是左边是一个完全平方，

所以我们对于任意的b都能解出(x+a)2=b，这给了我们一大类能解出的二次方

程，所以我们不问下面这个问题就太傻了：

有不能改写成(x+a)2=b这种形式的二次方程吗？

为了回答这个问题，我们需要把它重新写回原来的形式，这只要乘出括号，把b

移到方程的左边就行了，这样我们就得到了方程x2+2ax+a2-b=0.

到此就非常清楚了，我们可以令2a等于任何一个我们需要的数，在这样做了之

后，接着我们又可以令a2-b等于任何另一个我们需要的数，于是二次方程就解出

来了。

如果你觉得看出方程x2+2ax+a2=0可解是一个过高的要求，那么还有另外一

条路径：想知道1+21/2是否是一个代数数并不需要太多的好奇心，注意到如果

x=1+21/2则(x-1)2=2也不需要太多的才华，只要把这个例子加以推广，你很快就

会认识到形如(x+a)2=b的方程是可解的。

三次方程的初步简化

什么是配方这一操作在三次方程中的自然推广呢？要回答此类问题，下面这一策

略常常是有用的：

对你想要推广的东西给出一个一般性的描述。

我将尝试直接通过实例来阐明我的意思。为了配方，我们注意到

(x+a/2)2=x2+ax+a2/4

因此我们可以把任何以x2+ax开始的二次方程写成(x+a/2)2加一个常数的形

式。

换一种说法是，如果我们令y=x+a/2，那么y就满足一个形式特别简单的二

次方程y2+C=0。当然，一旦我们解出了这个关于y的方程，就很容易解得到x，

因为x是y的一个很简单的一次函数。在这个关于y的这个方程中，什么变得更

简单了呢？对于这个问题有两个合理的回答，把两者都考察一下是值得的。

第一个回答是注意到这个关于y的方程只包含y2和一个常数项——所以用y

代换x就使得我们可以设一次项的系数为0。

第二个回答更加简明易懂——它更简单是因为我们断言形如y2+C=0的方程

可以轻松求解。这一思路引发出两个问题：

1.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它的某些项的系

数变成0吗？

2.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它变成y3+C=0

的形式吗？