加权几何平均数

1

位值平均数计算公式

1、众数:是一组数据中出现次数最多的变量值

组距式分组下限公式:00

21

1

0mm

dLM







0

m

L

：代表众数组下限；

11

00





mm

ff

:代表众数组频数—众数组前一组频数

0

m

d

：代表组距;

12

00





mm

ff

：代表众数组频数-众数组后一组频数

2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。

中位数位置

2

1



n

分组向上累计公式：e

e

e

e

m

m

m

me

d

f

S

f

LM







12

e

m

L

代表中位数组下限；

1

e

m

S

：代表中位数所在组之前各组的累计频数；

e

m

f

代表中位数组频数；

e

m

d

代表组距

3、四分位数：也称四分位点,它是通过三个点将全部数据等分为四部分,其中每部分包含25%，

处在25%和75%分位点上的数值就是四分位数。

其公式为：

4

1

1





n

Q

2

1

2





n

Q

（中位数）

4

)1(3

3





n

Q

实例

数据总量:7，15,36,39，40，41

一共6项

Q1的位置=（6+1)/4=1.75Q2的位置=(6+1）/2=3。5Q3的位置=3（6+1)/4=5。

25

Q1=7+(15—7）×（1。75—1）=13,

Q2=36+（39-36)×（3。5-3）=37.5，

Q3=40+（41—40）×(5.25—5）=40。25

数值平均数计算公式

1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。

其公式为：n

x

n

xxx

Xn







21

2

2、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数f)大小的影响，

其公式为：f

xf

fff

fxfxfx

X

i

ii













21

2211

3、加权算术平均数的频率：

其公式为：f

f

X

f

f

X

f

f

X

f

f

XXn















2

2

1

1

4、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M）而缺少总体单位数（f）的资料，

不能直接采用加权算术平均数法计算平均数,则应采用加权调和平均数.

其公式为：

x

m

m

H







5、简单几何平均数：就是n个变量值（Xn）连乘积的n次方根：

其公式为：

n

n

n

XXXXXG

321

6、加权几何平均数：如果变量值较多，其出现的次数不同，则应采用加权几何平均数，

其公式为:

f

f

fff

f

n

ffXXXXGn

n



21

21

21

标志变异绝对指标及成数计算公式

一、标志变异绝对指标:

1、异众比率（又称离异比率或变差比,它是指非众数组的频数占总频数的比率）：

公式即，

i

m

i

mi

rf

f

f

ff

V









1

2、极差（也称全距,它是一组数据的最大值与最小值这差

公式即：

minmax

XXR

3、平均差(总体各单位标志值对算数平均数的绝对离差的算术平均数，平均差是反映各标志

值对平均数的平均距离，平均差越大,说明总体各标志值越分散，平均差越小,说明各

标志值越集中），

公式即为：（未分组情况）

n

xx

DA



.

（分组情况）:

f

fxx

DA







·

.

4、方差和标准差：

方差（是各变量值与其均值离差平方的平均数）,

公式即为：（未分组情况)

n

xx2

2

)(



（分组情况）：

f

fxx







·)(2

2

3

标准差（方差的平方根），

公式即为：（未分组情况)

n

xx2)(



(分组情况）：

f

fxx







·)(2



方差的数学性质：变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方.

方差的简便算法：方差=平方的平均数-平均数的平方

平方的平均数表示为：

n

x2

平均数的平方表示为：

2















n

x

方差简便算法的公式即为:

222)(xx

二、是非标志的平均数、方差、标准差:

是非标志:将总体分成具有某种性质和不具有某种性质的两部分,我们所关心的标志表现

称为“是”，另一标志标现称为“非”.例如:产品分为合格与不合格品.

成数：总体中，是非标志只有两种表现，我们把具有某种表现和不具有某种表现的单位

占全部总体单位的比重称为成数.具有某种性质的成数用（p)表示,不具有某种性质

的用(q）表示。p+q=1。［成数的平均数（均值）就是成数本身］

成数方差：

)1(2pp

成数标准差：

pp1(

抽样平均误差、极限误差计算公式

1、抽样平均误差：反映所有的样本平均数与总体平均数的平均误差,用

x



表示.

平均数公式:

重置抽样公式为：

n

M

x

x









2)(

其中



表示总体标准差,n表示样本容量,M为样本个数。

不重抽样公式为:

1

·

)(2











N

nN

n

M

x

x





其中N为总体单位数。

成数公式：

重置抽样公式为:

n

PP

P

)1(



不重置抽样公式为：

1

)1(











N

nN

n

PP

P



2、极限误差:样本统计量与被估计的总体参数的离差的绝对值所容许的最大值，又称边际误

差,用来表示。

x

Xx

p

Pp

x

z







，用文字表述为：概度率=抽样极限误差÷抽样平均误差.

4

概率保证程度用zF表示，又叫置信度或置信水平,它是

z

的函数。

3、计算题步骤：

第一套：zF

求

1、抽样计算区间估计x



x

xS

2、根据：zF查表

z

3、计算：

x

z

，写出x:x，x

4、成数计算步骤：

第一套：zF求

1、抽样计算区间估计P



p

xS

2、根据：zF查表

z

3、计算:

pp

z

写出（

Pp

，PP）

样本容量、相关系数、估计标准误差

一、样本容量的确定

1、平均数:重复抽样下样本容量

2

22





z

n

；不重复抽样下样本容量

222

22

)1(



zN

Nz

n





2、成数:重复抽样下样本容量

2

2)1(

p

ppz

n







；

不重复抽样下样本容量

)1()1(

)1(

2

2

2

ppzN

ppNz

n

p







二、相关系数:在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标.

公式1：

2222)()(

))((

)()(

))((

yyxx

yyxx

yyxx

yyxx

r













公式2：

2

2

2

2yynxxn

yxxyn

r







公式3：

yx

yxxy

r







三、一元线性回归分析：只涉及一个自变量时称为一元回归.

第二套：求zF

1、抽样计算区间估计x



x

xS

2、根据：

x

z





查表zF

3、由x和，写出x，x

第二套：求zF

1、抽样计算区间估计P



p

xS

2、根据：

P

Pz







查表zF

3、由P和

p

，写出（

Pp

，PP）

5

1、估计回归方程可表示为:

xbby

10



，

其中

0

b是估计的回归直线在y轴上的截距,是当x=0时的期望值;

1

b是直线的斜率，称为回

归系数，表示当x每变动一个单位时y的值平均变动。

2、最小二乘法(残差平方和最小)

22

1)(

))((

xxn

yxxyn

b





xbyb

10



222

1)()(

))((

xxn

yxxyn

xx

yyxx

b













n

x

b

n

y

b









10

三、回归直线的似合程度

1、判定系数（可决系数）：等于相关系数的平方.

22

22

2

1

2

)(

)(

yyn

xxn

br







2、估计标准误差:

实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根

反映实际观察值在回归直线周围的分散状况

从另一个角度说明了回归直线的拟合程度

计算公式为

22

)

ˆ

(

10

2

2













n

xybyby

n

yy

S

y

四、利用回归方程式进行估计

1、点估计：对于自变量x的一个给定值x

0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值

根据回归方程:

xbby

10



得出y的估计值。

时间序列的分析指标

1、绝对数时间序列的计算：（用算术平均数计算)

①、时期序列的序时平均数:

nyyyyy

n

/

21



②、时点序列的序时平均数：

连续时点：连续每天资料不同：

nyy/

持续天内资料不变:

tyty/

间断时点：间隔时间相等序时平均数的计算(首末折半）:

6

1

2

1

2

1

121









n

yyyy

y

nn

间断时点：间隔不相等序时平均数的计算：

t

t

yy

t

yy

t

yy

y

n

nn



















1

1

2

32

1

21)

2

()

2

()

2

(

2、绝对数或平均数时间序列的序时平均数：应先分别求出构成相对数或平均数的分子和分母

的平均数，而后再进行对比（先平均，再对比）：

bay/

3、增长量：增长量=报告期水平—基期水平。

逐期增长量：是报告期水平与前一期水平之差，表示本期比前一期增长的绝对数量

累积增长量:是报告期水平与某一固定时期水平之差，说明报告期与某一固定期增长的绝

逐期增长量与累积增长量之间存在一定的关系:各逐期增长量的和等于相应时期的累积增长

量；两相邻时期累积增长量之差等相应时期的逐期增长量.

4、平均增长量:

n

yy

n

yy

ynii01

)(







(n为逐期增长量个数,它是观察数量的个数减1)

平均增长量=逐期增长量之和/逐期增长量个数=累积增长量/观察期数。

5、发展速度：发展速度=报告期水平/基期水平

环比发展速度:是报告期发展水平与前一水平之比,说明现象逐期发展变化的程度

定基发展速度：是报告期发展水平与某一固定时期水平之比，说明现象整个观察期内总的发

展变化程度。

以上两种发展速度之间存在着一定的数量：各个环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发

展速度；两个相邻的定基发展速度之比等于相应的各期环比发展速度。

6、增长速度:增长速度=增长量/基期水平=报告期水平—基期水平/基期水平=发展速度—1

环比增长速度:1//

111



iiiiii

yyyyyG（i=1,2…n)

定基增长速度:1//

000

yyyyyG

iii

（i=1，2…n)

环比增长速度与定基增长速度之间没有直接关系：若由环比增长速度推算定基增长速度，可

先将各环比增长速度加1后连乘，再将结果减1，即得定期增长速度。

7、平均发展速度：用水平法（几何平均法）计算,

公式为：n

n

n

i

i

n

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

R

0111

2

0

1



（i=1。2…n）。

8、平均增长速度：又称增长率，是用于描述现象在整个观察期内平均增长变化程度的指标，

7

通常用平均发展速度减1来求得。

1RG

9、长期趋势分析:移动平均法：通过扩大时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长期逐期移

动,分别计算出一系列平均数，由这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起

到一定人修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的基本

变动趋势。

公式为：

Kyyyy

iKi

/

111



（式中K为间隔长度，是大于1小于n的正整数）。

最小平方法：又称最小二乘法

直线趋势模型：当时间序列的逐期长增长量大致相同,或利用散点图观察现象的变动近似

一条直线时，可采用下列线性模来描述：

btay

t



ˆ

根据最小平方法的基本要求,可得：22)(ttn

yttyn

b







综合指数、平均指数

1、加权综合指数:

拉氏：销售指数（数量指数）：

00

10

0/1qp

qp

q







（基期变量值加权）

帕氏:价格指数（质量指数）：

10

11

0/1qp

qp

p







（报告期变量值加权）

公式中

0/1

q表示数量指数,

0

q和

1

q表示一组项目基期和报告期的物量数值；

0/1

p表示质量指数；

0

p和

1

p表示一组项目的基期和报告期的质量数值。

2、股票价格指数:即以报告期发行量为权数（同度量因素）进行加权综合。

公式为:

10

11

0/1qp

qp

p







3、加权平均指数：

数量指标平均指数编制的一般原则是:以基期价值量指标为权数，计算数量指标个体指数的加

权算术平均数。

加权算术平均指数:

00

10

00

00

0

1

0/1qp

qp

qp

qp

q

q

q













(数量指数）

质量指标平均指数编制的一般原则是：以报告期价值量指标为权数，计算质量指标个体指数

的加权调和平均数.

8

加权调和平均指数：

10

11

11

01

11

0/1

/

1

qp

qp

qp

pp

qp

p













(质量指数)