平行轴定理

转动惯量的测定与平行轴定理

验证的实验研究

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究

摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性

物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用

扭摆的特性测量切边模量。

关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量

转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量

分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否，转动惯量

的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体，测量

其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规

则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。

一．实验原理

（一）双线摆

本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。

这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转

动以及竖直方向上的振动。

设均匀细杆质量、长为

l、绕通过质心竖直轴转动的

惯量为；两相同圆柱体的质量

之和为2m

1

,之间距离为2c；双绳

之间距离为d，绳长L。

由

右图几何关系分析，当很小

时，，得

8

1

)

2

cos-L(1=h2



L（1）

由上式可得系统的势能为

2

00

1

8p

EmghmgL（2）

杆的转动动能为2

0

)(

2

1

dt

d

IE

k



（3）

由能量守恒得

22

0000

11

()

28

d

ImgLmgh

dt



（4）

用（4）关于时间求导，并除以，得

图2几何分

图１双线

2

0

2

0

0

4

mgL

d

dtI





（5）

解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：

2

0

2

0

016

T

gLm

I



（6）

测量物体的转动惯量：

2

0

2

()

16

x

mmgL

IT







(7)

待测物体的转动惯量为：

222

000

00

222

()()

161616

xx

x

mmgLmmgLmgL

ITITT







(8)

（二）三线摆和扭摆

①三线摆

左图是三线摆示意图。上、下圆盘均处

于水平，悬挂在横梁上。三根对称分布

的等长悬线将两圆盘相连。

拨动转动杆使圆盘进行小角度转动，

当转动角很小时，忽律空气阻力，以及

悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得

圆盘的转动惯量为

(9)

式中，m

0

为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自

圆盘中心的距离；H

0

为平衡时上下圆盘间的垂直距离；

T

0

为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。

将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，使其质心与转

抽重合，测量出此时的周期T和上下圆盘的距离H，则总

转动惯量为：

2

2

0

1

T

H4

gRr)mm(

J







（9）

待测物的转动惯量为：J=

（10）

②扭摆

将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。如下图

忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有

（11）

式中，

0

J为刚体对悬线轴的转动惯量，

为角加速度。弹

性恢复力矩M转角θ的关系为





0

JM

KM（12）

式中，K称为扭转模量。它与悬线长度L，悬线直径

d及悬线材料的切变模量G有如下关系

（13）

扭摆的运动微分方程为

（14）

可见，圆盘作简谐振动。其周期

0

T为

（15）

实验中K未知，将金属环放在圆盘上时复合体的转

动惯量为J

0

+J

1

，转动周期为：

T

0

=(16)

由式（15）（16）得：

（17）

（18）

测出T和T

0

就可以求得圆盘的转动惯量J

0

与切边模量G。

1

2

0

2

2

0

0

J

TT

T

J





1

2

0

2

2

J

TT

4

K







L32

Gd

K

4





0

J

K



K

J

2T0

0



（三）验证平行轴定理

若质量为

1

m的物体绕过其质心轴的转动

惯量为

c

I，当转轴平行移动距离x时（如

右图所示），则此物体对新轴OO

的转动惯

量为2

1

xmII

cx

（19）

这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

①用双线摆验证平行轴定理：

将质量均为m

2

，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体

对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆

柱体和细杆的转动周期T

X

，则可求出每个柱体对中心转

轴OO

的转动惯量:

222

010010

0

222

(2)(2)

3223232xxx

mmgLImmgLmgL

ITTT





（20）

由平行轴定理计算得















2

1

22

1

2

11216

L

m

DD

m

xmI'

x

内

外

（21）

比较

x

I与x

I'的大小，相差5%以内则平行轴定理得证。

②用三线摆验证平行轴定理

将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为R

1

的圆周上的

二个孔上。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量J

x

。

如果测得的J

x

值与由（19）式右边计算得的结果比较时

的相对误差在测量误差允许的范围（≤5%），则平行轴定

理得到验证。

O

x

m

平行轴定理

二．实验装置与实验方法

本实验使用的设备有：双线摆、扭摆及三线摆、水

准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。

实验方法如下：

（一）

测量前，根据水准泡得指示，调平底座平台。

双线摆实验开始前先调

节摆线长等于两线间的

距离，即d=.

（二）

打开计数器，调节适当的

周期次数。分别使摆进行小角度摆动，并记录周期，

带入操作原理中得转动惯量计算式，求得待测物体的

转动惯量，并验证平行轴定理。

三．数据记录及结果讨论

双线摆：L=12.00㎝=30.00㎝

周

期

圆

盘

2532.832.732.732.632.632.68

单

圆

柱

2530.730.830.830.830.630.74

=0.266㎏

小圆柱参数：l=2.970㎝=2.260㎝

=2.760㎝X=13.75=0.1㎏

双线摆各组实验项目平均周期的计算：

周期

细杆2523.623.823.723.723.723.7

单圆柱2520.720.620.620.620.620.62

双圆柱2531.231.031.131.031.131.08

周期单位：s,下同

三线摆：R=9.430㎝r=4.574

H=38.35㎝=1.013㎏

三线摆各组实验项目平均周期的计算：

=0.137㎏

三线摆双圆柱实验平均周期的计算：

距离

d

周

期

6.4302532.732.632.632.632.632.62

扭摆

=0.539㎏=10.030㎝=11.990㎝

d=0.050㎝L=42.50㎝

扭摆平均周期的计算：

周期

盘2552.752.752.752.852.752.72

盘环2589.789.789.789.789.789.7

由以上数据计算得：

双线摆转动惯量的计算：

由式（6）（8）带入实验数据:

细杆单圆柱双圆柱双圆柱理论相对误差

I0.001780.00007420.001790.001890.052

三线摆转动惯量级相对误差的计算：

由式（9）（10）带入数据计算得

圆盘单圆柱

I0.0048320.000021

：

d/c

m

双圆柱理论值相对误差

I8.4300.001050.0009950.053

I6.4300.000640.0005880.083

I4.4430.000300.000290.042

扭摆转动惯量及切变模量的计算：

由式（13）（17）（18）带入数据得

J

1

J

0

KG

0.001650.0008710.007735.5*10^11

切变模量单位：GPa

由以上结果我们给出以下讨论:

(一).通过双线摆的测量和通过三线摆的测量，。精

度能达到要求，能用于转动惯量的测量和平行轴定理得

验证

(二).对于三线摆，在测量过程中我们发现在距离转

轴中心较远和较近的测量数据都与实际符合的很好，但

在之间却有很大的偏差（超过允差0.033），经过分析认

为带来这种误差增大的原因在于以下几点：

1.实验过程中，使三线摆摆动时，转轴OO；发生偏移：

2.圆柱在处于较远和较近的位置时，超出了上圆盘的投

影范围（或者处于其中时），用于力矩作用，使圆盘

的摆动更趋于水平的小角度摆动。

四．结论

转动惯量的平行轴定理成立；转动惯量的测定符合

实际情况。

参考文献：

【1】《大学物理》2011年第06期作者：王永超;朱

力

【2】《长春理工大学学报(自然科学版)》2007年03

期

【3】《辽宁科技大学学报》2011年04期

Determinationofmomentofinertiaandverificationofthe

parallelaxistheoremexperimental

Abstrat:Usingthree-wirependulum,double

pendulum,torsion,tomeasuredifferentrigidbody

momentofinertia,andfurthervalidatingparallelaxis

theorem,andapplicationcharacteristicsoftorsion

modulustomeasuretrimming

Keyword:Momentofinertia;Parallelaxistheorem;

Shearmodulus