圆锥曲线公式

圆锥曲线公式

椭圆

1．椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



的参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

2．椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



焦半径公式

1

PFaex

，2

PFaex

,12

,FF分别为左右焦点

3．焦点三角形：P为椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



上一点，则三角形12

PFF

的面积

S=

2

12tan;

2

PFF

b





特别地，若12

,PFPF

此三角形面积为

2b

；

4．在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



上存在点P，使12

PFPF

的条件是c≥b,即椭圆的离心率

e的范围是

2

[,1)

2

；

5．椭圆的的内外部

(1)点00

(,)Pxy

在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



的内部

22

00

22

1

xy

ab



.

(2)点00

(,)Pxy

在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



的外部

22

00

22

1

xy

ab



.

6．椭圆的切线方程

(1)椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



上一点00

(,)Pxy

处的切线方程是

00

22

1

xxyy

ab



.

(2)过椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



外一点00

(,)Pxy

所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab



.

(3)椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



与直线

0AxByC

相切的条件是

22222AaBbc

.

双曲线

7．双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c



，

2

2

|()|

a

PFex

c



.

8．双曲线的内外部

(1)点00

(,)Pxy

在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



的内部

22

00

22

1

xy

ab



.

(2)点00

(,)Pxy

在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



的外部

22

00

22

1

xy

ab



.

9．双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为

1

2

2

2

2



b

y

a

x



渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y

.

(2)若渐近线方程为

x

a

b

y



0

b

y

a

x



双曲线可设为



2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与

1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线，可设为



2

2

2

2

b

y

a

x

（

0

，焦点在x轴

上，

0

，焦点在y轴上）.

10．双曲线的切线方程

(1)双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



上一点00

(,)Pxy

处的切线方程是

00

22

1

xxyy

ab



.

(2)过双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



外一点00

(,)Pxy

所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab



.

(3双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab



与直线

0AxByC

相切的条件是

2222AaBbc

.

11．焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）

抛物线

12．焦点与半径

2

2

(0),(,0),;

44

(0),(),;

44

aa

yaxax

aa

aya





抛物线焦点是准线

抛物线x焦点是0,准线y

13．焦半径公式

抛物线

22(0)ypxp

，C00

(,)xy

为抛物线上一点，焦半径

02

p

CFx

.

14．过焦点弦长

pxx

p

x

p

xCD

212122

.

对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。

15．设点方法

抛物线

pxy22

上的动点可设为P

2

0

0

(,)

2

y

y

p

或

或)2,2(2ptptP

P

(,)xy

，其中

2

00

2ypx

.

圆锥曲线共性问题

16．两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1

(,)0fxy

,2

(,)0fxy

的交点的曲线系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy

(



为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

22

22

1

xy

akbk





,其中

22max{,}kab

.当

22min{,}kab

时,表示椭圆;当

2222min{,}max{,}abkab

时,表示双曲线.

17．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

22

1212

()()ABxxyy

或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco

（弦端点A

),(),,(

2211

yxByx

由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到

02cbxax

，

0

,



为直线

AB

的倾斜角，

k

为直线的斜率）.

18．涉及到曲线上的点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：

比如在椭圆中：

1122

22

11

22

22

22

22

22

0

1212

22

12120

(,),(,),M(0,0),:

1(1)

1(2)

(1)(2)()()

AxyBxyxy

xy

ab

xy

ab

x

yyxx

bb

xxyyaya











中点则有

19．圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线

(,)0Fxy

关于点00

(,)Pxy

成中心对称的曲线是00

(2-,2)0Fxxyy

.

（2）曲线

(,)0Fxy

关于直线

0AxByC

成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







.

20．“四线”一方程

对于一般的二次曲线

220AxBxyCyDxEyF

，用0

xx

代

2x

，用0

yy

代

2y

，

用

00

2

xyxy

代

xy

，用

0

2

xx

代

x

，用

0

2

yy

代

y

，即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF





，曲线的切线，切点弦，

中点弦，弦中点方程均是此方程得到.