abcdef

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图

形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相

同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的

三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等

用符号“≌”来表示，读作“全等于”

如DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”

表示形状相同，“=”表示大小相等，

合起来就是形状相同，大小也相等，

这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互

相重合的顶点叫做对应顶点，互相重

合的边叫做对应边，互相重合的角叫

做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常

把表示对应顶点的字母写在对应的位

置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对

应相等的两个三角形全等，简与成“边

边边”或“SSS”．

如图，在ABC和DEF中

















DFAC

EFBC

DEAB

ABC≌DEF

A

B

C

D

E

F

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，

点B与点D是对应点，

26BAC，且20B，1

ABC

S，

求ACDDCAD,,的度数及ACD的面积．

例2．如图，ABC≌DEF，

cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及CF

的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，

BC=DE，求证：CADBAE

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，

求证：

（1）ABC≌DEF

（2）

AB,90CABC中ABDEABCABDCDB

CDBABD和

A

B

D

C

A

B

E

C

F

D

A

B

E

C

D

A

E

B

C

D

A

B

C

D

F

E

A

B

D

C

CDBABD和

CBDCABDAABCBAD

35,60ABDCBAD85356080ABCDEFACDBCE

ABEDCFABCAEABCAED

BACCEABB则,45,30,40

DDACABEACD

AEBBAEBADABCDEF90C互余与FC

互补与FC互余与EA互余与DB

ACFDBE

cmCDcmADACFE5.2,9,110,30DABDABC与

ABC

ABDABCCDA则AD的长是（）

A、7cmB、5cmC、

8cmD、无法确定

2．如图，ABC≌DCE，62,48EA，点B、

C、E在同一直线上，则ACD的度数为

（）

A、48B、38C、110

D、62

3．如图，ABC≌DEF，AF=2cm,CF=5cm，

则AD=．

4．如图，ABE≌ACD，25,100BA，求BDC

的度数．

A

B

C

D

第3

B

A

C

E

F

D

第4

第5

A

B

C

D

E

A

C

E

B

F

D

第6

B

A

C

D

E

第7

第8

A

B

D

E

C

E

F

D

B

C

A

第9

A

BC

D

F

E

A

D

C

B

A

B

C

D

E

5．如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，

求证：

ABABCFEDCAEBADABCDEF

ABC

EFBC

EB

DEAB



















)(SASDEF

【例2】如图，已知：

点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，

∠1=∠2，由此你能得出哪些结论给出

证明.

【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，

∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度

数.

A

B

C

D

E

F

B

A

C

E

F

D

A

B

E

C

D

A

B

C

E

D

F

A

D

B

E

C

A

12

B

E

A

F

C

O

【例4】如图，B，C，D在同一条直

线上，△ABC，△ADE是等边三角形，

求证：①CE=AC+DC；②∠

ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC、△BDE均

为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。

E

A

B

C

D

D

A

B

C

E

【巩固练习】

1．在△ABC和△CBA

中，若AB=BA

，

AC=CA

，还要加一个角的条件，使△

ABC≌△CBA

，那么你加的条件是

（）

A．∠A=∠A

B.∠B=∠B



C.∠C=∠C

D.∠A=∠B



2．下列各组条件中，能判断△ABC

≌△DEF的是（）

A．AB=DE，BC=EF；CA=CD

=CD；∠C=∠F；AC=EF

C．CA=CD；∠B=∠E

=DE；BC=EF，两个三角形周长相等

3．阅读理解题：

如图：已知AC，BD相交于O，

OA=OB，OC=OD.

那么△AOD与△BOC全等吗请

说明理由.△ABC与△BAD全等吗请说

明理由.

小明的解答：

21△AOD

≌△BOC

而△BAD=△AOD+△ADB△

ABC=△BOC+△AOB

所以△ABC≌△BAD

（1）你认为小明的解答有无错

误；

（2）如有错误给出正确解答；

4．如图，点C是AB中点，CD∥BE，

且CD=BE，试探究AD与CE的关系。

5．如图，AE是，BAC的平分线AB=AC

（1）若D是AE上任意一点，则△

ABD≌△ACD，说明理由.

D

C

1

2

O

A

B

A

C

B

E

D

S

OA

OD

（2）若D是AE反向延长线上一点，

结论还成立吗请说明理由.

6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说

明BD=CD的理由

B

C

D

E

A

1

2

A

B

E

D

C

全等三角形（二）作业

1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，

求证：BDF≌CEF。

2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角

三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CE

⊥AD。

3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD

相交于点O，AO的延长线交BC于点

F。

求证：BF=FC。

A

B

C

E

D

F

A

C

BD

E

F

A

D

E

CBF

O

4．已知：如图1，AD∥BC，AE=CF，

AD=BC，E、F在直线AC上，求证：

DE∥BF。

5.如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，

AB=AC，AD=AE，

求证：（1）BE=DC，（2）BE⊥DC.

6、已知，如图A、F、C、

D四点在一直线上，

AF=CD，AB

证:BD=CE

1

2

D

C

AB

E

F

D

A

B

Q

C

P

E

8、如图，正方形ABCD的边CD在正

方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，

（1）观察猜想BE与DG之间的大小

关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相

重合的两个三角形若存在，请说出旋

转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线,且

DF=DE．求证:BE∥CF．

10、已知C为AB上一点,△ACN和△

BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN

（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方

形ABCD的边BC边上，E

在AB的延长线上，FB＝

EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.

12、如图，△ABC是等腰直角三角形，

其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，

连接AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎

样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针

方向旋转，使正方形CDEF的一边落在

△ABC的内部，请你画出一个变换后

的图形，并对照已知图形标记字母，

题(1)中猜想的结论是否仍然成立若成

立，直接写出结论，不必证明；若不

成立，请说明理由.

C

N

M

BA

E

D

F

F

D

A

C

E

B

F

D

A

C

G

EB

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA公理：有两角和它们的夹边对应

相等的两个三角形全等．

如图，在ABC与DEF中

EB

DEAB

DA







)(ASADEFABC

ASA公理推论（AAS公理）：有两角

和其中一角的对边对应相等的两个

三角形全等．

【典型例题】

【例1】下列条件不可推得ABC和'''CBA

全等的条件是（）

A、AB=A'B'，'AA，'CC

B、AB=A'B'，AC=A'C'，BC='BC'

C、AB=A'B'，AC=A'C'，'BB

D、AB=A'B'，'AA，

'BB

【例2】已知如图，

DEABDEABDA//,,，求证：

BC=EF

【例3】如图，AB=AC，CB，求证：

AD=AE

A

B

C

D

E

F

A

D

B

E

CF

A

B

D

E

C

【例4】已知如图，43,21，点P

在AB上，可以得出PC=PD吗试证明

之．

【例5】如图，321，AC=AE，求

证：DE=BC

A

B

C

D

P

1

2

34

1

2

A

4

3B

CD

E

O

【例6】如图，21,DA，AC，BD

相交于O，

求证：①AB=CD②OA=OD

【巩固练习】

1．如图，

AB'''''FOBEODCOFAOE21,EC

CDAFDA,21,CADBAEADEAED,

CAEBADDB,ABCBCADBAC,ABDACD

cmACABDDCADBCACB10,,

ABC△

证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

9、已知：如图,AB=AC,

AD=AE,求证：△OBD≌

△OCE

A

B

C

D

O

1

2

A

B

C

N

M

D

O

A

B

C

D

A'

B'D'C

A

E

D

O

C

F

B

C

A

D

E

B

1

2

A

E

F

D

C

B

1

2

A

B

E

D

C

A

B

D

C

E

A

B

D

C

A

C

B

D

A

B

D

C

F

E

A

B

D

C

1

3

2

4

A

D

E

C

B

FA

G

F

C

B

D

E

（图１）

10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O

为BD中点,过O作直线分别与DA、

BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF

11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=

∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一

点．求证：PA=PD.

12、已知：如图,四边形ABCD中,

AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB

延长线于E,CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC．

13、已知：如图,OA=OE,

OB=OF,直线FA与BE

交于C,AB和EF交于O,求证：∠1=

∠2．

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC是等边三角形，点D、

E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，

（1）若ADBECF，问△DEF是等边三角

形吗试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问ADBECF

成立吗试证明你的结论．

2、如图所示，已知

∠1=∠2，EF⊥AD

于P，交BC延长线

于M，求证：2∠

M=（∠ACB-∠B）

3、△ABC中，∠A=90°，

AB=AC，D为BC中点，E、

F分别在AC、AB上，且

DE⊥DF，试判断DE、DF

的数量关系，并说明理由．

A

F

D

B

E

C

2

1

P

F

M

D

B

A

C

E

F

D

C

A

B

E

4、已知：如图，ABC△中，45ABC°，CDAB

于D，BE平分ABC，且

BEAC于E，与CD相交于

点FH，是BC边的中点，

连结DH与BE相交于点

G．

（1）求证：BFAC；（2）求证：1

2

CEBF；

5、如图，点O是等边ABC△内一点，

110AOBBOCo，．将BOC△绕点C按顺时针

方向旋转60o得ADC△，连接OD．

（1）求证：COD△是等边三角形；

（2）当150o时，试判断AOD△的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度

时，AOD△是等腰三角形

D

A

E

F

C

H

G

B

A

B

C

D

O

110o



7、过等腰直角三角

形直角顶点A作直

线AM平行于斜边

BC，在AM上取点

D，使BD=BC，且DB与AC所在直线

交于E，求证：CD=CE。

过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，

在Rt△BDG中，DG=1/2BD=>

∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75°

∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE

8、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD

⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠

CMD。

9、如图，已知△ABC是等边三角形，

∠BDC＝120o，说明AD=BD+CD的理

由。

E

C

A

B

M

D

C

A

B

M

D

10、已知：如图，点D在△ABC的边

CA的延长线上，点E在BA的延长线

上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的

平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求

∠F的度数。

11、等边三角形ABC和等边三角形

DEC，D在AC边上。延长BD交CE延

长线于N，延长AE交BC延长线于M。

求证：CM=CN

易证△BCD≌△

ACE所以∠DBC=

∠EAC

再证△BCN≌△ACM(ASA)

∴CM=CN

A

B

C

E

M

N

D

12、操作：如图①，△ABC是正三角

形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等

腰三角形，以D为顶点作一个60°

角，角的两边分别交AB、AC边于M、

N两点，连接MN．探究：线段BM、

MN、NC之间的关系，并加以证明．

13、如图等边△ABC和等边△CDE，点

P为射线BC一动点，角APK=60°，

PK交直线CD于K。

（1）试探索AP、PK之间的数量关系；

K

EC

A

B

D

P

（2）当点P运动到BC延长线上时，

上题结论是否依然成立为什么。

K

EC

A

B

D

P

14、（涉及相似三角形）若P为ABC△所

在平面上一点，且120APBBPCCPA°，

则点P叫做ABC△的费马点.如图，在锐

角ABC△外侧作等边ACB△′连结BB′。

求证：BB′过ABC△的费马点P，且BB′

=PAPBPC.

15、如图,ABC是等腰直角三角形,∠C＝

900,点M,N分别是边AC和BC的中点,

点D在射线BM上,且BD＝2BM,点E

在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥

DE.

A

C

B

B



M

N

E

D

C

B

A

第五章全等三角形拓展延伸

分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）

放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全

等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中

里面一个非常常见而又重要的方法。

例1：已知AE既是∠BAC的平分线，也是∠BDC的平分线，

试说明AB=AC

思路：AB在△ABD中，AC在△ACD中，

要说明AB=AC，尝试说明△ABD与△ACD全

等。

1．观察图形发现两个三角形存在公共边AD

2．题目所给条件可以得到两组角相等，

3．再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等

4．再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC

例2：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直

线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。

思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对

它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt△中，所以

尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等。

那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求

证△ABD≌△ACE。

D

C

E

A

B

E

D

A

C

B

练习1.小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所

在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗为什么

分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢

_______＝_______

∴我们只需要说明________≌________

解：

练习2．在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点

C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，

且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE=AD-BE。

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，

BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系。

F

E

D

B

C

A

E

D

C

B

A

N

M

图1图2

E

D

C

B

A

N

M

图3

E

D

C

B

A

N

M