等价无穷小替换

§2–6无穷小与无穷大的比较

基础知识导学

1、无穷小的比较

定义1设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若

c





lim（c为常数）

则（1）当c≠0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；

（2）当c=0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)；

（3）当c=1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。

2、无穷大的比较

定义2设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量，

（1）如果

Y

Z

lim=c≠0，则称Y与Z是同阶无穷大量；

（2）如果

Y

Z

lim=∞时，则称Z是Y的高阶无穷大量；

（3）如果

kY

Z

lim

=c≠0（k＞0），则称Z是关于（基本无穷大量）Y的k阶无穷大量。

3、无穷小的阶与主部

定义3把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与

k（k＞0）是同阶的无穷小，即

k



lim

=c≠0，则称β是关于α的k阶无穷小。

重点难点突破

1．关于无穷小的比较

要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判

断两个无穷小的关系。

注意（1）符号β=O(α)与β～α的含义

β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim





；

β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim





（1）同阶不一定等价，等价一定同阶。

（2）利用等价无穷小求极限

等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：

若α～αˊ，β～βˊ，且









lim存在，则





lim=









lim

无穷小量的比较表

设在自变量

0

xx的变化过程中，)()(xx与均是无穷小量

无穷小的比较定义记号

高阶的无穷小是比)()(xx

0

)(

)(

lim

0



x

x

xx



)()(xx

（

0

xx）

是同阶的无穷小与)()(xx)(

)(

)(

lim

0

为不等于零的常数CC

x

x

xx







是等阶无穷小与)()(xxa

1

)(

)(

lim

0



xa

x

xx



)(~)(xx

（

0

xx）

2．关于无穷小的阶

当x→0时，由恒等式

（ⅰ）o(xn)+o(xm)=o(xn)0＜n＜m

（ⅱ）o(xn)o(xm)=o(xm+n)m＞0,n＞0

3．关于无穷小的替换定理

设当

0

xx时，

)(~)(

21

xx

，

)(~)(

21

xx

，

)(

)(

lim

2

2

0x

x

xx





存在，则

)(

)(

)(

)(

lim

2

2

1

1

0x

x

x

x

xx











．

解题方法指导

1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：

例1当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小

①x-3x3+x5②sinxtgx

解：①因为当x→0时，在x-3x3+x5中3x3与x5都是x的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）

1

3

lim

53

0





x

xxx

x

所以，当x→0时，x-3x3+x5是x的一阶无穷小

②因为当x→0时，sinx～x，tgx～x，由恒等式（ⅱ）可得sinxtgx=o(x2)，即1

sin

lim

2

0



x

xtgx

x

所以，当x→0时，sinxtgx是x的二阶无穷小

（2）先将原式变形，再判断阶数

例2当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小

①

xx11

②tgx–sinx

解：①通过分子有理化将原式变形

xx11

=

xx

x

11

2

由此看出，当x→0时，

xx11

是x的一阶无穷小，事实上

1

)11(

2

lim

0



xxx

x

x

②通过三角函数的公式将原式变形

x

xx

x

x

x

xtgx

cos

)cos1(sin

sin

cos

sin

sin





因为sinx～x，1-cosx～

2

1

x2

由此看出，当x→0时，tgx–sinx是x的三阶无穷小，事实上

2

1

cos

2

1

lim

cos

)cos1(sin

lim

3

2

0

3

0



•

•



•



xx

xx

xx

xx

xx

此题错误解法：

解：因为0

sin

lim

sin

lim

00



















x

x

x

tgx

x

xtgx

xx

所以，当x→0时，tgx–sinx是x的一阶无穷小

这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与

k比的极限不能为零。

2．利用等价无穷小代换求极限

常用等价无穷小有：当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx

1ex,

2

2

1

~cos1xx,xxx2tan~2sin~2．

例5求下列函数的极限

（1）

2

03

cos1

lim

x

x

x





，（2）

3

0

tansin

lim

x

xx

x



．

解（1）

2

03

cos1

lim

x

x

x





=

6

1

3

2

1

lim

2

2

0



x

x

x

（2

2

1

~cos1,0xxx）．

（2）

x

xx

x

3

0sin

sintan

lim





=

xx

xx

xcos

)cos1(sin

lim

3

0





2

0

sin(1cos)1

lim

cosx

xx

xx

x





=

2

2

0

2

sin2

lim

x

x

x

=

2

1

（

2

2

2

~

2

sin,0















xx

x）．

小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式

时，一般不能代换其中一项。否则会出错．

如上题0lim

sin

sintan

lim

3

0

3

0









x

xx

x

xx

xx

,即得一错误结果．