二阶导数

..

优选

二阶导数的意义

二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意

义如下：

〔1〕斜线斜率变化的速度，表示的是一阶

导数的变化率

〔2〕函数的凹凸性。

〔3〕判断极大值极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零

时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一

阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

一、用二阶导数判断极大值或极小值定理

设

)(xf

在0

x

二阶可导，且

0)(,0)(

00









xfxf

．

(1)假设

0)(

0





xf

，那么

)(xf

在0

x

取得极大值；

(2)假设

0)(

0





xf

，那么

)(xf

在0

x

取得极小值．

例试问a为何值时，函数

xxaxf3sin

3

1

sin)(

在

3



x

处取得极

值.它是极大值还是极小值.求此极值．

解

xxaxf3coscos)(



．

..

优选

由假设知

0)

3

(





f

，从而有

01

2



a

，即

2a

．

又当2a时，

xxxf3sin3sin2)(



，且

03)

3

(





f

，所以

xxxf3sin

3

1

sin2)(

在

3



x

处取

得极大值，且极大值

3)

3

(



f

．

例求函数593)(23xxxxf的极大值与

极小值．

解

)(xf

在

]4,2[

上连续，可导．令

0)3)(1(3963)(2



xxxxxf

，

得1x和

3x

，

思考：

)(xf

在1x取得极大还是极小值.在3x取得极大还是极小值.

-1代入二阶导数表达式为-12，

)(xf

在1x取得极大值

3代入二阶导数表达式12，在3x取得极小值

三、函数图像凹凸定理假设

)(xf

在

),(ba

二阶可导，

那么曲线)(xfy在),(ba的图像是凹曲线的充要条件是

0)(



xf

，),(bax．

曲线)(xfy在),(ba的图像是凸曲线的充要条件是

0)(



xf

，),(bax。

..

优选

y

y

几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有

''()0fx

恒成立，那

么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象

都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

１.曲线的凸性

对函数的单调性、极值、最大值与最小值进展了讨论，使我们知道了函数变

化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到

右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，

而图1—2中的曲线为向上凸．

图1—1图1—2

定义4.5.1设

)(xfy

在

),(ba

可导，假设曲线

)(xfy

位于其每点处切线的

上方，那么称它为在

),(ba

下凸(或上凹)；假设曲线

)(xfy

位于其每点处切线的

下方，那么称它在

),(ba

上凸(或下凹)．相应地，也称函数

)(xfy

分别为

),(ba

的

下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．

从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率

)(tanxf



(其中



为切线

的倾角)随着x的增大而增大，即

)(xf



为单增函数；上凸曲线斜率

)(xf



随着x的

增大而减小，也就是说，

)(xf



为单减函数．但

)(xf



的单调性可由二阶导数

)(xf



来判定，因此有下述定理．

定理4.5.1假设)(xf在),(ba二阶可导，那

么曲线)(xfy在),(ba下凸(凹函数)的充要

条件是

..

优选

0)(



xf

),(bax．

例1讨论高斯曲线2xey的凸性．

解22xxey



，2)12(22xexy



．所以

当0122x，即当

2

1

x或

2

1

x时

0



y

；

当0122x，即当

2

1

2

1

x时

0



y

．

因此在区间)

2

1

,(与),

2

1

(曲线下凸；在区间)

2

1

,

2

1

(曲线上凸．

高考数学2006——理22压轴题

22，函数

2

2

()lnfxxax

x



，证明f(x)的导函数f’(x)

对于任意两个不相等的正数x

1

，x

2

，当

0a

时，有

1212

()()

()

22

fxfxxx

f





证法一：由

2

2

()lnfxxax

x



=

22

12

1212

12

1

()()ln

2

xx

xxaxx

xx





比较大小，会算吗.

二阶导数QM法：

..

优选

欲证

1212

()()

()

22

fxfxxx

f





即证函数图像是凹的，

只需证f’’(x)>0，(0a)

问题得证