钝角三角形

.......

c......

钝角三角函数的定义

大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，有一个角是钝角的三角形

就是钝角三角形。

定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

特点

1.钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。

2.钝角大于九十度且小于一百八十度。

3.钝角三角形中，作高是常做的辅助线。

4.钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。

5.内角和为180度，外角和为360度

钝角三角形有多少条高?

三条，任何三角形都有三条高。但是钝角三角形有两条高在三角形外面

如图，AD，BE，CF是三角形ABC的三条高。

.......

c......

3-2三角形的外心

一、外心

(一)定義：三角形三邊中垂線之交點

(二)性質：

1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點

(1)銳角三角形─內部

(2)直角三角形─斜邊中點

(3)鈍角三角形─外部

2.外心到三角形的三頂點等距離

3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心

.......

c......

4.ABC是銳角三角形，則

BAOCABOCCAOB2,2,2

5.ABC是鈍角三角形且A＞

90

，則

ABOC2360

例1：直角三角形ABC中，,6,8,90BCABB則(1)外心到三頂點之

長度和=______，

(2)ABC之外接圓面積=________。

註：1.外心到三頂點等距

2.外心位置在直角三角形的斜邊中點

3.的外心即為外接圓的圓心

例2：一等腰三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。

例3：O是ABC之外心，若,110BOC則A__________。

(一)銳角─(二)鈍角─

銳角ABOC2,鈍角ABOC2360,

55AA2360110

2502A

125A

例4：O是ABC之外心，

.......

c......

(1)ABC是銳角，ABC是銳角，

80A

，

BOC

________

(2)ABC是鈍角，

100A

，

BOC

________

例5：ABC中，,6,28,30ACCBABC之外接圓半徑

=__________。

二、內心

(一)定義：三角形三內角分角線的交點

(二)性質：

1.位置：必在內部

2.內心到三邊等距離

(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離

IFIEIDIEIDIFID)

3.的內心就是內切圓之圓心

(內切圓的半徑為內心到邊之距離)

4.ABI:BCI:ACI=

:ABACBC:

(高相同，均為r)

5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC=rs

2

1

6.

ABIC

2

1

90

証：

21180BIC

.......

c......

CAIB

2

1

90

=

ACBABC

2

1

2

1

180

BAIC

2

1

90

=

)(

2

1

180ACBABC

=

)180(

2

1

180A

=

A

2

1

90

7.若ABC恰為直角三角形，

90C

，內切圓半徑r，則

rABACBC2

証：ACBC

=y+r+x+r

=x+y+2r

=rAB2

相關性質：1.222BCACAB

2.

BCAC

＞

AB

例1.有一個的花園面積120m2，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則

水池半徑

最大為_________m。

.......

c......

例2.ABC中，24,7,90ABBCB，I是內心，

則1.ABC內切圓半徑=__________。

2.ABC內切圓面積：ABC外接圓面積=___________。

3.ABI：BCI：ACI=__________。

例3.ABC中，10,8,6BCACAB，I是內心，則ABI的面積

=_________。

註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：

ABC三邊長為a、b、c，若1.a2+b2=c2C

為直角

2.a2+b2＞c2ABC為銳角

3.a2+b2＜c2C

為鈍角

例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心I，外心O，則。__________IO

.......

c......

例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則。__________IO

例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則。__________IO

例7.直角ABC中，,3,6,90BCACB若I為內心，

則：(1)BIC__________。

(2)內切圓面積=_____________。

(3)內切圓半徑：外接圓半徑=___________。

三、重心(G)

(一)定義：三角形三邊中線之交點

(二)性質：

1.位置：必在內部

2.

GF

CG

GE

BG

GD

AG



1

2

(或

CFCGBEBGADAG

3

2

,

3

2

,

3

2



)

3.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=

6

1

ABC

.......

c......

(ABG=BCG=ACG=

3

1

ABC)

(1.X+2Z=X+2Y

Y=Z

2.2X+Y=2Z+Y

X=Z

X=Y=Z)

三角形的外心

一、外心

(一)定義：三角形三邊中垂線之交點

(二)性質：

1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點

(1)銳角三角形─內部

(2)直角三角形─斜邊中點

(3)鈍角三角形─外部

2.外心到三角形的三頂點等距離

3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心

4.ABC是銳角三角形，則BAOCABOCCAOB2,2,2

.......

c......

5.ABC是鈍角三角形且A＞

90

，則

ABOC2360

例1：直角三角形ABC中，,6,8,90BCABB則(1)外心到三頂點之

長度和=______，

(2)ABC之外接圓面積=________。

註：1.外心到三頂點等距

2.外心位置在直角三角形的斜邊中點

3.的外心即為外接圓的圓心

例2：一等腰三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。

例3：O是ABC之外心，若

,110BOC

則A__________。

(一)銳角─(二)鈍角─

銳角ABOC2,鈍角ABOC2360,

55AA2360110

2502A

125A

例4：O是ABC之外心，

(1)ABC是銳角，ABC是銳角，80A，BOC________

.......

c......

(2)ABC是鈍角，

100A

，

BOC

________

例5：ABC中，,6,28,30ACCBABC之外接圓半徑

=__________。

二、內心

(一)定義：三角形三內角分角線的交點

(二)性質：

1.位置：必在內部

2.內心到三邊等距離

(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離

IFIEIDIEIDIFID

)

3.的內心就是內切圓之圓心

(內切圓的半徑為內心到邊之距離)

4.ABI:BCI:ACI=

:ABACBC:

(高相同，均為r)

5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC=

rs

2

1

6.

ABIC

2

1

90

証：

21180BIC

CAIB

2

1

90

=ACBABC

2

1

2

1

180

.......

c......

BAIC

2

1

90

=

)(

2

1

180ACBABC

=

)180(

2

1

180A

=

A

2

1

90

7.若ABC恰為直角三角形，

90C

，內切圓半徑r，則

rABACBC2

証：ACBC

=y+r+x+r

=x+y+2r

=

rAB2

相關性質：1.222BCACAB

＞

AB

例1.有一個的花園面積120m2，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則

水池半徑

最大為_________m。

例2.ABC中，24,7,90ABBCB，I是內心，

則1.ABC內切圓半徑=__________。

.......

c......

2.ABC內切圓面積：ABC外接圓面積=___________。

3.ABI：BCI：ACI=__________。

例3.ABC中，10,8,6BCACAB，I是內心，則ABI的面積

=_________。

註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：

ABC三邊長為a、b、c，若1.a2+b2=c2C為直角

2.a2+b2＞c2ABC為銳角

3.a2+b2＜c2C為鈍角

例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心I，外心O，則。__________IO

例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則。__________IO

例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則。__________IO

例7.直角ABC中，,3,6,90BCACB若I為內心，

則：(1)

BIC

__________。

(2)內切圓面積=_____________。

(3)內切圓半徑：外接圓半徑=___________。

三、重心(G)

.......

c......

(一)定義：三角形三邊中線之交點

(二)性質：

1.位置：必在內部

2.

GF

CG

GE

BG

GD

AG



1

2

(或

CFCGBEBGADAG

3

2

,

3

2

,

3

2



)

3.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=

6

1

ABC

(ABG=BCG=ACG=

3

1

ABC)

(1.X+2Z=X+2Y

Y=Z

2.2X+Y=2Z+Y

X=Z

X=Y=Z)