对数函数定义域

教学目标

（一）教学知识点

1．对数函数的概念；

2．对数函数的图象与性质．

（二）能力训练要求

1．理解对数函数的概念；

2．掌握对数函数的图象、性质；

3．培养学生数形结合的意识．

（三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；

2．用联系的观点看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

2、

)10(aaayx且

的图象和性质．

a＞10＜a＜1

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数

3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数

x

的

函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……

细胞，那么，分裂次数

x

就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式

就是

yx

2

log

.

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是

xy

2

log

.

引出新课--对数函数．

二、新授内容：

1．对数函数的定义：

函数xy

a

log)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(，值域为),(

．

例1．求下列函数的定义域：

（1）2logxy

a

；（2）)4(logxy

a

；（3）)9(log2xy

a

．

分析：此题主要利用对数函数xy

a

log的定义域（0，+∞）求解．

解：（1）由2x>0得0x,∴函数2logxy

a

的定义域是0|xx；

（2）由04x得4x，∴函数)4(logxy

a

的定义域是4|xx；

（3）由9-02x得-33x，

∴函数)9(log2xy

a

的定义域是33|xx．

2．对数函数的图象：

通过列表、描点、连线作xy

2

log与xy

2

1

log的图象：

思考：xy

2

log与xy

2

1

log的图象有什么关系？

3．练习：教材第73页练习第1题．

1.画出函数y=

3

logx及y=x

3

1

log的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.

解：相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），

这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.

不同性质：y=

3

logx的图象是上升的曲线，y=x

3

1

log的图象

是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，

后者在（0，+∞）上是减函数.

4．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

a＞10＜a＜1

图

象

性

质

定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当x=1时，y=0

)1,0(x时0y

),1(x时0y

)1,0(x时0y

),1(x时0y

在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数

三、讲解范例：

例2．比较下列各组数中两个值的大小：

⑴5.8log,4.3log

22

；⑵7.2log,8.1log

3.03.0

；⑶)1,0(9.5log,1.5logaa

aa

．

解：⑴考查对数函数xy

2

log，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log4.3log

22



．

⑵考查对数函数

xy

3.0

log

，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是

7.2log8.1log

3.03.0



．

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性；

③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．

⑶当1a时，

xy

a

log在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log1.5log

aa

；

当10a时，

xy

a

log

在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log1.5log

aa

．

小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进

行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

四、练习1。（P73、2）求下列函数的定义域：

（1）y=

3

log(1-x)(2)y=

x

2

log

1

(3)y=

x31

1

log

7

xy

3

log)4(（5)416(log

2

xy（6）)3(log

1

xy

x





解：（1）由1-x＞0得x＜1∴所求函数定义域为{x|x＜1}；

(2)由

2

logx≠0，得x≠1，又x＞0∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}；

(3)由

3

1

,

031

0

31

1



















x

x

x

得∴所求函数定义域为{x|x＜

3

1

}；

(4)由





















1

0

,

0log

0

3

x

x

x

x

得∴x≥1∴所求函数定义域为{x|x≥1}.

练习2、函数)1,0(2)1(logaaxy

a

的图象恒过定点（）

3、已知函数)1,0()1(logaaxy

a

的定义域与值域都是[0，1]，

求a的值。（因时间而定，选讲）

五、课堂小结

⑴对数函数定义、图象、性质；

⑵对数的定义，指数式与对数式互换；

⑶比较两个数的大小．

六、课后作业：

1．阅读教材第70～72页；

2.《习案》P191～192面。

2.2.2对数函数及其性质（二）

教学目标

1.教学知识点

1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；

４．对数形式的复合函数的定义域、值域；５．对数形式的复合函数的单调性．

2.能力训练要求

4．掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；

３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；

5．掌握对数形式的复合函数的单调性；6．培养学生的数学应用意识．

3.德育渗透目标

1．用联系的观点分析问题、解决问题；２．认识事物之间的相互转化．

教学重点

1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；

2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；

3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．

教学难点

1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．

教学过程

一、复习引入：

1．对数函数的定义：

函数xy

a

log)10(aa且叫做对数函数，对数函数xy

a

log)10(aa且的定义域为

),0(，值域为),(．

2、对数函数的性质：

a＞10＜a＜1

图

象

性

质

定义域：（0，+∞）．

值域：R．

过点（1，0），即当1x时，0y

．

)1,0(x时0y．

),1(x时0y

．

)1,0(x时0y．

),1(x时0y

．

在（0，+∞）上是增函数．在（0，+∞）上是减函数．

3．书P73面练习3

5．函数y=x+a与xy

a

log的图象可能是__________

二、新授内容：

1

1

o

x

y

1

1

o

x

y

①②

1

1

o

x

y

③

y

1

1

o

x

④

③

例1．比较下列各组中两个值的大小：

⑴6log,7log

76

；⑵8.0log,log

23

．（3）6log,7.0,6

7.0

67.0

解：⑴16log7log

66

，17log6log

77

，6log7log

76

．

⑵01loglog

33

，01log8.0log

22

，8.0loglog

23

．

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较

时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小．

练习：1．比较大小（备用题）

⑴

3.0log7.0log

4.03.0



；⑵

2

1

6.04.33

1

8.0log7.0log















；⑶

1.0log1.0log

2.03.0



．

例2．已知x=

4

9

时，不等式log

a

(x2–x–2)＞log

a

(–x2+2x+3)成立，

求使此不等式成立的x的取值范围.

解：∵x=

4

9

使原不等式成立.∴log

a

[

2

4

9

)

4

9

(2

]＞log

a

)3

4

9

2)

4

9

(1[2

即log

a16

13

＞log

a16

39

.而

16

13

＜

16

39

.所以y=log

a

x为减函数，故0＜a＜1.

∴原不等式可化为





















322

032

02

22

2

2

xxxx

xx

xx

，解得





















2

5

1

31

21

x

x

xx或

.

故使不等式成立的x的取值范围是

)

2

5

,2(

例3．若函数)10(log)(axxf

a

在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，

求a的值。（

4

2

a）

例4．求证：函数f(x)=

x

x

1

log

2

在(0,1)上是增函数.

解：设0＜x

1

＜x

2

＜1，

则f(x

2

)–f(x

1

)=21

22

21

loglog

11

xx

xx





21

2

21

(1)

log

(1)

xx

xx







=

.

1

1

log

2

1

1

2

2x

x

x

x







∵0＜x

1

＜x

2

＜1，∴

1

2

x

x

＞1，

2

1

1

1

x

x





＞1.则

2

1

1

2

21

1

log

x

x

x

x





＞0，

∴f(x2

)＞f(x

1

).故函数f(x)在(0,1)上是增函数

例5．已知f(x)=log

a

(a–ax)(a＞1).

（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.

解：（1）由a＞1，a–ax＞0，而a＞ax，则x＜1.故f(x)的定义域为(1,+∞)，

而ax＜a，可知0＜a–ax＜a，又a＞1.则log

a

(a–ax)＜lg

a

a=1.

取f(x)＜1，故函数f(x)的值域为(–∞,1).

（2）设x

1

＞x

2

＞1，又a＞1，∴1

xa＞2

xa，∴1

xaa＜a＜2

xa，

∴log

a

(a–1

xa)＜log

a

(a–2

xa)，即f(x

1

)＜f(x

2

)，故f(x)在(1,+∞)上为减函数.

例6．书P72面例9。指导学生看书。

例7．（备选题）求下列函数的定义域、值域：

⑴)52(log2

2

xxy；⑵)54(log2

3

1

xxy；

解：⑴∵44)1(5222xxx对一切实数都恒成立，∴函数定义域为R．

从而24log)52(log

2

2

2

xx即函数值域为

),2[

．

⑵要使函数有意义，则须：5105405422xxxxx，

由51x∴在此区间内9)54(

max

2xx，∴95402xx．

从而29log)54(log

3

1

2

3

1

xx即：值域为2y，

∴定义域为[-1,5]，值域为),2[

．

例8．（备选题）已知f(x)=log

a

x(a＞0，a≠1)，当0＜x

1

＜x

2

时，

试比较

)

2

(21

xx

f



与

)]()([

2

1

21

xfxf

的大小，并利用函数图象给予几何解释.

【解析】因为12

12

1

()[()()]

22

xx

ffxfx



12

12

1

log[loglog]

22aaa

xx

xx





=

21

21

21

21

2

loglog

2

log

xx

xx

xx

xx

aaa







又0＜x

1

＜x

2

，

∴x

1

+x

2

–22

2121

)(xxxx＞0，即x

1

+x

2

＞2

21

xx，∴

21

21

2xx

xx

＞1.

于是当a＞1时，

21

21

2

log

xx

xx

a



＞0.此时

)

2

(21

xx

f



＞

)]()([

2

1

21

xfxf

同理0＜a＜1时

)

2

(21

xx

f



＜

)]()([

2

1

21

xfxf

或：当a＞1时，此时函数y=log

a

x的图象向上凸.

显然，P点坐标为

)

2

(21

xx

f



，又A、B两点的中点Q的纵坐标为

2

1

[f(x

1

)+f(x

2

)]，

由几何性质可知

)

2

(21

xx

f



＞

)]()([

2

1

21

xfxf

.

当0＜a＜1时，函数图象向下凹.从几何角度可知

21

21

2

log

xx

xx

a



＜0，

此时

)

2

(21

xx

f



＜

)]()([

2

1

21

xfxf

四、课堂小结：

2．比较对数大小的方法；

2．对数复合函数单调性的判断；

3．对数复合函数定义域、值域的求法．

五、课后作业

1．《习案》P193与P195面。

备选题

2．讨论函数)1(log)(2

2

xxf在)0,(上的单调性．（减函数）

3.已知函数y=

a

log(2-xa)在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．

解：∵a＞0且a≠1,

当a＞1时，∴1＜a＜2.当0

教学目标

（一）教学知识点

1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解2．反函数的求法．

（二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念；2．使学生会求一些简单函数的反函数．

（三）德育渗透目标

培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．

教学重点

1．反函数的概念；2．反函数的求法．

教学难点

反函数的概念．

教学过程

一、复习引入：

1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t0，值

域s0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即

v

s

t，这时，位移s是

自变量，时间t是位移s的函数，定义域s0，值域t0．

问题１：函数s=vt的定义域、值域分别是什么？

B

x

1

2

21

xx

x

2

x

y

·

·

·

·

Q

A

(x

1

,f(x

1

))

(x

2

,f(x

2

))

问题２：函数

v

s

t中，谁是谁的函数？

问题３：函数s=vt与函数

v

s

t之间有什么关系？

2、又如，在函数y＝2x＋6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR．我们从函数y＝2x＋6

中解出x，就可以得到式子3

2



y

x．这样，对于y在R中任何一个值，通过式子3

2



y

x，x在R中都有唯

一的值和它对应．因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR．

3、再如：指数函数xay中，x是自变量，y是x的函数，由指数式与对数式的互化有：yx

a

log对于y

在（0，+）中任何一个值，通过式子yx

a

log，x在R中都有唯一的值和它对应．因此，它也确定了一个函

数：yx

a

log，y为自变量，x为y的函数，定义域是y（0，+），值域是xR．

二、讲解新课：

1．反函数的定义

一般地，设函数))((Axxfy的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到

x=(y)．若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y

是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数))((Axxfy的反函数，记作

)(1yfx，习惯上改写成)(1xfy

开始的两个例子：s=vt记为vttf)(，则它的反函数就可以写为

v

t

tf)(1，同样62xy记为

62)(xxf，则它的反函数为：3

2

)(1

x

xf．

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(xfy来说，不一定

有反函数，如2xy，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2xy，),0[x有反函数是xy

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

函数)(xfy反函数)(1xfy

定义域

AC

值域

CA

探讨3：)(1xfy的反函数是什么？

若函数)(xfy有反函数)(1xfy，那么函数)(1xfy的反函数就是)(xfy，

这就是说，函数)(xfy与)(1xfy互为反函数

探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：

（1）函数)(xfy的图象和它的反函数)(1xfy的图象关于直线xy对称．

（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

三、讲解例题：

例1．求下列函数的反函数：

①)(13Rxxy；②)(13Rxxy.

解：①由13xy解得

3

1



y

x

∴函数)(13Rxxy的反函数是)(

3

1

Rx

x

y



，

②由)(13Rxxy解得x=31y，

∴函数)(13Rxxy的反函数是)(13Rxxy

小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．

例2．函数log(1)

a

yx(01)aa且的反函数的图象经过点（1，4），求a的值.

【解析】根据反函数的概念，知函数

log(1)

a

yx(01)aa且的反函数的图象经过点（4，1），

∴1log3

a

，∴3a.

【小结】若函数()yfx的图象经过点(,)ab，则其反函数的图象经过点(,)ba.

例3．已知函数1)(xxfy，求)3(1f的值．

解：方法一：∵0x∴1y由

1xy

解得：

2)1(yx

∴)1()1()(21xxxf为原函数的反函数，∴)3(1f＝4．

方法二：由反函数的定义得：

13x

，解得：x＝4，即)3(1f＝4．

练习1．求下列函数的反函数：

（1）y=x4(x∈R),(2)y=x25.0(x∈R),(3)y=x)

3

1

((x∈R),

(4)y=x)2((x∈R),(5)y=lgx(x＞0),(6)y=2

4

logx(x＞0)

(7)y=

a

log(2x)(a＞0,且a≠1,x＞0)(8)y=

a

log

2

x

(a＞0,a≠1,x＞0)

解：（1）所求反函数为：y=

4

logx(x＞0),(2)所求反函数为：y=

25.0

logx(x＞0)

(3)所求反函数为：y=x

3

1

log(x＞0),(4)所求反函数为：y=

x

2

log

(x＞0)

(5)所求反函数为：y=x10(x∈R),(6)所求反函数为：y=24

x

=x2(x∈R)

(7)所求反函数为:y=xa

2

1

(a＞0,且a≠1,x∈R)

(8)所求反函数为：y=2xa(a＞0,且a≠1,x∈R)

练习2．函数y=3x

的图象与函数

3

logyx的图象关于（D）

A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称直线对称

（备选题）3．求函数

23

85







x

x

y的值域．

解：∵

23

85







x

x

y∴

53

82







y

y

x∴y≠

3

5

∴函数的值域为{y|y≠

3

5

}

（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数

解：由已知得：











12

2

nm

nm

，即











7

3

n

m

，故m、n的值分别是－3、7．

（备选题）5．

mx

x

xf







2

5

)(已知的值求对称的图象关于直线mxy,．

解：由已知可知，)(xf的反函数是它的本身，即)()(1xfxf．

由

mx

x

xf







2

5

)(得,

12

5

)(1







x

mx

xf所以

12

5

2

5











x

mx

mx

x

恒成立．

比较对应系数得.1m

五、课堂小结

1．反函数的定义；求反函数的步骤．

2．互为反函数的函数图象间关系；

3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

六、课外作业：

1.阅读教材P.73；

2.《学案》P.88~P.89.