矩阵的伴随矩阵怎么求

伴随矩阵的性质及其应用

摘要：

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩

阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为

求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,

得到一系列有意义的结论。(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质;(2)研究数乘矩

阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质;(3)研究矩阵

与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对

称性、正定性、奇异性、正交性;(4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同

等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系;(5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质;

(6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。本文的主要创新点

在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于

电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天

体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵

求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中,常常会

遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少,以下将主要针对伴随矩阵的各种

性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质

1、伴随矩阵的定义

定义1.设

ij

A

是矩阵A=

































nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa











21

22221

11211

中元素

ij

a

的代数余子式，则矩阵

A*=

































nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA











21

22221

11211

称为A的伴随矩阵。

定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=1A。

*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2、伴随矩阵的性质

性质1.设A为n阶方阵，AA*=A*A=AE.

证明：由行列式按一列（行）展开:AA*=A*A=

































d

d

d

0000

0

0

00

00









=dE,其中d=A。

性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化，即

A

A

AA

*

1,0且

.

证明：若A≠0，则A可逆，且1A

=

A

A*

；反之，若A可逆，则有AA-1=E，所以|AA-1|=|A||A-1|=1

故|A|=0.即A非退化。

性质3.1.若A为非奇异矩阵，则1*1*)()(AA.

证明：因为11

1

)(A

k

kA

，由性质2两边取逆可得

1*)(AAA故

A

A

A1*)(，

另一方面，由性质2有

A

A

AAAA

A

A

1

)()*()(

1

)*11*1

1

11



（

，

由1*1*)()(AA.

性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩A*=

















时，当秩

时，当秩

时 ，当秩

20

11

nA

nA

nAn

.

证明：（1）当秩A=

n

时，则,0AA是可逆的，即有1A

存在，所以

1*AAA.可见，秩*A

=

n

。

反之，当秩*A

=n时，*A

可逆时，则有1*)(A存在，所以

A

=A1*)(A,有A

0，因A=0，从而*A

=0，这与秩*A

=

n

矛盾，所以A

0，于是秩

（A）=

n

；

（2）当秩（A）=1n时，则A必有一个1n阶子式不为0，即*A中至少有一个元素不为0，所以，

秩（*A

）

1

，另外秩（A）=1n.则A=0，于是，.0*EAAA

从而，秩（A）+秩（*A）.1.1),**）这便知秩（故秩（AAn

反之，若秩（*A）=1，则*A中必有一个

ij

0A

，即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩n-1A

但

不能有秩（A）=n，否则，有秩*A

=n，而n，2这样与秩1)(*A矛盾，所以秩（A）

n，则（A）



1n，因此,秩（A）=1n.

（3）当秩（A）<1n时，则A中一切1n阶子式均为0，于是一切,0

ij

A0*A所以，这时有秩

,0)(*A反之，若秩,0)(*A则，即一切0,0

ij

*AA亦即A的一切1n阶子式为0，所以秩（A）

<1n.

该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随

矩阵.

性质4.秩

AA秩*.

性质5.*A

=A1n，其中A是n阶方阵（n2）.

证明：若A

0，AA*=AE，*AA

=An

A*A

=An*A

=A1n

若A=0，这时秩A*1，*A

=0，而也有*A

=A1n

综合得*A

=A1n.

性质6.若A是n阶非零实矩阵，0,*



AAA则.

证明：用反证法，若，，则00*



EAAAAAA令一方面，设A=nn

ij

aR）（

AA



=*AA

=

























































n

i

ni

n

i

i

a

a

1

2

1

2

2

n

1i

2

i1

a











=0（2）

由（2）式主对角元素均等于0，可得),,,2,1,(,0njia

ij

此即A=0，这与非零矩阵的假设矛

盾，0A.

条件A是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=,

1

1













i

i

则0,*



AAA但

性质7.令A,B为n阶矩阵，则

（1）A对称

对称；*A

（2）A正交

正交；*A

（3）若A与B等价，则

也等价；与**BA

（4）若A与B相似，则

也相似；与**BA

（5）若A与B合同，则

也合同；与**BA

（6）A=B**BA；

（7）A正定

正定；*A

（8）A为可逆矩阵

为可逆矩阵；*A

（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称

.*为反对称A

证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。

(1)为对称矩阵****,)()(AAAATT;

(2)因为A是正交矩阵，故

EEAAAAAAEAATTTT******)()()(,*A

是正交矩阵.

从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴

随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。

性质)()(***.

性质9.一切

nn

A



（不一定A非奇异）都有

.)(2

**AAAn

证明：

,1

*

nAA

（i）当秩A=n时，可逆，AA,0用1-A

左乘式子AEAA*两边得，1*AAA用A换A*得，

AA

A

A

AAAAnn21

1****)()()(



(ii)当秩An-1时，则秩,1*A，从而秩（0),0**AA则

AAA2-n

**0)(

,综合即证

.)(2

**AAAn

该性质讨论了A的伴随矩阵的伴随矩阵和A的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意.

性质10.若A为n阶矩阵，则*)(aA=a1nA*.(a为实数)

证明：设A=

nnij

a



)(再设*aA=

nnij

b



)(，

那么

ij

b为行列式aA中划去第j行和第i列的代数余子式（n-1阶行列式），

其中每行提出公因子a后，可得),....,2,1,(1njiAab

ji

n

ij

，

由此即证*)(aA=a1nA*.

数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.

性质11.设A,B均为n阶方阵，则***)ABAB（.

证明：当，，时，这时000BAAB由公式，1*AAA

可得,)()**111*ABAABBABABAB（

当,)(,0EBBEAAAB—）（时，考虑矩阵由于A和B都最多只有

限个特征值，因为存在无穷多个使0)(,0)(BA（3）

那么由上面的结论有（A()B()）*=)()(**AB（4）

令（A()B()*=*,))((Bf

nnij

（）A)(*

nnij

g



))((

，则有

),,2,1,(),()(njigf

ijij



（5）由于有无穷

多个使（5）式成立，从而有无穷多个使（5）式成立，但)(),(

ijij

gf都是多项式，从而

（3）式对一切都成立，特别令=0，这时有******

*)0()0())0()0(()(ABABBAAB

.

该性质是一些题目的常考点，把求AB的伴随矩阵转化为求A的伴随矩阵和B的伴随矩阵的问题，

可以很有效的解决问题.

性质12.如果矩阵A可逆，令为它的特征值，



是A的属于的特征向量，则*A

的特征值是

1A,



是*A

的属于1A的特征向量.

证明：由于A可逆，所以

0，由于A



=

，左边乘以*A

得，*A

A



=*A



，故

*A



=1.

性质13.若A为n阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么*A

可表示为A的多项式形式.

证明：A的特征多项式是.)(

01

1

1

aaLafn

n

n





因为A可逆，所以.0)1(

0

Aan由

哈密顿-凯莱定理知

,0)(Af

即

0

01

1

1





EaAaLAaAn

n

n

EAEaLAaA

a

n

n

n



)(

1

1

2

1

1

0

右乘,*A得：*

1

2

1

1

0

)(AEaLAaA

a

A

n

n

n





故)()1(

1

2

1

11*EaLAaAAn

n

nn



.

该性质把A的伴随矩阵转化为A的多项式形式，这是求A的伴随矩阵的简单有效方法.

3.伴随矩阵性质的应用

例1设*11*1)()(,

300

220

111























AAAA的伴随矩阵，则求是

.

解：由性质1，因为

.),1*11*1

A

A

AAAEAAA有（

本题，6A所以

























































2

1

00

3

1

3

1

0

6

1

6

1

6

1

300

220

111

6

1

)*1A（

.

此题是求A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂，可用性质1方便简捷

的求出.

例2若1,

100

110

111























AA求

.

，，，解：1

100

110

011

100

110

111

*















































AAA



























100

110

011

2

*

1

A

A

A得，由性质.

此题比较常见，求A的逆矩阵问题，可以根据性质2的公式求出.

例3已知3阶矩阵A的逆矩阵为

,

311

121

111

1





















A

试求伴随矩阵*A

的逆矩阵.

解：























311

121

111

1A

，





























101

022

525

)(*1A

,由性质3得，*11*)()(AA,所以





























101

022

525

)(1*A

.

此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题，这样根据性质3可以很容易的

得出.

例4若*,

520

310

002

2

1

AA则求























.

解：

16

1

6,

4

1

520

310

002

)

2

1

(2

*3



AAA得，由性质

.

例5已知A=**),

200

110

121

A求（





















.

解：























200

110

121

,A

，A=

200

110

121

,由性质10知**)A（=

400

220

242

213AAA

.

例6若已知A*=*2,

100

110

011

）求（A

























.

解：由性质11可直接得



























400

440

044

42)2(**2*AAA

.

此题考查的是数与矩阵的乘积的伴随矩阵问题，用性质10可以很方便的得出.

例7设A为三阶矩阵，A的特征值为1，5，7.试求行列式

EA2*

.

解：因为A=

,35751

由性质13知，*A

的特征值分别为35,7,5.于是EA2*的特征值

为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故

49535332*EA

.

例8求矩阵A的伴随矩阵*A

.

A=

























201

034

011

.

解:矩阵A的特征多项式为：

)(f

=25423AE,因,02

0

a所以A可逆，

由性质14知)54()1(213*EAAA=



























113

028

026

.

以上在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质；并在此基础

上讨论了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

经过这多时间对所学知识的掌握和了解，可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作

用，在解决复杂的数学问题时，能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学知识不在于举多少例

子，关键在于能够真正理解了其内涵，并且能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值.无论是对

于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质和应用，就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面

和更深刻。

参考文献

[1]徐德余等.《高等代数习题精编》[M].成都：电子科技大学出版社，1992.114.

[2]冯红.《高等代数全程学习指导》[M].大连：大连理工大学出版社，2004.196.

[3]阎满富、陈景林等.《高等代数习题汇编与解答》[M].天津：天津人民出版社，1994.187.

[4]刘云庆等.《高等代数习作课讲义》[M].北京：北京师范大学出版社，1987.102.

[5]钱吉林.《高等代数题解精粹》[M].北京：中央民族大学出版社，2002.120.

[6]施光燕.《高等数学讲稿》[M].大连：大连理工大学出版社，2008.136.

[7]张小红等.《高等代数专题研究选编》[M].西安：陕西科学技术出版社，1992.152.

[8]邓方安等.《高等代数》（第一版）[M].西安：西安地图出版社，2000.157.

[9]李永乐，范培华.《数学复习全书》[M].国家行政出版社，2008.98.

[10]张禾瑞等.《高等代数》（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1997.96.