开普勒第三定律公式

知识点一 开普勒三定律

开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太

阳处在所有椭圆的一个焦点上．

开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同的时间内

扫过的面积相等相等．

开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三公转周期的二次方的

比值都相等，即＝k.

a3

T2

知识点二 万有引力定律

1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它

们距离的平方成反比．

2．公式：F＝G，G为万有引力常量，G＝6.67×10N·m/kg.

m1m2

r2-11

22

3．适用条件：适用于可以看作质点的物体之间的相互作用．质量分布均匀的球体可以认为

质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离．

题型一 对开普勒行星运动定律的理解

行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，＝k的表达式中a就是圆的半径R

a3

T2

注意：在太阳系中，比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，

k值不相同，k值与中心天体有关．

该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．如对绕地球飞行的卫星来说，它们的k值相

同与卫星无关．

[例1] 飞船以半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道

的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，

椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R

0

，求飞船由A点到B点所需要

的时间．

题型二 估算天体的质量和密度

(1)估算中心天体质量的基本思路

①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r就可以求出中心天体的质

量M.

②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R就可以求出中心

天体的质量M.

（2）估算中心天体的密度ρ测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T

[例2] 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观

测到它的自转周期为T＝s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致

1

30

因自转而瓦解．(计算时星体可视为均匀球体，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2)

2-1．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，

并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒

星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行

的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数

据可以求出的量有( )

A．恒星质量与太阳质量之比

B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比

D．行星运行速度与地球公转速度之比

2-2天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是

地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球

运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，

由此估算该行星的平均密度约为( )

A．1.8×10kg/m3.B．5.6×10kg/m3.33

C．1.1×104kg/m3.D．2.9×104kg/m3.

题型三 计算天体表面的重力加速度

在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G(g表示天体表

0

2

mg

R

Mm



0

面的重力加速度).

注意：①在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g

0

时，常运用

GM＝g

0

R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来.由于这种代换的作用巨大，此式通

常称为黄金代换式.

②利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：

在行星表面重力加速度：G所以g=

0

2

mg

R

Mm



0

2R

GM

在离地面高为h的轨道处重力加速度：,所以g=

h

mg

hR

Mm

G

2)(h

2)(hR

GM



[例3] 地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重

力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛

一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？

3-1火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的

1

10

1

2

重力加速度约为( )

A．0.2g B．0.4g

C．2.5gD．5g

3-2． (2009·江苏高考)英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选出了2008年度世界

8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径

R约45km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑

M

R

c2

2G

洞表面重力加速度的数量级为( )

A．108m/s2B．1010m/s2

C．1012m/s2D．1014m/s2

人造卫星 宇宙速度

【知识梳理】

知识点一 人造卫星

基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．

表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法

G＝ma＝m＝mrω2＝mr()2

Mm

r2

v2

r

2π

T

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．

知识点二 宇宙速度

1．第一宇宙速度(环绕速度)

指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有

的速度，是人造卫星的最小发射速度．其大小为v＝7.9km/s.

1

2．第二宇宙速度(脱离速度)

在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其

他行星上去所必需的最小发射速度．其大小为v＝11.2km/s.

2

3．第三宇宙速度(逃逸速度)

在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的

最小发射速度．其大小为v＝16.7km/s.

3

知识点三 同步卫星

概念：相对地面静止的卫星称为同步卫星．

基本特征：①周期为地球自转周期T＝24h；②轨道在赤道平面内；③运动的角速

度与地球的自转角速度相同；④高度h一定；⑤轨道和地球赤道为共面同心圆；

⑥卫星运行速度一定．

题型一 描述人造卫星的各物理量与轨道半径的关系

名师点拨1

卫星的向心加速度、绕行速度、角速度、周期和半径的关系

(1)由G＝ma有a＝，故r越大，a越小．

Mm

r2

GM

r2

(2)由G＝m有v＝，故r越大，v越小．

Mm

r2

v2

r

GM

r

人造地球卫星的最大运行速度v

m

＝＝7.9km/s.

GM

R

(3)由G＝mrω2有ω＝，故r越大，ω越小．

Mm

r2

GM

r3

(4)由G＝mr()2有T＝，故r越大，T越大．

Mm

r2

2π

T

4π2r3

GM

人造地球卫星的最小周期T

min

＝≈85min.

4π2R3

GM

注意：1.a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．

2．a、v、ω、T皆与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体的质量M决定．

3．人造卫星的轨道圆心一定与地心重合．

[例1] 有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比

r∶r＝4∶1，求这两颗卫星的：

12

(1)线速度之比．(2)角速度之比．(3)周期之比．(4)向心加速度之比．

1-1．在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，

地面上的重力加速度为g，则( )

A．卫星运动的速度为

2Rg

B．卫星运动的周期为4π

2R

g

C．卫星运动的加速度为

g

2

D．卫星的动能为

mgR

4

题型二 计算第一宇宙速度

1．第一宇宙速度的理解和推导

G＝m，v

1

＝＝7.9km/s

Mm

R2

v12

R

GM

R

或mg＝m，v

1

＝＝7.9km/s

v12

R

gR

2．其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，v

1

＝，

g′R′

g′为该天体表面的重力加速度，R′为该天体的半径．

注意：(1)三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度．

(2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度．

[例2] 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度

是多大？金星的第一宇宙速度是多大？(地球表面的重力加速度g为9.8m/s2.，地球的第一

宇宙速度为7.9km/s)

2-1．1990年5月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为

吴健雄星，其直径2R＝32km.如该小行星的密度和地球的密度相同，则对该小行星而言，

第一宇宙速度为多少？(已知地球半径R＝6400km，地球的第一宇宙速度v≈8km/s)

0

1

题型三 卫星、飞船的变轨问题

卫星的“变轨问题”分析

卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动.

当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即=

2r

Mm

G

r

v

m

2

时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变时，轨道半径将发生变化.

(1)速度突然增大时＜，万有引力小于向心力，做离心运动.

2r

Mm

G

r

v

m

2

(2)速度突然减小时，＞，万有引力大于向心力，做向心运动.

2r

Mm

G

r

v

m

2

[例3] “神舟”六号飞船的成功飞行为我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”获得了

宝贵的经验．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，飞船在距月球表面高度为

0

3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点

B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．

求：(1)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．

(2)飞船在A点处点火时，动能如何变化？

(3)飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间．

3-1．图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转

移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是( )

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

题型四 关于地球同步卫星的问题

.地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.

(4)高度一定：据=m得r=＝4.24×104km，卫星离地面高度

2r

Mm

G

r

T2

24

3

2

2

4

GMT

h＝r－R≈6R(为恒量).

(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07km/s(为恒量).

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.

注意：

1.一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度不超过

v＝7.9km/s.

2．一般卫星的轨道是任意的，同步卫星的轨道在赤道平面内．但无论是一般卫星还是同步

卫星，其轨道平面一定通过地球的球心．

[例4] 2009年4月15日零时16分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，

成功将第二颗北斗导航卫星送入预定轨道．这次发射的北斗导航卫星，是中国北斗卫星导

航系统建设计划中的第二颗组网卫星，是地球同步静止轨道卫星．该卫星在预定轨道正常

运行时，下列说法正确的是( )

A．它一定位于赤道的上空

B．它可能经过北京上空

C．其周期为1个月

D．它的线速度大于7900m/s

《曲线运动万有引力》章末知识整合

【知识网络】

四、卫星问题

1．为什么第一宇宙速度既是卫星的最小发射速度，又是最大的

环绕地球的速度？

卫星的发射速度越大，升得越高，轨道半径越大，但环绕速度

却越小．因为卫星到达轨道的过程中，要克服重力做功，所以

轨道半径越大，发射速度越大；又由于卫星稳定运行时，环绕

地球运动的速度：v＝(其中r为轨道半径，M为地球的质

r

GM

量)，所以轨道半径r越大，环绕速度v却越小．当r＝R(R为地

球半径)时，v＝7.9km/s(第一宇宙速度)为卫星的最大环绕速度，

但此时轨道半径r最小，因此发射速度为最小．

2．地球赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的向心力有何不同？

地球赤道上的物体随地球一起自转，向心力由万有引力的一个

分力提供；近地卫星和地球同步卫星的向心力全部由万有引力

提供．地球赤道上的物体和地球同步卫星的角速度相同，地球

同步卫星的角速度小于近地卫星的角速度．

3．卫星的速度变化时，卫星如何运动？

绕地球运行的卫星速度增大时，所需向心力增大，卫星要做离

心运动，轨道半径增大，但卫星在向高轨道运动过程中，由于

要克服重力做功．卫星速度减小．卫星稳定运行时，运动速度

v＝，所以卫星在高轨道运动的速度小于卫星速度增大前

r

GM

在原轨道运动的速度．

绕地球运行的卫星速度减小时，所需向心力减小，卫星要做向

心运动，轨道半径减小，但卫星在向低轨道运动过程中，重力

做正功，卫星速度增大．卫星稳定运动时，运动速度v＝

r

GM

，所以卫星在低轨道运动的速度大于卫星速度减小前在原轨

道运动的速度．

[例4] 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某

次测量卫星的轨道半径为r，后来变为r(r

1221

1K2K

上的动能．T、T表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则( )

12

A．ET

2K1K

21

2K1K

21

C．E>E，TE，T>T

2K1K

21

2K1K

21

【解析】 卫星受阻力作用后动能减小，所需要的向心力减小，此时地球对卫星的万有引

力大于卫星所需的向心力，从而卫星要做向心运动而往下运动致使半径减小，但是低轨道

上的运行速度比高轨道的大，而后结合运动规律分析即可得解．

由G=m可得：v=

2r

Mm

r

v2

r

GM

又因为E=mv=,则E∝

K2

1

2

r

GMm

2Kr

1

所以E>E,又由G=mr(),得：

2K1K

2r

Mm

T

2

2

T=,则T∝，所以T

GM

r34

3r

21

【答案】 C

6．万有引力与航天问题中常用的模型有如下几种：

一、“同步卫星”模型

地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全球

通信和转播电视信号．

同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天体——环绕天体”模型．同

步卫星具有四个一定：

①定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面；

②定运行周期：与地球的自转周期相同，即T＝24h；

③定运行高度：由G＝m(R＋h)()2，得同步卫星离地面的高度为：h＝

Mm

(R

＋

h)2

2π

T

－R≈3.6×104km；

3

GMT2

4π2

④定运行速率：v＝≈3.0km/s.

GM

r

一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，

即可实现全球通信(两极有部分盲区)．为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心

的张角不能小于3°，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星，可见，空间位

置也是一种资源．

二、“地球自转忽略”模型

在地球表面，分析计算表明：物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的

0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m的物体重力等于所受的

地球引力，即mg＝G.所以，地表附近的重力加速度为g＝.利用这一思路，我们可

Mm

R2

GM

R2

推出“黄金代换式”GM＝gR2.若物体在距地面高h处，则有mg′＝G.所以，在距地面

Mm

(R

＋

h)2

高h处的重力加速度为g′＝＝g()2.

GM

(R

＋

h)2

R

R

＋

h

【例5】 “神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传

感器上面压着一个质量为m的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度时，

加速度为a＝，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的，已知地球的

g

2

17

16

半径为R，g为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度．

三、“星体自转不解体”模型

指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为：

①具有与星球自转相同的角速度和周期；

②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．

因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相

同，但周期不同)，也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径不同)．这

三种情况又极易混淆，同学们应弄清．

四、“双星”模型

对于双星问题要注意：

①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；

②两星球绕两星球间连线上的某点(转动中心)做圆周运动的角速度ω或周期T的大小

相等；

③两星球绕转的半径r1、r2的和等于两星球间的距离L，即r1＋r2＝L.

说明 万有引力公式和向心力公式中都有r这个物理量，但它们的含义不同：万有引

力定律中的r是指两物体间的距离，而向心力公式中的r则指的是圆周运动的半径．一

般情况下，它们二者是相等的，如月球绕地球的运动，但在此双星问题中则根本不同：

万有引力定律中的r＝L，而向心力公式中的r则分别为r

1

和r

2

，它们的关系是

r1＋r2＝L.

【例7】 在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星

系统称为双星．已知两颗恒星质量分别为m、m，两星之间的距离为L，两星分别

12

绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度．

五、“卫星变轨”模型

解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：

①若F＝F，供求平衡——物体做匀速圆周运动；

供

求

②若F

供

求

③若F>F，供过于求——物体做向心运动．

供

求

2．一行星绕恒星做圆周运动.由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量

为G，则( )

A．恒星的质量为B．行星的质量为

v3T

2πG

4π2v3

GT2

C．行星运动的轨道半径为D．行星运动的加速度为

vT

2π

2πv

T

3．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均

匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式

V＝πR3，则可估算月球的( )

4

3

A．密度B．质量C．半径D．自转周期