立体角

立体角计算公式

初醒悟

摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。

关键词：立体角，发光角。

0引言

光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，

一般以I表示。若在某微小立体角dΩ内的光通量为dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为：

I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。

式中，dΩ的单位为sr（球面度），光强的单位为cd（坎德拉，烛光）。

1cd=1lm/sr。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员

带来很大的困惑。

1立体角的定义

将弧度表示平面角度大小的定义（弧长

除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”

为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=

2r

A

图1平面角（单位：弧度rad）图2立体角（单位：球面度sr）

2立体角的计算

设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求

其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π

不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球

心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面

积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的

面积再乘以4即可。

图3计算示意图

曲面面积计算公式为：

A=













D

y

z

x

z

22)()(1dxdy（1）

上半球球面方程为：

Z=221yx（2）

由

x

z





=

221yx

x





（3）

221yx

y

y

z











（4）

得

22

22

1

1

)()(1

yx

y

z

x

z















（5）

代入（1）式得：

A=



D

yx

dxdy

221

(6)

利用极坐标，得：

A=



D

r

rdrd

21



(7)

易知，积分区域在xy平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：

2

2

sin

x

+y2=1(8)

x2+

2

2

sin

y

=1(9)

交点坐标（





22sinsin1

cossin



,





22sinsin1

cossin



)

φ1=arctg





tg

tg

(10)

φ2=arctg





tg

tg

(11)

将x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为：

2

2

2

sin

cos

sin

1

1





r(12)

2

2

2

sin

sin

cos

1

2





r(13)

图4xy面投影

X

Y

1

2

D

0

r1

r2

根据对称性，有：

A=4(A1+A2)(14)

A1=



1

0

2

1

01

r

r

rdr

d

A2=



2

0

2

0

21

r

r

rdr

d

于是，

A1=1

0

1

0

21(rrd

=





1

0

2

2

2

sin

cos

sin

1

11(



）dΦ

=Φ1-



1

0

222

2

cossinsin

sin

1





dΦ

=Φ1-



1

0

222sinsinsin1

coscos



d

设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt

A1=Φ1-



1sin

0

22cos1

cos

t

dt





=Φ1-



1sin

0

22cos/1t

dt



=Φ1-arcsin(cos·t)1sin

0



=Φ1-arcsin(cos



sinΦ1)(15)

同理，

A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2)(16)

带入（14）式,得出最终结果：

A=4(arctg





tg

tg

-arcsin(cos



sin(arctg





tg

tg

))

+arctg





tg

tg

-arcsin(cosβsin(arctg





tg

tg

)))(17)

特别地，当



=β时，Φ1=Φ2=π/4，

A1=A2=π/4-arcsin(cos



/2)

3数值结果

2β2α15°30°45°60°75°90°105°120°135°150°165°180°

15°0.068

30°0.1350.268

45°0.2000.3970.588

对

60°0.2610.5190.7701.011

75°0.3180.6330.9401.2371.519

90°0.3700.7361.0961.4451.7802.094

称

105°0.4150.8271.2341.6322.0162.3822.723

120°0.4530.9041.3511.7912.2122.6363.0303.392

135°0.4840.9661.4451.9212.3892.8483.2913.7104.091

150°0.5061.0111.5152.0162.5143.0083.4923.9644.4114.811

165°0.5191.0381.5572.0752.5923.1083.6214.1304.6325.1155.544

180°0.5241.0471.5712.0942.6183.1463.6654.1894.7125.2365.7606.283

参考文献

⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11

⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12

⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1

注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海