初二数学难题

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

1已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

求证：△PBC是正三角形．（初二）

2已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长

线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，

点P是EF的中点．

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

5、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

A

P

C

D

B

A

N

F

E

C

D

M

B

A

F

D

E

C

B

E

DA

C

B

F

6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）

7、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．（初二）

8、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

9、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

10、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．

?

1.如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，

且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段

DF与EF的数量关系，并加以证明。

3：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

(1)当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

D

A

EPC

B

A

A

P

CB

P

A

D

C

B

A

C

B

P

D

(2)当AB=AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪

几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

4：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且

CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以

证明。

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

5：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC

于点E，D∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

6：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝

30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P

作PQ∥BD交直线BE于点Q．

(1)当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

3

3PQ；

（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的

三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取

值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，

过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求

E

F

D

A

B

C

线段PG的长。

解：

7：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的

E点上,BG=10.

(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.

(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱

形,并求出折痕GF的长.

H

A

BC

DE

F

G

8：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、

C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值

图（2）

A

BC

D

EF

G

H(A)

(B)

A

BC

DE

F

G

图（1）

A

B

C

P

D

E

9：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G

与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连

结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在

直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线

的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋

转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方

法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，

CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪

些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE

，且a=3，b=2，k=

1

2

，求22BEDG

的值．

10．如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别

交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．

求证：（1）∠E=∠F．

（2）□ABCD是菱形．

11．如图10，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等

边三角形ACE，

线段BE与CD相交于点O，连结OA．

（1）求证：BE=DC；

（2）求∠BOD的度数；

（3）求证：OA平分∠DOE．

12．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点AB，重合），连

接

PD

并将线段

PD

绕点

P

顺时针方向旋转90°得到线段

PE

，

PE

交边

BC于点F，连接BEDF，．

（1）求证：

ADPEPB

；

（2）求CBE的度数；

（3）当

AP

AB

的值等于多少时，PFDBFP△∽△？并说明理由

13．某天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀,在以后

的16小时(4：00—20：00),同时打开进气阀和供气阀,20：00—24：00只打开供气阀．已

知气站每小时的进气量和供气量是一定的，图11反映了气站某天的储气量y(米3)与x(小

时)之间的关系．

（1）①0：00—4：00之间气站每小时增加的储气量为________米3，

量为________米3；②4：00—20：00之间气站每小时增加的储气

（2）求20：00—24：00时，y与x的函数关系式，并画出函数

图象．

14、已知：如图，RtABC中，=90ACBo，AC=BC，将

O

E

D

CB

A

图10

（米3）

(小时）

136

120

20

2420

1612

8

4

y

xO

图11

直角三角板中45o角的顶点放在点C处．并将三角板绕点C旋转，三

角板的两边分别交AB边于D、E两点(点D在点E的左侧，并且点D

不与点A重合，点E不与点B重合)，设AD=m,DE=x,BE=n.

(1)判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)当三角板旋转时，找出ADDEBE、、三条线段中始终最长的线段，

并说明理由．

15、直

角三角

形纸片

ABC中，∠ACB=90°,AC≤BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A

落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边，分别交与点E、

点F.

探究：如果折叠后的△CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中

∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后

．．．

的

图形。

解：

16、已知如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分仙于D，

交BC于E点．求证：CE=2BE．

17、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D

点，且BD交AC于E点，问当BD满足什么条件时CD=

1

2

BE?

并证明你的判断．

18、如图，在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴正半轴于A(-1,0),

交y轴正半轴于B,C是x轴负半轴上一点，且CA=

4

3

CO,△ABC的面

积为6。

（1）求C点的坐标。

（2）求直线AB的解析式。

（3）D是第二象限内一动点，且OD⊥BD,直线BE垂直射线CD于额，

OF⊥CD交直线BE于F.当线段OD,BD的长度发生改变时，∠BDF的

大小是否发生改变？若改变，请说明

理由；若不变，请证明并求出其值。

19、某

研究

性学

习小

组在

探究

矩形的折纸问题时，将一块直角三

角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转

（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与

A

B

C

O

x

y

C

O

x

F

E

D

y

矩形ABCD的边CD、BC的交点.

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角

边与OD重合）中，BN2＝CD2＋CN2；在图③（三角板的一直角边与

OC重合）中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的

结论选择其一

．．．．

说明理由.

（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写

出你的结论，并说明理由.

20、已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100?,E、F在CB上，且满

足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变

化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？

若存在，求出其度数；若不存在，说明理由；

→O

A

B

C

D

N

图①

A

B

C

D

O

N

M

图②

A

B

C

D

O

N

图③

→

F

O

E

C

B

A