向量垂直

-1-

空间向量与垂直关系

（45分钟100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知平面α的一个法向量为a=(x,1,-2),直线l的一个方向向量为n=(错误!

未找到引用源。,y,-1),若l⊥α,则()

A.x+2y=-4B.x+y=3

C.x+2y=错误!未找到引用源。D.x+y=错误!未找到引用源。

2.已知平面α与β的一个法向量分别是a=(x,2,2),b=(1,3,y),若α⊥β,且

|a|=2错误!未找到引用源。,则y=()

A.-5B.-1C.4或-4D.-5或-1

3.(2013·青岛高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,点E是D1A1

的中点,设F在B1C1上,若DE⊥BF,则B1F=()

A.4B.2C.1D.错误!未找到引用源。

4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥

QA,QA=AB=错误!未找到引用源。PD,则平面PQC与平面

DCQ的位置关系为

()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.位置关系不确定

5.(2013·聊城高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,E是BC的

中点,则A1E与平面AB1C1的位置关系是()

A.相交但不垂直B.A1E∥平面AB1C1

-2-

C.A1E⊥平面AB1C1D.A1E⊂平面AB1C1

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.平面α与平面β的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:

①m∥n⇒α∥β;

②m⊥n⇒α⊥β;

③a⊥m⇒l∥α;

④a∥m⇒l⊥α.

其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).

7.(2013·四平高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为

n=(3,1,2),则下列各点中,在平面α内的是(把正确的序号都填上).

①B(1,-1,1);②C(1,3,错误!未找到引用源。);③D(1,-3,错误!未找到引用源。);

④E(-1,3,-错误!未找到引用源。).

8.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成互相

垂直的两个平面后,有以下四个结论:

①错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。≠0;

②∠BAC=60°;

③三棱锥D-ABC是正三棱锥;

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

-3-

其中正确结论的序号是(请把正确结论的序号都填上).

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,

AB=2a(a>0),E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.

10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:

(1)AD⊥D1F.

(2)平面AED⊥平面A1FD1.

11.(能力挑战题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为

直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,在

线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF

的长,若不存在,说明理由.

答案解析

1.【解析】选D.∵l⊥α,∴n∥a,即a=λn,

-4-

∴(x,1,-2)=λ(错误!未找到引用源。,y,-1)

∴错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。∴x+y=错误!未找到引用源。.

2.【解析】选D.由|a|=2错误!未找到引用源。,得x2+4+4=24,解得x=±4,

∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=x+6+2y=0,

当x=4时,得y=-5;当x=-4时,得y=-1.

【误区警示】在求解本题的过程中,根据等量关系列出关系式后,切记一定不要

漏解.

3.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz,则D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点

F(1,a,1),则错误!未找到引用源。=(0,-2,1),错

误!未找到引用源。=(0,a,1),

∵DE⊥BF,∴错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,

∴错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=-2a+1=0,解得a=错误!未找到引

用源。,

即B1F=错误!未找到引用源。.

4.【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的

长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直

角坐标系Dxyz,

则D(0,0,0),Q(1,1,0),

C(0,0,1),P(0,2,0),

则错误!未找到引用源。=(1,1,0),错误!未找到引用源。=(0,0,1),错误!未找到

引用源。=(1,-1,0).

-5-

因为错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0,错误!未找到引用源。·错

误!未找到引用源。=0,

所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,

所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ⊂平面PQC,

所以平面PQC⊥平面DCQ.

5.【解析】选A.如图所示,建立直角坐标系Axyz,设AB=1,

则A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1),

A1(0,0,1),E(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。,0),

∴错误!未找到引用源。=(1,0,1),错误!未找到引用源。

=(0,1,1),错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。,-1),设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),

令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),

∴错误!未找到引用源。·n≠0,故A1E与平面AB1C1不平行,又∵错误!未找到引用

源。与n不共线,故A1E与平面

AB1C1不垂直,即A1E与平面AB1C1相交但不垂直.

6.【解析】①错误,因为α与β可能重合,③错误,因为l与α除l∥α外,还可能

有l⊂α.显然,②④正确.

答案:②④

-6-

7.【解析】错误!未找到引用源。=(-1,0,-1),错误!未找到引用源。=(-1,4,-错

误!未找到引用源。),错误!未找到引用源。=(-1,-2,-错误!未找到引用源。),

错误!未找到引用源。=(-3,4,-错误!未找到引用源。),

∵错误!未找到引用源。·n=0,

∴错误!未找到引用源。⊥n,故C∈α.

答案:②

8.【解析】①平面ABD⊥平面ACD,BD⊥AD,

∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0,

故①不正确.

②AD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC,

∴△ABD,△ACD,△BCD是全等三角形,

∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,故②正确.

③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,

∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确.

④建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=DB=DC=1,

则A(0,0,1),B(1,0,0),

C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0),

平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),∴n1·n2=1+0+0=1

≠0,故④不正确.

答案:②③

9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),则E(a,0,0),A(0,1,0),

-7-

B(2a,1,0),

P(0,0,1),F(a,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),得错误!未找到引

用源。=(0,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),

错误!未找到引用源。=(2a,1,-1),错误!未找到引用源。=(2a,0,0).

由错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=(0,错误!未找到引用源。,错误!

未找到引用源。)·(2a,0,0)=0,

得错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,即EF⊥AB,

同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,

所以,EF⊥平面PAB.

10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正

方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0),

E(1,0,错误!未找到引用源。),F(错误!未找到引用

源。,1,0),D1(0,1,1).

(1)因为错误!未找到引用源。=(0,1,0),错误!未找到引

用源。=(错误!未找到引用源。,0,-1),所以错误!未找到引用源。·错误!未找到

引用源。=0,所以错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,即AD⊥D1F.

(2)因为错误!未找到引用源。=(1,0,错误!未找到引用源。),所以错误!未找到

引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

=0,所以错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,所以AE⊥D1F.由(1)知AD

⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥平面AED.

又D1F⊂平面A1FD1,所以平面AED⊥平面A1FD1.

11.【解题指南】假设存在点F,利用CF⊥平面B1DF列出方程求AF.

-8-

【解析】以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(0,错误!

未找到引用源。a,0),B1(0,0,3a),D(错误!未找到引

用源。,错误!未找到引用源。a,3a).

假设存在F点,使CF⊥平面B1DF.不妨设AF=b,

则F(错误!未找到引用源。a,0,b),错误!未找到引用

源。=(错误!未找到引用源。a,-错误!未找到引用源。

a,b),

错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。a,0,b-3a),错误!未找到引用源。

=(错误!未找到引用源。a,错误!未找到引用源。a,0).

因为错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=a2-a2+0=0,所以错误!未找到

引用源。⊥错误!未找到引用源。恒成立.由错误!未找到引用源。·错误!未找到

引用源。=2a2+b(b-3a)=2a2+b2-3ab=0,

得b=a,或b=2a.

所以当AF=a,或AF=2a时,CF⊥平面B1DF.

关闭Word文档返回原板块