直角三角形边长计算器

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高中数学《正弦定理》教案

高中数学《正弦定理》教案1

教材地位与作用：

本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校

学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全

等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，

而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，

正弦定理的学问特别重要。

学情分析：

作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在

一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比

较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对

角解三角形时推断解的个数。

(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如

下几点教学目标)

教学目标分析：

学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角

形。

力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干

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净对称美和数学的实际应用价值。

教法学法分析：

教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同

学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，

以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，

猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一

思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自

己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。让同学在问题情景中学

习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到

一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。

教学过程

(一)创设情境，布疑激趣

“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味

着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角

形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab

长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截

料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，

从而进入今日的学习课题。

(二)探寻特例，提出猜测

1.激发同学思维，从自身熟识的特例(直角三角形)入手进行讨

论，发觉正弦定理。

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2.那结论对任意三角形都适用吗?指导同学分小组用刻度尺、

量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让同学总牢固验结果，得出猜测：

在三角形中，角与所对的边满意关系

这为下一步证明树立信念，不断的使同学对结论的熟悉从感性

逐步上升到理性。

(三)规律推理，证明猜测

1.强调将猜测转化为定理，需要严格的理论证明。

2.鼓舞同学通过作高转化为熟识的直角三角形进行证明。

3.提示同学思索哪些学问能把长度和三角函数联系起来，继而

思索向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，表达了数形结合的

数学思想。

4.思索是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，

提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

(四)归纳总结，简洁应用

1.让同学用文字表达正弦定理，引导同学发觉定理具有对称和

谐美，提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，商量可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自

己参加实际问题的解决，能激发同学学问后用于实际的价值观。

(五)讲解例题，稳固定理

1.例1。在△abc中，已知a=32°,b=81.8°,a=42.9cm.解三

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角形.

例1简洁，结果为唯一解，假如已知三角形两角两角所夹的边，

以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2.在△abc中,已知a=20cm,b=28cm,a=40°,解三角形.

例2较难，使同学明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求

同学熟识把握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完

了把时间交给同学。

(六)课堂练习，提高稳固

1.在△abc中,已知以下条件,解三角形.

(1)a=45°,c=30°,c=10cm(2)a=60°,b=45°,c=20cm

2.在△abc中,已知以下条件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,b=30°(2)c=54cm,b=39cm,c=115°

同学板演，老师巡察，准时发觉问题，并解答。

(七)小结反思，提高熟悉

通过以上的讨论过程，同学们主要学到了那些学问和方法?你

对此有何体会?

1.用向量证明白正弦定理，表达了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角动身，运用分类商量的思

想。

(从实际问题动身，通过猜测、试验、归纳等思维方法，最终

得到了推导出正弦定理。我们讨论问题的突出特点是从特别到一般，

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我们不仅收获着结论，而且整个探究过程我们也把握了讨论问题的一

般方法。在强调讨论性学习方法，注意同学的主体地位，调动同学主

动性，使数学教学成为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

假如已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?

发觉正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布

置作业，预习下一节内容。

(九)作业布置

p10习题1.1a组习题1。

高中数学《正弦定理》教案2

一、教材分析

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，

在这次课程改革中，被保存下来，并成为一章。这部分内容从学问体

系上看，应属于三角函数这一章，从讨论方法上看，也可以归属于向

量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何

问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是

在同学已有的三角函数及向量学问的基础上，通过对三角形边角关系

作量化探究，发觉并把握正弦定理(重要的解三角形工具)，通过这一

部分内容的学习，让同学从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模

过程中，体验“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，

养成大胆猜测、擅长思索的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题

的过程中，感受数学的力气，进一步培育同学对数学的学习爱好和

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“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村一般中学，大多数同学基础薄

弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。

但是，大多数同学对数学的爱好较高，比较喜爱数学，尤其是象本节

课这样与实际生活联系比较紧密的内容，信任同学能够主动协作，有

比较不错的表现。

三、教学目标

1、学问和技能：在创设的问题情境中，引导同学发觉正弦定

理的`内容，推证正弦定理及简洁运用正弦定理解决一些简洁的解三

角形问题。

过程与方法：同学参加解题方案的探究，尝试应用观看——猜

测——证明——应用”等思想方法，寻求最正确解决方案，从而引发

同学对现实世界的一些数学模型进行思索。

情感、看法、价值观：培育同学合情合理探究数学规律的数学

思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等

学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实

际问题的探讨、解决，让同学体验学习成就感，增添数学学习爱好和

主动性，熬炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要

用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发觉与证明;正弦定理的简洁应用。

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教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节

课我预备采纳“问题教学法”，即由老师以问题为主线组织教学，利

用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发爱好、突出重点，突破难点，

提高课堂效率，并引导同学实行自主探究与互相合作相结合的学习方

式参加到问题解决的过程中去，从中体验胜利与失败，从而逐步建立

完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺当地解决重点，突破

难点，同时本着贴近生活、贴近同学、贴近时代的原则，我设计了这

样的教学过程：

(一)创设情景，揭示课题

问题1：安静的夜晚，明月高悬，当你仰视夜空，观赏这美妙

夜色的时候，会不会想要知道：那遥不行及的月亮离我们到底有多远

呢?

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为

385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?

问题2：在如今的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必

要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是

为什么吗?还有，交通警察是怎样测出正在大路上行驶的汽车的速度

呢?要想解决这些问题，其实并不难，只要你学好本章内容即可把握

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其原理。(板书课题《解三角形》)

[设计说明]引用教材本章引言，制造学问与问题的冲突，激发

同学学习本章学问的爱好。

(二)特别入手，发觉规律

问题3：在学校，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三

角形》这一章，老师想试试你的实力，请你依据学校学问，解决这样

一个问题。在Rt⊿ABC中sinA=，sinB=,sinC=,由此，你能把这

个直角三角形中的全部的边和角用一个表达式表示出来吗?

引导启发同学发觉特别情形下的正弦定理。

(三)类比归纳，严格证明

问题4：此题属于学校问题，而且比较简洁，不够刺激，如今

假如我犯难犯难你，让你也当一回老师，假如有个同学把条件中的

Rt⊿ABC不当心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成

立吗?

[设计说明]此时放手让同学自己完成，假如感觉自己解决有困

难，同学也可以前后桌或同桌结组讨论，鼓舞同学用不同的方法证明

这个结论，在巡察的过程中让不同方法的同学上黑板展现，假如没有

用向量的同学，老师引导提示同学能否用向量完成证明。

高中数学《正弦定理》教案3

高中数学正弦定理教案，一起拉看看吧。

本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证

明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习稳固旧学问，使同学

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把握新的有用的学问，体会联系、进展等辩证观点，而且能培育同学

的应用意识和实践操作力量，以及提出问题、解决问题等讨论性学习

的力量．

本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计

算，这是一种基本运算力量，同学基本上已经把握了．若在解题中消

失了错误，则应准时订正，若没消失问题就顺其自然，不必花费过多

的时间．

本节可结合课件“正弦定理猜测与验证”学习正弦定理．

三维目标

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探究，把握正弦定理

的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角

形的两类基本问题．

2．通过正弦定理的探究学习，培育同学探究数学规律的思维

力量，培育同学用数学的方法去解决实际问题的力量．通过同学的主

动参加和亲身实践，并胜利解决实际问题，激发同学对数学学习的热

忱，培育同学思索和勇于探究的创新精神．

重点难点

教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．

教学难点：正弦定理的探究和证明；已知两边和其中一边的对

角解三角形时，推断解的个数．

课时支配

1课时

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教学过程

导入新课

思路1.(特例引入)老师可先通过直角三角形的特别性质引导

同学推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，

则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？同学可以得

到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从

而绽开正弦定理的探究．

思路2.(情境导入)如图，某农场为了准时发觉火情，在林场

中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C

处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到

火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处．如今要

确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC

中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC与BC的

长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形

的必要学问，今日要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定

理，由此绽开新课的探究学习．

推动新课

新知探究

提出问题

1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪

些问题？

2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角

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形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？

3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍旧成立？

4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言表达它吗？你能用

哪些方法证明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？

活动：老师引导同学阅读本章引言，点出本章数学学问的某些

重要的实际背景及其实际需要，使同学初步熟悉到学习解三角形学问

的必要性．如老师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛

屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量

底部不行到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机

下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任

意三角形中边与角关系的有关学问．让同学明确本章将要学习正弦定

理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些

问题．

关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，老

师引导同学探究其数量关系．先观看特别的直角三角形．如下列图，

在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，依据锐角三角函数中正弦

函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝

bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍旧成立呢？老师引

导同学画图商量分析．

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如下列图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，

依据任意角的三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝

bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA＝bsinB＝csinC.

(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的状况，由

同学自己完成)

通过上面的商量和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式

都成立．老师点出这就是今日要学习的三角形中的重要定理——正弦

定理．

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

即

asinA＝bsinB＝csinC

上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、

锐角三角形、钝角三角形三种状况进行证明．老师提示同学要把握这

种由特别到一般的分类证明思想，同时点拨同学观看正弦定理的特

征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系

式．正弦定理的重要性在于它特别好地描述了任意三角形中边与角的

一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种精确的数量关

系．由于假如∠A＜∠B，由三角形性质，得a＜b.当∠A、∠B都是锐

角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA＜sinB.当∠A

是锐角，∠B是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由

正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，

所以仍有sinA＜sinB.

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正弦定理的证明方法许多，除了上述的证明方法以外，老师鼓

舞同学课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．

商量结果：

(1)～(4)略．

(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们

的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．

(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的

任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一

角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这

类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，

可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的

边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，

需依据实际状况分类商量．

应用示例

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9cm，

解此三角形．

活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和

角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定

理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．

解：依据三角形内角和定理，得

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝

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66.2°.

依据正弦定理，得

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

点评：(1)此类问题结果为唯一解，同学较易把握，假如已知

两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三

个角，再利用正弦定理．

高中数学《正弦定理》教案4

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一

节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与学校学习的三角形的

边和角的基本关系有亲密的联系。在此之前，同学已经学习过了正弦

函数和余弦函数，学问储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论

根据，也是解决实际生活中很多测量问题的工具。因此娴熟把握正弦

定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中敏捷

变通。

二、教学目标

依据上述教材内容分析，考虑到同学已有的认知结构心理特征

及原有学问水平，制定如下教学目标：

学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角

形。

力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并

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能把握多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干

净对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对

角解三角形时推断解的个数。

四、教法分析

根据本节课内容的特点，同学的熟悉规律，本节学问遵循以老

师为主导，以同学为主体的指导思想，采纳与同学共同探究的教学方

法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发同学学习

数学的奇怪心和求知欲，让同学的思维由问题开头，到猜测的

得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和

习题来强化内容的把握，突破重难点。即指导同学把握“观看——猜

测——证明——应用”这一思维方法。同学采纳自主式、合作式、探

讨式的学习方法，这样能使同学主动参加数学学习活动，培育同学的

合作意识和探究精神。

五、教学过程

本节学问教学采纳发生型模式：

1、问题情境

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻

的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是

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1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测

得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要建多长的索道？

可将问题数学符号化，抽象成数学图形。即已知AC=1500m，

∠C=450，∠B=300。求AB=？

此题可运用做帮助线BC边上的高来间接求解得出。

提问：有没有依据已供应的数据，直接一步就能解出来的方法？

思索：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角

的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系精确量化的表示呢？

2、归纳命题

我们从特别的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系：

在如图Rt三角形ABC中，依据正弦函数的定义