植树问题公式

植树问题公式

单边植树（两端都植）：距离÷间隔长+1=棵数

单边植树（只植一端）：距离÷间隔长=棵数

单边植树（两端都不植）：距离÷间隔长－1=棵数

双边植树（两端都植）：（距离÷间隔长+1）×2=棵数

双边植树（只植一端）：（距离÷间隔长）×2=棵数

双边植树（两端都不植）：（距离÷间隔长-1）×2=棵数

循环植树：距离÷间隔数=棵数

解释：1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距+1全长=株距×(株数－1)株距=全长÷

(株数－1)

⑵在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数

⑶在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数－1=全长÷株距－1全长=株距×(株数+1)株距=全长÷(株

数+1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数

3、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数

多1，再乘二，即：棵树=（段数+1）×2。

二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数。

三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵

数－1）×边数。

例1长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是

2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？

解：解法一：①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．|②这块地能种

苹果树多少行？54÷3=18(行)．③这块地共种苹果树多少棵？42×

18=756(棵)．如果株距、行距的方向互换，结果相同：(84÷3)×(54

÷2)=28×27=756(棵)．

解法二：①这块地的面积是多少平方米呢？84×54=4536(平方

米)．②一棵苹果树占地多少平方米呢？2×3=6(平方米)．③这块

地能种苹果树多少棵呢？4536÷6=756(棵)．

当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种

方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，

就只能用第二种解法来解．

但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上

是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。

锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段

数总比锯的次数多一。

上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，

那么：上楼所需总时间=（终点层—起始层）×每层所需时间。

而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题

例2直线场地：在一条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；

每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度。

解法一：（代数解法）设一共有x棵树【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）

/2-1】X2.5x=205公路长:【（205-3）/2-1】X3=300得:公路长度为

300米

解法二：（算术解法）这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑：首先，

我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下

一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个间距，为了

简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时，最后剩下3

棵，也就是说植树的路线要比路长出3个间距，3×3=9米，当按2.5米的

间距植树时，最后还缺37棵树，也就是说植树的路线比路短了37个间距，

2.5×37=92.5米，两次相差9+92.5=101.5米，两次植树的间距相差是3

－2.5=0.5米，据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵）101.5÷

0.5=203（个）知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：3×

（203－3）=600（米）或2.5×（203+37）=600（米）因为是双侧植

树，所以路长为：600÷2=300（米）综合算式为：3×〔（3×3+2.5

×37）÷（3－2.5）－3〕÷2=300（米）或2.5×〔（3×3+2.5×37）

÷（3－2.5）+37〕÷2=300（米）答：（略）

例3圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛

周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2

株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季

花相距多少米解：解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：

120÷6=20（株）由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁

香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：2×20=40

（株）由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之

间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：

6÷3=2（米）答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月

季花之间相距2米。

例4例4在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长

计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于

六年级程度）解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这

个圆的周长是：2×314=628（米）这个圆的直径是：628÷3.14=200

（米）由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径

是：200-3×2=194（米）圆形水池的周长是：194×3.14=609.16（米）

综合算式：（2×314÷3.14-3×2）×3.14=（200-6）×3.14=194

×3.14=609.16（米）

例5小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树，一

共可栽几棵？（两端都植树）按常规解法，答案应该是6（10÷2+1）棵，

同理，如果小光家门前也有一段10米长的水沟，同样可以栽6棵，也就

是两家一共可以栽12棵，这并看不出有什么不妥。但是，当小明与小光

家是邻居时，我们再计算一下：两家的水沟总长是20米，20÷2+1=11(棵)，

也就是两家一共可以栽11棵树，结果比上次计算少了一棵（本人称之为

“邻里冲突”），这是因为在端点处有两棵树“重合”了，这两棵树的间距

为0，与题中要求间距2米不符，因此，可以看出两端植树是不妥当的。

但如果两端都不植树，又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距4米的情

况，仍与题意不符。那么一端植树又会怎样呢？这种要求是无法实现的，

因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后，就会使邻家地段两端都有树

存在，还是不合题意。因此，要求在端点上植树（或不植树）都会出现矛

盾，这样的计算方法也不能正确的反映出各个数量间的关系。数学是一门

严谨的科学，出题者固然可以任意给定条件，但用不同的计算方法得出的

结果应该是相同的，当计算结果出现矛盾时，应该找出问题的原因所在，

不能简单的用“两树重合”来解释解释。再按照“棵树=段数”的方法

计算一下：小明家可栽树：10÷2=5（棵）小光家可栽树：10÷2=5（棵）

两家一共可栽树10棵。当两家是邻居时，可栽树：（10+10）÷2=10(棵)

两次计算结果相同，因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量

之间的关系。为什么说常规的解法不够正确呢？那是因为在常规解法

中，只考虑了植树路段为一家独有的情况，多栽或少栽一棵都不会出现“争

议”，也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家共有时就会出

现一方或双方将树栽到了公共端点上的情况，从理论上讲这是不正确的。

相对于“路边加一”，“楼间减一”也无道理，因为完全可以按“间距2米”

栽下5棵而不是4棵树，至于端点处的两棵树与楼相距只有1米的情况，

与题意并不矛盾：1、要求“间距2米”可以认为每棵树需要2米的生

长空间，端点的树和中间的树同样都具有2米的空间；2、如果把“楼”

也看做“树”而使间距不足，那么则是因为“他”将树栽倒了公共端点上

而侵占了“我”的空间，“我”并没有栽错。（点击图片可放大）