整式方程

2013年7月230100的初中数学组卷

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2013年7月230100的初中数学组卷

一．选择题（共19小题）

1．关于方程ax

2

=bx（a≠0）的解是（）

A．

x=0

B．

x=

C．

x=0或x=

D．

x=﹣

2．若关于x的方程2（x﹣3）+ax

2

=bx是一元一次方程，则a，b满足（）

A．a=0且b≠0B．a=﹣1且b≠0C．a=0且b≠2D．a=1且b≠2

3．关于未知数x的方程ax+b

2

=bx+a

2

（a≠b）的解是（）

A．

x=a+b

B．C．x=a﹣bD．x可以是一切实数

4．关于x的方程ax

2

+bx+c=0是一元二次方程的条件是（）

A．c为任意实数B．b不同时为零C．a取不为零的实数D．a取大于零的实数

5．若x=1是方程ax

2

+bx+c=0的解，则（）

A．

a+b+c=1

B．a﹣b+c=0C．

a+b+c=0

D．a﹣b﹣c=0

6．若关于x的方程与的解相同，则a的值是（）

A．

2

B．﹣2C．D．

7．已知x=1是方程a（x﹣2）=a+3x的解，则a的值等于（）

A．B．C．D．

8．已知关于x的方程（2a﹣1）x﹣2x=3的解是x=3，则a等于（）

A．

1

B．

0

C．

2

D．

3

9．已知x=3是方程2（x+2a）﹣（x+a）=9的解，则a等于（）

A．

6

B．﹣2C．

2

D．

10．（2013•安徽模拟）若关于x的方程2x﹣a=x﹣2的解为x=3，则字母a的值为（）

A．﹣5B．

5

C．﹣7D．

7

11．小明发现关于x的方程★x﹣6=9中的x的系数被污染了，要解方程怎么办？

他翻开资料的答案一看，此方程的解为x=﹣3，则★是（）

A．

3

B．﹣3C．

5

D．﹣5

12．下列方程中是二项方程的是（）

A．

x

4

+x=0

B．

x

5

=0

C．

x

3

+x=1

D．

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13．下列方程不是整式方程的是（）

A．B．

0.2x

2

﹣0.4x

3

=0

C．D．

14．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）

A．负数B．正数C．非负数D．非正数

15．已知关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解，则ab是（）

A．正数B．非正数C．负数D．非负数

16．若关于x的方程a

2

x+a﹣1=x无解，则a的值是（）

A．

1

B．﹣1C．

0

D．1或﹣1

17．如果关于x的方程3x﹣5+a=bx+1有唯一的一个解，则a与b必须满足的条件为（）

A．

a≠2b

B．a≠b且b≠3C．

b≠3

D．a=b且b≠3

18．已知关于x的方程（m

2

+2m+3）x=3（x+2）+m﹣4有唯一解，那么m的值的情况是（）

A．m=﹣2B．

m=0

C．m≠﹣2或m≠0D．m≠﹣2且m≠0

19．下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）

A．

ax

2

+bx+c=0

B．

ax

2

+1=x

2

﹣x

C．

x

2

=﹣a=0

D．

（a

2

+1）x

2

﹣（a

2

﹣1）x=0

二．填空题（共6小题）

20．二项方程x

4

﹣81=0的实数解是_________．

21．二项方程的实数根是_________．

22．请你写出一个没有实数根的一元二方程：_________．

23．已知x=1是方程3x﹣m=x+2n的解，则整式m+2n+2008的值等于_________

24．关于x的方程2a（x+5）=3x+1无解，则a=_________．

25．如果a、b为定值，关于x的方程，无论k为任何值，它的根总是1，则2a﹣b=_________．

三．解答题（共5小题）

26．解关于x的方程：ax

2

+bx+c=bx

2

+cx+a（a≠b）

27．（二）解方程

5x﹣3=9x﹣1．

28．已知关于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2无解，试求a的值．

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29．已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的

情况．

30．已知a、b为已知数，关于x的方程a（a﹣4）kx﹣b（b+6）=9﹣4kx，无论k为何值时，它的根总是2．求

的值．

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2013年7月230100的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共19小题）

1．关于方程ax

2

=bx（a≠0）的解是（）

A．

x=0

B．

x=

C．

x=0或x=

D．

x=﹣

考点：解一元二次方程-因式分解法．

专题：计算题．

分析：将方程右边的式子移项到左边，提取公因式x分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为

0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

解答：

解：方程ax

2

=bx（a≠0），

移项得：ax

2

﹣bx=0，

分解因式得：x（ax﹣b）=0，

可得：x=0或ax﹣b=0，

解得：x

1

=0，x

2

=．

故选C

点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形

式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

2．若关于x的方程2（x﹣3）+ax

2

=bx是一元一次方程，则a，b满足（）

A．a=0且b≠0B．a=﹣1且b≠0C．a=0且b≠2D．a=1且b≠2

考点：一元一次方程的定义．

分析：首先把方程化成一般形式，然后根据一元一次方程的定义即可求解．

解答：

解：整理得：ax

2

+（2﹣b）x﹣6=0，

根据题意得：a=0，2﹣b≠0，

则a=0且b≠2．

故选C．

点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，

这是这类题目考查的重点．

3．关于未知数x的方程ax+b

2

=bx+a

2

（a≠b）的解是（）

A．

x=a+b

B．C．x=a﹣bD．x可以是一切实数

考点：解一元一次方程．

专题：计算题．

分析：根据解一元一次方程的步骤解答．

解答：

解：方程ax+b

2

=bx+a

2

（a≠b）可化为：

ax﹣bx=a

2

﹣b

2

，

合并同类项得：（a﹣b）x=a

2

﹣b

2

，

因为a≠b，则a﹣b≠0，

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系数化为1得：x=，

整理得：x=a+b．

故选A．

点评：解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意熟练掌握．

4．关于x的方程ax

2

+bx+c=0是一元二次方程的条件是（）

A．c为任意实数B．b不同时为零C．a取不为零的实数D．a取大于零的实数

考点：一元二次方程的定义．

分析：一元二次方程必须满足三个条件：

（1）整式方程；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）二次项系数不为0．要特别注意二次项系数a≠0这一条件．

解答：解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0这一条件可知，a取不为零的实数时，原方程是一元二次

方程．

故选C．

点评：一元二次方程的定义中，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方

程了．当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方

程．

5．若x=1是方程ax

2

+bx+c=0的解，则（）

A．

a+b+c=1

B．a﹣b+c=0C．

a+b+c=0

D．a﹣b﹣c=0

考点：一元二次方程的解．

专题：计算题．

分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替

未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程可以求得a、b、c的关系．

解答：

解：把x=1代入ax

2

+bx+c=0，

可得：a+b+c=0；

故选C．

点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

6．若关于x的方程与的解相同，则a的值是（）

A．

2

B．﹣2C．D．

考点：同解方程．

专题：计算题．

分析：解第一个方程，用a表示x，然后代入第二个方程，解关于a的方程即可得解．

解答：

解：由x=+a得，x=a，

∵两个方程的解相同，

∴a+=﹣3，

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去分母得，a+a=﹣3，

解得a=﹣2．

故选B．

点评：本题考查了同解方程，先由第一个方程用a表示出x是解题的关键．

7．已知x=1是方程a（x﹣2）=a+3x的解，则a的值等于（）

A．B．C．D．

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：根据一元一次方程的解的意义把x=1代入方程得到关于a的一元一次方程，解此方程即可．

解答：

解：把x=1代入方程a（x﹣2）=a+3x得a（1﹣2）=a+3，解得a=﹣．

故选B．

点评：本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解．

8．已知关于x的方程（2a﹣1）x﹣2x=3的解是x=3，则a等于（）

A．

1

B．

0

C．

2

D．

3

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：虽然是关于x的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．

解答：解：把x=3代入（2a﹣1）x﹣2x=3

得：3（2a﹣1）﹣6=3，

解得：a=2，

故选C．

点评：本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求

函数解析式．

9．已知x=3是方程2（x+2a）﹣（x+a）=9的解，则a等于（）

A．

6

B．﹣2C．

2

D．

考点：一元一次方程的解．

专题：方程思想．

分析：方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，把x=3代入即可得到一个关于a的方程，求得a的

值．

解答：解：根据题意得：2（3+2a）﹣（3+a）=9，

解得：a=2．

故选C．

点评：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

10．（2013•安徽模拟）若关于x的方程2x﹣a=x﹣2的解为x=3，则字母a的值为（）

A．﹣5B．

5

C．﹣7D．

7

考点：一元一次方程的解．

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专题：计算题．

分析：由x=3是方程的解，故将x=3代入原方程中，得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．

解答：解：由方程2x﹣a=x﹣2的解为x=3，

故将x=3代入方程得：2×3﹣a=3﹣2，

即6﹣a=1，

解得：a=5．

故选B

点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程解的定义

是解本题的关键．

11．小明发现关于x的方程★x﹣6=9中的x的系数被污染了，要解方程怎么办？

他翻开资料的答案一看，此方程的解为x=﹣3，则★是（）

A．

3

B．﹣3C．

5

D．﹣5

考点：一元一次方程的解．

专题：方程思想．

分析：方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，把x=﹣3代入即可得．

解答：解：设★用a表示，则根据题意得：﹣3a﹣6=9，

解得a=﹣5，

即★是﹣5．

故选D．

点评：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

12．下列方程中是二项方程的是（）

A．

x

4

+x=0

B．

x

5

=0

C．

x

3

+x=1

D．

考点：高次方程．

分析：二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右

边是0，结合选项进行判断即可．

解答：解：A、不是二项方程，故本选项错误；

B、不是二项方程，故本选项错误；

C、不是二项方程，故本选项错误；

D、是二项方程，故本选项正确；

故选D．

点评：本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0．

13．下列方程不是整式方程的是（）

A．B．

0.2x

2

﹣0.4x

3

=0

C．D．

考点：分式方程的定义．

分析：找到分母中或根号下含有未知数的方程即可．

解答：解：A、B、C的分母中或根号下均不含未知数，是整式方程；

D、分母中含有未知数，不是整式方程，

故选D．

点评：方程可分为整式方程，分式方程，无理方程三类；分式方程是分母中含有未知数的方程，无理方程是根号

下含有未知数的方程．

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14．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）

A．负数B．正数C．非负数D．非正数

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：根据一元一次方程ax=b无解，则a=0，b≠0，依此可以得出关于x的方程（2a+b）x﹣1=0中2a+b=0，从而

得出ab的取值范围．

解答：解：关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，则2a+b=0．

∴有a=b=0或者a、b异号．

∴ab的值为非正数．

故选D．

点评：本题考查了一元一次方程的解．注意形如ax=b的方程无解，a=0，b≠0．

15．已知关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解，则ab是（）

A．正数B．非正数C．负数D．非负数

考点：解一元一次方程；代数式求值．

专题：计算题．

分析：

关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解，当且仅当3a+8b=0，得a=﹣，即ab=﹣b

2

．

解答：解：∵关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解．

∴当且仅当3a+8b=0，

∴a=﹣，∴ab=﹣b

2

，

∵b

2

≥0，∴﹣b

2

≤0，

故选B．

点评：本题考查了解一元一次方程，非负数的性质．

16．若关于x的方程a

2

x+a﹣1=x无解，则a的值是（）

A．

1

B．﹣1C．

0

D．1或﹣1

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：整理后得出（a+1）（a﹣1）x=﹣（a﹣1），根据方程无解得出（a+1）（a﹣1）=0，﹣（a﹣1）≠0，求出即可．

解答：

解：移项得：a

2

x﹣x=1﹣a，

∴（a+1）（a﹣1）x=﹣（a﹣1），

当（a+1）（a﹣1）=0，﹣（a﹣1）≠0时，即a=﹣1时，方程无解，

故选B．

点评：本题考查了一元一次方程的解的应用，关键是根据题意得出式子（a+1）（a﹣1）=0，﹣（a﹣1）≠0．

17．如果关于x的方程3x﹣5+a=bx+1有唯一的一个解，则a与b必须满足的条件为（）

A．

a≠2b

B．a≠b且b≠3C．

b≠3

D．a=b且b≠3

考点：一元一次方程的解．

专题：存在型．

分析：先将方程进行整理，再根据方程有唯一解，确定a、b的关系．

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解答：解：整理得：（3﹣b）x=6﹣a，

∵方程3x﹣5+a=bx+1有唯一的一个解，

∴3﹣b≠0，

解得b≠3，

故选C．

点评：一元一次方程有唯一解的条件：未知数的系数不为0．

18．已知关于x的方程（m

2

+2m+3）x=3（x+2）+m﹣4有唯一解，那么m的值的情况是（）

A．m=﹣2B．

m=0

C．m≠﹣2或m≠0D．m≠﹣2且m≠0

考点：方程的解．

分析：

标准一元一次方程ax+b=0有唯一解的条件是a≠0，将（m

2

+2m+3）x=3（x+2）+m﹣4转化为标准形式即可

得出m的值的情况．

解答：解：原方程整理成m（m+2）x﹣（m+2）=0，

该方程有唯一解的条件是m（m+2）≠0，

∴m≠0且m≠﹣2．

故选D．

点评：本题考查一元一次方程的解，难度不大，关键是掌握方程有唯一解的条件．

19．下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）

A．

ax

2

+bx+c=0

B．

ax

2

+1=x

2

﹣x

C．

x

2

=﹣a=0

D．

（a

2

+1）x

2

﹣（a

2

﹣1）x=0

考点：一元二次方程的定义．

专题：常规题型．

分析：本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答：解：A、当二次项系数a=0时，方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、原方程可化为：（a﹣1）x

2

+x+1=0，当a﹣1=0，即a=1时，原方程不是一元二次方程，故本选项错误；

C、原方程不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项错误；

D、由于a

2

+1＞0，故原方程是一元二次方程，故本选项正确．

故选D．

点评：

一元二次方程的一般形式是：ax

2

+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过

程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax

2

叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次

项系数，一次项系数，常数项．

二．填空题（共6小题）

20．二项方程x

4

﹣81=0的实数解是x=±3．

考点：高次方程．

分析：

先把二项方程x

4

﹣81=0变形为（x

2

）

2

=81，连续用两次开平方求出x的值即可．

解答：

解：∵x

4

﹣81=0，

∴x

4

=81，

∴（x

2

）

2

=81，

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∴x

2

=9，

∴x=±3；

故答案为：x=±3．

点评：

本题考查了高次方程，解题的关键是把x

4

﹣81=0进行变形，连续用两次开平方来解x的值，注意符号的变

化．

21．二项方程的实数根是x=2．

考点：高次方程．

专题：计算题．

分析：

移项得出x

5

=16，推出x

5

=32，根据2

5

=32即可求出答案．

解答：

解：移项得：x

5

=16，

即x

5

=32，

∵2

5

=32，

∴x=2，

故答案为：x=2．

点评：

本题考查了对高次方程的应用，关键是化成x

5

=a（a为常数）的形式，题目比较好，难度适中．

22．请你写出一个没有实数根的一元二方程：满足b

2

﹣4ac＜0的一元二次方程即可，如y

2

+y+1=0．

考点：根的判别式．

专题：开放型．

分析：由根的判别式△＜0，方程无实根，任写一个即可，答案不唯一．

解答：

解：y

2

+y+1=0，只要满足b

2

﹣4ac＜0即可．

点评：此题是一道简单的开放型的题目，主要考查了由根的判别式确定根的情况．

23．已知x=1是方程3x﹣m=x+2n的解，则整式m+2n+2008的值等于2010

考点：一元一次方程的解；代数式求值．

专题：方程思想；整体思想．

分析：先将x=1代入3x﹣m=x+2n可得：m+2n=2，再整体代入整式m+2n+2008求值即可．

解答：解：把x=1代入3x﹣m=x+2n得：3﹣m=1+2n，m+2n=2，

则m+2n+2008=2+2008=2010．

故答案为：2010．

点评：考查了一元一次方程的解和代数式求值，本题含有未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系

数法，注意整体思想的运用．

24．关于x的方程2a（x+5）=3x+1无解，则a=．

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：首先把方程整理为一元一次方程的一般形式，若方程无解，则一次项系数为0，常数项不等于0．

解答：解：由原方程，得

2ax+10a﹣3x﹣1=0，即（2a﹣3）x=1﹣10a，

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要使方程无解，则2a﹣3=0，

解得：a=．

故填：．

点评：注意掌握一元一次方程无解的条件是一次项系数为0，常数项不等于0．

25．如果a、b为定值，关于x的方程，无论k为任何值，它的根总是1，则2a﹣b=17．

考点：一元一次方程的解．

专题：整体思想．

分析：先把方程化简，然后把x=1代入化简后的方程，因为无论为k何值时，它的根总是1，就可求出a、b的值．

解答：解：方程两边同时乘以6得：

4kx+2a=12+x﹣bk，

（4k﹣1）x+2a+bk﹣12=0①，

∵无论为k何值时，它的根总是1，

∴把x=1代入关于x的方程，得

4k﹣1+2a+bk﹣12=0，

当k=0时，﹣1+2a﹣12=0

当k=1时，4﹣1+2a+b﹣12=0

解不等式组，

解得a=，b=﹣4，

当a=，b=﹣4时，无论为k何值时，它的根总是1．

∴2a﹣b=17．

故答案是：17．

点评：本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．本

题利用方程的解求未知数a、b．

三．解答题（共5小题）

26．解关于x的方程：ax

2

+bx+c=bx

2

+cx+a（a≠b）

考点：解一元二次方程-因式分解法．

专题：计算题．

分析：

先把方程整理为：（a﹣b）x

2

+（b﹣c）x+（c﹣a）=0，再把方程左边因式分解得[（a﹣b）x﹣（c﹣a）]•（x

﹣1）=0，方程转化为两个一元一次方程（a﹣b）x﹣（c﹣a）=0或x﹣1=0，然后解一元一次方程即可．

解答：

解：原方程可整理为：（a﹣b）x

2

+（b﹣c）x+（c﹣a）=0，

∴[（a﹣b）x﹣（c﹣a）]•（x﹣1）=0，

∴（a﹣b）x﹣（c﹣a）=0或x﹣1=0，

∴x

1

=，x

2

=1．

点评：本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边

因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．

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27．（二）解方程

5x﹣3=9x﹣1．

考点：解一元一次方程．

分析：先移项，然后合并同类项，化未知数系数为1．

解答：解：由原方程移项，得

5x﹣9x=﹣1+3，

合并同类项，得

﹣4x=2，

化系数为1，得

x=﹣．

点评：本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．

28．已知关于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2无解，试求a的值．

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：先将方程变形为ax=b的形式，再根据一元一次方程无解的情况：a=0，b≠0，求得方程a（2x﹣1）=3x﹣2

中a的值．

解答：解：将原方程变形为

2ax﹣a=3x﹣2，

即（2a﹣3）x=a﹣2．

由已知该方程无解，所以

，

解得a=．

故a的值为．

点评：本题考查了一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0

时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解．

29．已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的

情况．

考点：解一元一次方程．

专题：综合题．

分析：根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．

解答：

解：关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=，

∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，

∴a≠0，

∵2+y=（b+1）y，

∴2+y=by+y，

∴by=2，

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∴y=，

∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，

∴b=0，

关于z的方程az=b可以简化为：z=，

∵a≠0，b=0，

∴z=0．

点评：本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．

30．已知a、b为已知数，关于x的方程a（a﹣4）kx﹣b（b+6）=9﹣4kx，无论k为何值时，它的根总是2．求

的值．

考点：一元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：

先把原方程变形为（a﹣2）

2

kx=（b+3）

2

，根据无论k为何值，x总为2得（a﹣2）

2

=0，（b+3）

2

=0，求出

a，b的值，再代入代数式求值即可．

解答：解：a（a﹣4）kx﹣b（b+6）=9﹣4kx

∴（a﹣2）

2

kx=（b+3）

2

又∵为无论k为何值，x总为2．

∴（a﹣2）

2

=0，（b+3）

2

=0，所以a=2，b=﹣3，

∴==﹣48

点评：本题考查了一元一次方程的解，注意当未知数的系数为0时，方程有无数个解．

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