反三角函数求导公式

反三角函数求导公式的证明

§2.3反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设

)(yx

是直接函数，

)(xfy

是它的反函数，假定

)(yx

在

I

y

内单调、可

导，而且

0)(



y

，则反函数

)(xfy

在间

},)(|{

yx

IyyxxI

内也是单调、可

导的，而且

)(

1

)(

y

xf







(1)

证明：

xI

x，给

x

以增量

x

),0(

x

Ixxx

由

)(xfy

在

I

x上的单调性可知

0)()(xfxxfy

于是

y

x

x

y









1

因直接函数

)(yx

在

I

y

上单调、可导，故它是连续的，

且反函数

)(xfy

在

I

x上也是连续的，当

0x

时，必有

0y

)(

11

limlim

00y

y

x

x

y

yx















即：

)(

1

)(

y

xf







【例1】试证明下列基本导数公式

().(arcsin)

().()

().(log)

ln

1

1

1

2

1

1

3

1

2

2

x

x

arctgx

x

a

xa

x

















证1、设

yxsin

为直接函数，

xyarcsin

是它的反函数

函数

yxsin

在

)

2

,

2

(





y

I

上单调、可导，且



xycos0

因此，在

)1,1(

x

I

上，有

y

x

cos

1

)arcsin(



注意到，当

)

2

,

2

(



y

时，

0cosy

，

221sin1cosxyy

因此，

21

1

)arcsin(

x

x







证2设

xtgy

，

)

2

,

2

(





y

I

则

yarctgx

，

I

x

(,)

tgyx

在

I

y

上单调、可导且

0

cos

1

2





y

x

故

22

2

1

1

1

1

cos

)(

1

)(

xytg

y

tgy

arctgx















证3

axaaa

a

yy

x

ln

1

ln

1

)(

1

)log(







类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos)

()

(ln)

x

x

arcctgx

x

x

x

















1

1

1

1

1

2

2

二、复合函数的求导法则

如果

)(xu

在点

x

0可导，而

)(ufy

在点

)(

00

xu

可导，则复合函数

])([xfy

在点

x

0可导，且导数为

)()(

00

0

xuf

dx

dy

xx











证明：因

)(lim

0

0

uf

x

y

u









，由极限与无穷小的关系，有

)0,0()(

0





时当uuuufy

用

0x

去除上式两边得：

x

u

x

u

uf

x

y





















)(

0

由

)(xu

在

x

0的可导性有：

00ux

，

0limlim

00







ux

])([limlim

0

00x

u

x

u

uf

x

y

xx























x

u

x

u

uf

xxx















000

0

limlimlim)(

)()(

00

xuf







即

)()(

00

0

xuf

dx

dy

xx











上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

若

ux()

在开区间

I

x可导，

yfu()

在开区间

I

u可导，且

xI

x时，对应

的

uI

u



，则复合函数

])([xfy

在

I

x内可导，且

dx

du

du

dy

dx

dy



(2)

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】

}])([{xfy

，求

dy

dx

引入中间变量，设

vx()

，

uv()

，于是

yfu()

变量关系是

yuvx

，由锁链规则有：

dy

dx

dy

du

du

dv

dv

dx



(2)、用锁链规则求导的关键

引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将

引入的中间变量代换成原自变量。

【例3】求

yxsin2

的导数

dy

dx

。

解：设

ux2

，则

yusin

，

ux2

，由锁链规则有：

dy

dx

dy

du

du

dx

uxux







(sin)()(cos)cos2222

【例4】设

ytg

x

ln

2

，求

dy

dx

。

由锁链规则有

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy



2

1

cos

11

2



vu

(基本初等函数求

导)

2

1

2

cos

1

2

1

2



xx

tg

(消中间变量)

xsin

1



由上例，不难发现复合函数求导窍门

中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有

链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：

)

2

(

2

cos

1

2

1

)

2

(

2

1

)

2

ln(

2













x

xx

tg

x

tg

x

tg

x

tg

dx

dy

x

xx

tg

x

xx

tg

sin

1

2

2

cos

2

1

)(

2

1

2

cos

1

2

1

22











【例5】证明幂函数的导数公式

1)(

xx

，(



为实数)。

证明：设

yxexln

1lnln

1

)ln(





x

x

exeyxx