能流密度

I

摘要

在电磁场中能量的流动主要用能流密度矢量来描述，在电磁场这种特殊的物质发生

内部运动时，也伴随能量的流动，这时能量流动的情况主要应用能流密度矢量进行计算。

随着对能流密度矢量的深入研究，能流密度矢量的应用也非常广泛，利用能流密度

矢量计算不同电磁场中能量流动的具体方式，和能量流动的功率等物理量。在本文中主

要研究能流密度矢量在三个方面的应用。对能流密度矢量进行理论分析之，通过推导的

方式，得出在稳恒电路中，能量是由电磁场携带，并且流动的方式是单向的从电源向负

载流动，而不是在导线内通过自由电子的定向移动来传输；在交变电路中能量的流动就

不是单一定向的，能量传输会被分为两部分，一部分是被传输到负载的有功功率，另一

部分是进行震荡的无功功率，并且根据交流电路的不同，震荡形式也是不同的，这两部

分能量传输的功率都需要通过能流密度矢量进行计算；同样应用理论分析的方式应用能

流密度矢量描述电磁波在介质中的能量传输，从而分析出平面电磁波在特殊介质中传播

而产生奇异现象的原因。

关键词：能流密度矢量；能量传输；稳恒电路；交变电路；左手介质

II

Abstract

TheflowofenergyintheelectromagneticfieldPoyntingvectorismainlyudto

describetheelectromagneticfieldinthisparticularmatterwhenaninternalmovement,isalso

accompaniedbytheflowofenergy,thentheenergyflowsituationismainlyappliedto

calculatethePoyntingvector.

Withthein-depthstudyoftheenergyfluxdensityvectorfluxdensityvectorisalso

widelyud,theuofdifferentenergyfluxdensityvectorcalculationflowof

electromagneticenergyspecificwayflowofpowerandenergyandotherphysicalquantities.

Poyntingvectoroftheoreticalanalysis,derivedbywayofthecircuitobtainedinthesteady

energyiscarriedbyanelectromagneticfield,andtheflowisunidirectionalmannerfroma

powersourcetotheloadcurrent,ratherthanthroughthefreeinnerconductorsmovingthe

orientationoftheelectronictransmission;alternatingtheflowofenergyinthecircuitisnota

singleorientation,theenergytransmissionisdividedintotwoparts,therealpoweris

transmittedtotheload,theotherisforthereactivepoweroftheshock,anddependingonthe

ACcircuit,theoscillationformisdifferent,thetwopowertransferpartoftheenergyneeded

bythefluxdensityvectoriscalculated;appliedthesamewayastheapplicationoftheoretical

energyflowdensityvectordescribesthetransmissionofelectromagneticenergyinthe

medium,toanalyzethecauofaplaneelectromagneticwavepropagationinaspecial

mediumtoproduceexoticphenomena.

Keywords:Poyntingvector;energytransfer;steadycircuit;alternatingcircuit;left-handed

material

III

目录

摘要.............................................................................................................................................I

Abstract....................................................................................................................................II

绪论............................................................................................................................................1

第1章对能流密度矢量的理论分析....................................................................................2

第2章电路中的能量传输....................................................................................................5

2.1在恒流导体中的能量传输..........................................................................................5

2.1.1电路分析...............................................................................................................5

2.1.2电路中能量传输的方式.......................................................................................6

2.1.3本节小结...............................................................................................................6

2.2正弦交流电路中的能量传输......................................................................................7

2.2.1单相正弦电路中的能量传输...............................................................................7

2.2.2三相正弦电路中的能量传输...............................................................................8

2.2.3本节小结.............................................................................................................11

第3章在介质中的能量流动..............................................................................................12

3.1右手介质中的能量传输............................................................................................12

3.2左手介质的基本原理................................................................................................13

3.3能量在左手介质中的传播........................................................................................13

3.4本章小结....................................................................................................................16

总结..........................................................................................................................................17

参考文献..................................................................................................................................18

致谢..........................................................................................................................................19

1

绪论

能流密度矢量S



，他描述能量的流动。能流密度矢量的应用主要有两个方面，分别

是信号传输和能量传输，本文主要研究在电磁场中能量传输方面能流密度矢量的应用。

电磁场是一种特殊物质，并且它具有内部运动，虽然电磁场的运动与其他物质的运

动是不同的，但是都有共同的特性，这种共同的特性就是在运动过程中都有共同的运动

量度——能量，在电磁场发生内部运动时，也电磁场中发生能量的传输[1]。在研究电磁

场能量传输过程中，应用最广泛并且最有效的方法，就是利用能流密度矢量S



进行分析

和计算[2]，在电磁场用中能流密度矢量S



能够描述能量在场内传播大小和方向，在数值

上

S



等于单位时间内流过单位横截面积的能量，

S



的方向表示能量传播的方向[3]，计算

公式为：

HES







应用能流密度矢量能够分析解决大部分电磁场能量传输问题，或者信号传输问题

等。现今在国内外有很多这方面的研究成果，而本文主要研究方向是应用能流密度矢量

分析电路和中能量的传输，和在介质中能量的传输，首先通过对能流密度矢量矢量定理

的理论分析，推导能流密度矢量定理，得出能流密度矢量的适用范围，以及在不同的情

况下应用能流密度矢量计算分析，得出在这一情况下能量的流动方式。然后首先根据能

流密度矢量定理中闭合面内的电磁场关系，将电路分为稳恒电路和交流电路，当电场与

磁场都是不变的稳恒电路时，因为研究的是直流电路，所以这是一个相对简单的情况，

只研究能量的传输方向和大小。而当电场磁场都改变的正弦交流电路时，情况就要复杂

的多，并且正弦交流还分为单项的和三项的电路，本文在这两个方面都会进行详细的描

述，分析出能量传输的有功功率和无功功率。以上内容都应用实函数进行描述能流密度

矢量，但是能流密度矢量不仅可以用实函数表示，还可以通过复函数表示，本文以左手

介质这种特殊介质为例，应用复函数来描述左手介质中能量流动的情况，得到在左手介

质中产生一些特殊光学现象的原因。本文只简单介绍能流密度矢量在这三个方面的应

用。

2

第1章对能流密度矢量的理论分析

能流密度矢量定理的文字表述是：在电磁场中的任意闭合面上，能流密度矢量的外

法向分量的闭合面积分，等于闭合面所包围的体积中所储存的电场能和磁场能对应时间

的减少率减去在该体积中转化为其他能的耗散率[4]。从以上文字表述中可以得出电磁能

量与其他自然界中存在的能量是有相同特性的，都符合物质运动过程中的能量守恒和转

化定律。

能流密度矢量定理的微分形式和积分形式的推导，是应用电磁场能量密度与麦克斯

韦方程组而推导出来的，在时变电磁场中空间某点的能量密度



（电磁场内单位体积具

有的能量tx，



）等于在该点电场的能量密度

e



与在该点磁场的能量密度

m

的和，其

中电场能量密度的值为

DE





2

1

e

，磁场能量密度的值为

BH





2

1

m

，则可以得到电

磁场的能量密度为：

BHDE





2

1

(1-1)

则在电磁场中能量可表示为：

VBHDEW

V

d

2

1



(1-2)

在麦克斯韦方程组中有：

t

D

JH











(1-3)

t

B

E











(1-4)

在（1-3）式两端同时点成

E



，在（1-4）式两端同时点成

H



得到新的方程组：

























t

D

JEHE





，(1-5)

























t

B

HEH





(1-6)

由（1-6）式减去（1-5）式可得：

3



t

D

EJE

B

HHEEH





















t

(1-7)

在（1-7）式中





































2

2

1

t2

1

HHH

tt

H

H

t

B

H













(1-8)





































2

2

1

2

1

E

t

EE

tt

E

H

t

D

E













(1-9)

和



分别是电磁场介质的磁导率和介电常数，将（1-8）式与（1-9）式同时代入（1-7）

式中得：

JEEHHEEH























22

2

1

2

1

t



(1-10)

将矢量恒等式EHHE



代入到（1-10）式中得



JEE

t

H

t

HE

JEEH

t

HE

































































22

22

2

1

2

1

2

1

2

1





(1-11)

由（1-11）式得出能流密度矢量定理的微分形式：

JE

tt

HEm



















e(1-12)

将能流密度矢量定理微分形式在一定体积内进行积分得：

VJE

tt

VHE

VV

ddm

e



































V

me

S

VJEWW

dt

d

dSHEd



(1-13)

(1-13)式为能留密度矢量定理的积分表述，在（1-13）式中与以上文字表述是对应的，

证明了电磁能量也是守恒的，等号左端表示，在单位时间内穿过闭合面S进入到体积V

的电磁能量和流出体积V电磁能量的和，等号右端第一项表示，单位时间内体积V中电

磁能的增加量或减少量，第二项表示单位时间体积V中由于变为焦耳热消耗的电磁能

量。

由以上我们可以得出，在能流密度矢量定理中等式左端表示通过包围体积V的闭合

面S的向内或向外传输的电磁能的功率（向内向外有“－,＋”表示），等式右端表示在

体积V内电磁场能量变化的功率。则其的物理意义为：体积V内的能量通过闭合面想外

4

输出的功率等于体积V内能量减少的功率与从外源获得能量的功率的总和。

在式（1-13）中，若闭合面内的电场强度和磁场强度是稳定的，不随时间发生变化，

证明能流密度矢量也是一个定值，不随时间发生变化，那么在这闭合曲面包围的体积中

的能量也是不发生变化的，这是一个稳定的电磁场能量传输情况，例如稳恒电路；若在

闭合面内的电场和磁场是不恒定的，随时间进行周期性变化的，证明能流密度矢量也是

在时刻变化的，而且变化情况比较复杂，那么在闭合曲面内的能量也随时间发生变化，

例如交变电路。在本文的第二章中会详细的描述这两种情况。

能流密度矢量定理是由电磁场能量方程和麦克斯韦方程组在没有任何限制条件下

推导出来的，所以适用于麦克斯韦方程组的情况均适用于能流密度矢量定理。

5

第2章电路中的能量传输

2.1在恒流导体中的能量传输

2.1.1电路分析

如果一个金属导体，在其两端没有加电压时，金属导体中的自由电子并不是静止的，

而是在做分子热运动。分子热运动具有的特点是永不停息和无规则，这说明金属导体中

的自由电子向各个方向运动的几率都是相同的。根据

kTm

2

3

2

1

2v

（其中

k

为波尔兹曼

常量，T为金属导体的热力学温度，v为在温度T下分子热运动的平均速率），可以计算

出金属导体中在常温下自由电子热运动的平均速率数量级为sm105。若假设上述金属

导体为铁，并且导体横截面积为1mm2,，内通过1A的电流，那么可以根据公式

Sen

t

q

I





v

（在式中n表示单位体积的铁导体包含内自由电子的数量）推导出自由

电子定向移动的平均速率为

Sen



1

v

，(2-1)

其中

A

N

M

n





，铁的密度33mkg109.7

，铁的摩尔质量molg10563M，

A

N为阿伏伽德罗常数，值为123mol1002.6

，则326m1049.8n

，代入（2-1）式中计

算出v的数量级为sm105-。

由以上计算了解到，金属到体内的自由电子热运动的平均速率远远大于自由电子定

向移动的平均速率速率，相差大约10个数量级。相比来说自由电子定向运动的速率很

小，但是在电路中能量传输速率却很快。这是由于在电源内部，电场强度从正极指向负

极，而电流密度矢量j



确实从负极指向正极，由右手螺旋定则得到电源内部上方的磁感

应强度B



的方向为垂直于纸面向里，下方磁感应强度B



的方向为垂直于纸面向外，根据

能流密度矢量

0



B

ES







，可以得到电源内部的能流密度矢量不是指向电源所连接的导

线，而是指向电源的外部空间，这说明电源并不直接向导线传输能量[5]。

6

2.1.2电路中能量传输的方式

由于电路是稳恒的，所以在导线的内部空间和外部的空间都存在着恒定的电磁场，

电场

E



和磁场

B



的方向如图2-1所示，根据能流密度矢量的定义式，在电源附近的空间

内的电磁场能量传输的能流密度为：

BEBEBEE

B

ES











n

0

t

00

nt

0

111



(2-2)

其中能流密度矢量又分为两部分，分别是

n

S



和

t

S



，

n

S



表示的是在垂直导线方向上的能

流密度矢量，

t

S



表示的是在平行于导线方向上的能流密度矢量，

n

S



和

t

S



的值分别为：

BES







t

0

n

1



，BES







n

0

t

1



(2-3)

2.1.3本节小结

实际上在上述中的

n

S



本质上是导线消耗的能量，也就是垂直于导线方向的能量是流

入导线内部供给导线消耗的能量，这也说明说导线内的能量来源是其周围空间，而不是

电源直接传输过来的。在上述中

t

S



本质上是表示电源传输到负载的能流密度矢量，也就

是负载消耗的能量。所以总的来说在稳恒电路中，电磁场的能量始终实在导线外部传输

的，从前面定性分析和定量分析都可以得到这一点。电路中电源提供了导线周围电磁场

的能量，而电磁场又将能量传输给各个负载和供给导线消耗。

E

j

B

B

En

Et

E

E

E

En

E

SnSt

St

B

E

S

S

B

Sn

Et

E

+

_

图2-1电源周围电磁场分布

7

2.2正弦交流电路中的能量传输

在正弦交流电路中，我们最常用的是有功功率和无功功率这两个物理量来描述电路

的能量传输。在能量传输过程中负载的一端在接受能量时，能量传输的功率可以分为两

部分，其中恒大于零的功率计算出平均功率后，定义为有功功率；而随时间变化出现正

负交替现象，也就是传输方向发生改变的功率，被定义为无功功率[6]，因此无功功率也

描述了能量在电源与负载之间进行交换的现象。众所周知，交流电分为单项交流电和三

相交流电，单相交流电主要是生活用电，三相交流电一般作为工业用电，所以我们将分

别讨论分析单相和三相正弦交流电路中的能量传输。

2.2.1单相正弦电路中的能量传输

对于正弦电路中能量的分析也就是对能量传输的功率的分析，首先分析的是单相平

板型输电系统，如图2-2所示，在研究之前要先假设研究对象为理想模型，

假设每一块平板都是理想导体。

在空间内建立如图的坐标系，设两边之间的距离为d，每个板的宽度为h，在上下

两板加值为tu

的正弦交流电压，在上下两板之间加负载。

设电源电压的有效值为：

tUtusin2(2-4)

设电流的有效值为：

tItisin2(2-5)

图2-2平板式单相正弦交变电路

E

S

H

d

h

3

1

n

2

4

z

x

y

o

u(t)

i(t)

_

+

8

在上式中，为电源电压和电流之间的相位差，t为在能量传输时对应的某一个时刻，



为角频率。

在上文中已经假设研究对象为理想模型，那么就可以忽略平行板输电线的电场和磁

场形成的边缘效应，两平板间的电场可表示为：





x

e

d

tu

tE







(2-6)

两平板间的磁场可表示为：





y

e

h

ti

tB







(2-7)

则由式(2-6)和(2-7)可得到两板之间能量传输的能流密度矢量为：





z

e

hd

titu

tBtEtS









(2-8)

上式中的

x

e



、

y

e



和

z

e



分别表示在图2中坐标轴x、y和z三个方向上的单位矢量。将式

（2-5）和（2-4）代入到式（2-8）中，得到

zttUI

dh

tS





sinsin

2

ztUIUI

dh



2coscos

1

naac

SS



(2-9)

上式中

ac

S



表示有功功率的能流密度矢量,

na

S



表示无功功率的能流密度矢量，

ac

S



和

na

S



的值分别为：

z

eUI

dh

S





cos

1

ac



(2-10)



z

etUI

dh

S





2cos

1

na

(2-11)

若在图一中选定一个矩形平面A，使A的四个顶点分贝为1234四个点，计算出穿

过平面A的功率，对式（2-11）中的能流密度矢量进行积分，得

AetStP

z

A

d







=AtUIUI

A

d2coscos=tt

naac

PP(2-12)

式(2-12)表明，对于平面A来说，

ac

S



一直是向z轴的正方向传输[7]，这说明能量是

从电源流向负载的，并且得到穿过平面A的总功率为tP

ac

。在这个电路中无功功率对

应的能流密度矢量

na

S



，是在z轴方向来回震荡的，方向是z，这表明能量是在电源和

负载之间来回震荡的，功率为tP

na

。

2.2.2三相正弦电路中的能量传输

在这里，依然采用平板形输电线路，类似上一节的情况，采用一个三相对称的理想

平板形输电线路，如图3所示。

9

假设三项相弦电压按顺序分别为tu

a

、tu

b

和tu

c

，设其有效值分别为：

tUtusin2

a

(2-13)

















3

2

sin2

b

tUtu(2-14)

















3

2

sin2

c

tUtu(2-15)

则按顺序三相电流为：

tItisin2

a

(2-16)

















3

2

sin2

b

tIti(2-17)

















3

2

sin2

c

tIti(2-18)

同时也忽略平板形输电线路的电场和磁场的边缘效应，设两平板之间的距离为d，

每个平板的宽度为h，那么可得到上部两平板之间的电场和磁场为





x

d

tu

tE





ab

ab

，



y

e

h

ti

h

tititi

tB





acba

ab2





(2-19)

下部两个平板之间的电场和磁场分别为





x

d

tu

tE





bc

bc

，



y

e

h

ti

h

tititi

tB





ccba

bc2





(2-20)

Ebc

Sbc

Hbc

Eab

Hab

Sab2

o

d

h

6

5

4

1

n2

3

n1

z

x

y

ia(t)

ib(t)

ic(t)

ua(t)

ub(t)

uc(t)

图2-3平板式三相正弦交变电路

10

由式(2-19)和式(2-20)可得到上部两平板和下部两平板之间的能流密度矢量tS

ab



和

tS

bc



，值分别为：





z

e

hd

titu

tBtEtS







aab

ababab



(2-21)





z

e

hd

tiu

tBtEtS







cbc

bcbcbc



(2-22)

将式（2-19）代入到式（2-21）中可得



z

et

hd

UI

tS

















)

6

2cos()

6

cos(

3

ab









(2-23)

将式（2-20）代入式（2-22）中可得



z

et

hd

UI

tS

















)

6

2cos()

6

cos(

3

bc









(2-24)

根据式(2-23)和式(2-24)中能流密度矢量随时间变化的规律，我们可以将平板之间的能流

密度矢量定义为：



naabacabab，，

SStS







nabcacbcbc，，

SStS





那么可以对照单项平板我们可以得到三项平板间的有功功率和无功功率的能流密

度矢量，分别为

z

e

dh

UI

S





















6

cos

3

acab，

(2-25)

z

e

dh

UI

S





















6

cos

3

acbc，

(2-26)

z

et

hd

UI

S























6

2cos

3

naab，

(2-27)

z

et

hd

UI

S























6

2cos

3

nabc，

(2-28)

在图2-3中选定两个矩形平面

ab

A和

bc

A，平面

ab

A的四个顶点分别为1234，

bc

A的四

个顶点分别为2356。从电源流向负载的中功率等于从平面

ab

A和平面

bc

A流过的能量的总

和，则总功率为

cos3

abab

bcababc

UIdAetSdAetStP

A

z

A

z











(2-30)

11

由上式我们可以得出，tP

abc

由电源向负载传输能量的功率，也就是三相电路中电

源向负载传输能量的有功功率，它是

acab，

S



和

acbc，

S



积分的和。在看

naab，

S



和

naba，

S



，它们

的方向总是相反的，大小总是相等的，所以这部分功率是在平板输电线之间来回震荡的，

这部分功率为无功功率。从这一点也可以看出三相平板输电线路和单相平板输电线路的

不同之处，就是在三相平板输电线路中没有电源和负载之间的功率震荡。而且无功功率

是在平板输电线之间震荡的，这是因为在平板三相输电线率中的任意时刻，电流的总和

都为零。并且在平板三相输电线路中，当电路达到稳态时，电源、输电线和负载的无功

功率是分别在各自的空间内来回震荡的，三者之间的无功功率不进行流动。

2.2.3本节小结

从上述的内容来看，在正弦交流稳态电路中，无论是单相的还是三相的，能量也都

是通过周围空间的电磁场从电源传递到负载的，而不是经过输电线内部，并且有功功率

可以用正弦曲线清晰明确的表达出来，而无功功率是更复杂的进行震荡，在这里没有进

行解释。

12

第3章在介质中的能量传输

平面电磁波在介质中传输时，伴随能量传输，但是由于介质的不同，能量传输的方

式也会发生变化。根据介质中传播电磁波电场方向、磁场方向和波矢方向的关系可以将

介质分为两种：左手介质和右手介质。右手介质是生活中常见的电磁波传输介质，右手

材料中传播的电磁场量

E



、

B



与波矢k



满足“右手定则”，有效介电常数



和磁导率同

时大于零，电磁波在右手介质中传播时的相速度与群速度方向相同；左手介质是一种合

成材料，左手材料中传播的电磁场量

E



、

B



与波矢k



满足“左手定则”，因为其结构具

有周期性，而且且其特性受控于结构单元几何形状及其空间分布，造成其有效介电常数



和磁导率同时小于零。导致在其中传播的电磁波的相速度与群速度方向相反，从而

呈现出许多奇异的物理光学特性，如反常Doppler效应、反常Cherenkov效应、完美透

镜效应、负折射效应等[8]。

3.1右手介质中的能量传输

电磁波在各向同性的均匀右手介质中传播时，电磁波的的传播特性由介质的介电常

数



和磁导率决定的，平面波传播的波矢

k



和其频率



满足色散关系2

2

2

2n

c

k





，在

式中n表示介质的折射率，其大小等于电介质



和磁导率的乘机，c是光在真空中传

播的速度。在没有任何能量损失的理想状态下，在的右手介质中，n、



和都为正实

数。平面单色电磁波在各向同性无源介质中传播时，满足麦克斯韦方程组

t

B

E











，

t

D

H









，(3-1)

将介质方程

trkieEE





0

，

trkieHH





0

代入(3-1)式可得

H

c

Ek









，H

c

Hk









(3-2)

由上式可以得出，在



和都为正实数时，电磁波的电矢量E



、磁矢量H



和波矢量

k



是满足右手关系的，波矢

k



的方向与能流密度矢量

HES







的方向是相同的，也就是

相速度和群速度的方向时相同的。在这里不详细介绍电磁波在右手介质中的能量传输，

下面将详细介绍能量在左手介质中的传输。

13

3.2左手介质的基本原理

电磁波在左手介质中传播时，也同样满足式(3-1)和(3-2)，但是左手介质的介电常数



和磁导率都为负数，在表面上开起来左手介质和右手介质虽然无明显的差异，但是其

本质是不同的。由上式可以得出，在



和都为负实数时，电磁波的电矢量

E



、磁矢量

H



和波矢量k



是满足左手关系的，并且波矢k



的方向与能流密度矢量HES





的方向是相

反的，也就是单色平面波在各项同性的均匀的左手介质中传播时，相速度和群速度的方

向时相反的。

电介质常数



和磁导率同时为负的物理本质可由Drude．Lorentz模型来解释。若

假定介质材料中的原子和分子都看作是以某一固有频率

0



谐振的束缚电子谐振子。在外

电场作用下，当外电场的频率

0

时，电子相对于原子核产生1个位移，并且在外

电场方向上诱导1个极化，即极化方向同外电场方向一致，此时介电常数为正．当

0



时，谐振子同外电场发生谐振，外场诱导的极化很大，谐振子内积累了很大的能量，从

而使外电场方向发生反转时，谐振子的极化方向几乎不受影响．即当频率接近于谐振频

率

0



时，谐振子的极化由与外电场同相位转变为与外电场反相，从而出现了负效应。

3.3能量在左手介质中的传播

如图所3-1示，有两种介质，介质1是右手介质，并且各向同性，参数

1

和

1

均大于零。介质2是左手介质，并且各向同性，参数

2

和

2

均大于零。现有平面

电磁波，在y方向偏振，入射到两种介质中。

则有入射波的能流密度有

trHtrEtrS，，，













(3-3)

θ2＞0

E2y

θ2

S

H2x

θ1

θ1

E1yE1y′

H1z′

H1z

z

x

ε＞0,μ＞0

ε＜0,μ＜0

k1′

k1

图3-1右手介质入射左手介质

14

并且有A。

设平面波在介质1中的传播常数为

1

k，并且

11

k，设波的阻抗为

1

，

1

1

1



，传播常数

1

k可以投影为

x

k

1

和

z

k

1

，其中

111

sinkk

x

，

111

coskk

z

，且相位

差zkxkr

zxn11

，，

.21，n

在界面上，0z没有自由电流，所以电场强度

E



在切向的分量是连续的，同样，

磁场强度

B



在切向的分量也是连续的，因此通过边界条件就可以得到，在边界处平面波

的透射系数

t

T

，

和反射系数

t

R

，

，值分别为

zz

z

kk

k

T

2112

12

2

1







，

，

zz

zz

kk

kk

R

2212

2112

1









，

(3-4)

当平面波有介质1进入到介质2时，进入的电场为







tiriTdAE

y

，，

22

exp(3-5)

并且在入射时有

2

22

2

2xz

kk

(3-6)

又通过边界条件可以得到

xx

kk

21

，所以我们将x方向的波矢量都用

x

k来表示，的

值可以取1，当取1时表示平面波实在右手介质当中传播，当取1时表示平面波

是在左手介质中传播，用式(3-5)和电场强度和磁场强度关系式ESH







可以得到

磁场的表达式：





tiriTA

k

dHx

z











，，

21

2

2

exp

(3-7)





tiriTA

k

dHz

x











，，

21

2

2

2

exp

(3-8)

下面将研究当以不同频率的电磁波从右手介质射入左手介质的情，当两种不同频率

的电磁波入射时，考虑到入射电磁场由两个分离频率构成，即



21

0

2







E

其中

0

E为实振幅，且

15

12





，1

1









如果透射系数1

1



，

T，则对应着完全透射，这样就有反射系数R等于零，即



2

2

2

11

12122

1

sin











(3-9)

我们可以得到结论，在右手介质中，当1

01



时，如果

02

的条件不能成立，

但是在左手介质中，只要满足

2



1，0R就是可能成立的，所以我们可以由式(3-9)

带入到式(3-3)中得到在左手介质中的电场为



2102

coscosEtrE

y

，(3-10)

在上式中21

21

，，jtr

jj



，我们在讲(3-10)式带入到(3-7)(3-8)这两个式子中，

就可以得到磁场的表达式为：











]

coscos

[

222

22

121

11

02







xx

z

kk

EtrH，(3-11)











]

coscos

[

222

222

121

112

02







xx

x

kk

EtrH，

(3-12)

现在已知电场强度和磁场强度，那么就可以通过式(3-3)计算出在x方向和在z方向

的能流密度矢量值，在x方向的值为：















21

222

2

121

1

2

0

222

2

1

2

121

1

2

02

coscos][]cos[



















xxxx

x

kk

E

kk

ES

在z方向的值为：















21

222

22

121

12

2

0

222

22

1

2

121

12

2

02

coscos][]cos[



















xxxx

z

kk

E

kk

ES

又通过以上两式，可以推导出在x方向和在z方向的能流密度矢量对时间的平均值，分

别为：











][

2

222

2

121

1

2

0

2







xx

x

kkE

trS，











][

2

222

22

121

12

2

0

2







xx

z

kkE

trS，

现在得到了在以上两式，就可以将在x方向和在z方向的能流密度矢量对时间的平均值

16

合成，得到全部的能流密度矢量对时间的平均值











][

2

222

22

121

12

2

0

2





kk

E

trS，

(3-13)

通过式(3-13)能够知道，能流矢量的方向由两个分离频率的平均方向决定，而且在左手

介质中的不同于右手介质，0

2

trS

x

，，同时还有折射率也为负值，也就是说在左

手介质中波是以负角度折射的。

3.4本章小结

当平面波在左手介质中传播时，可以用能流密度矢量描述出电磁波的传播方向，进

而得到平面波在左手介质这种特殊材料中的传播情况，发现在这种特殊介质中能流密度

矢量

S



的方向与波矢量

k



的方向是相反的，而且电场强度

E



的方向、磁场

H



方向和波矢

k



的方向满足左手关系。用高斯光束入射时也能得到这一结论，但是在本文中不做详细

介绍。

17

总结

在本篇文章中，主要介绍了应用能流密度矢量描述电磁场的能量传输，首先给出了

能流密度矢量的理论分析，通过麦克斯韦方程组推导出能流密度矢量定理，得出能留密

度矢量定理的文字表述、微分形式和积分形式。并且得到在电磁场中的能量也是和自然

界中的所用能量一样，都是守恒的，并且可以在任何电磁场中应用能流密度矢量定理分

析能量的传输。在能流密度矢量定理中，若闭合面内的电场强度和磁场强度是稳恒不变

的，也就是稳恒电路，在稳恒电路中能量通过导线周围的电磁场进行传输，而电场强度

与磁场强度是恒定的，所以能量传输也是恒定的，能量传输的功率为确定值；若在闭合

面内的电场强度和磁场强度是随时间周期变化的，比如正弦交流电路，在正弦交流中又

分为单项交流电和三项交流电，在这两类电路中能量传输都分为两部分，一部分传输到

负载，这部分能量传输的功率叫有功功率，另一部分进行震荡，这部分能量传输的功率

叫无功功率，但是单项交流电路和三项交流电路的无功功率有区别，单项交流电路中无

功功率是在电源与负载之间震荡的，三项交流电路中无功功率是在各自的区域内震荡

的，并不是在电源、负载和导线之间震荡的。以上内容都是利用实函数进行描述的，为

表述能流密度矢量的复函数形式，在本文的第三章应用复函数描述了在左手介质中的电

磁能量传输，得到左手介质中电磁波传输时相速度与群速度是相反的，电场方向、磁场

方向和波矢方向满足左手关系，并且折射率n的值为负值，这使折射角与入射角不分居

在法线的两侧，而是在法线的同一侧。

18

参考文献

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[13]，tin，，ovskaya．ThebehaviorofthePoynting

vectorintheareaofelementarypolarizationsingularities[J]．OpticaApplicata，2007；

3,221-229

19

致谢

感谢郝斌政老师在论文期间给予的细心指导，在论文开始时，郝老师给予了我充分

的信任和支持，再商量论文题目以及内容安排时，感谢老师非常耐心的和我沟通，给我

指导。在论文内容修改定稿阶段了，郝老师占用自己的工作时间耐心为我解决疑难问题。

非常敬佩郝老师严谨认真的负责态度和渊博的知识，论文能够顺利的完成离不开老师给

我的帮助和意见，也要感谢论文组中同学给予的帮助，在相互之间的信息交流中使我能

够思路开阔，使论文更加丰富。同时也要感谢论文组中的各位老师给予的宝贵意见。