在直角三角形abc中

1

解直角三角形及其应用

【学习目标】

1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解

直角三角形；

2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．

【要点梳理】

要点一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，

，，.

④，h为斜边上的高.

要点诠释：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

要点二、解直角三角形的常见类型及解法

已知条件解法步骤

Rt△ABC

两

边

两直角边(a，b)

由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)

由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

一直角边

和一锐角

锐角、邻边

(如∠A，b)

∠B=90°－∠A，

，

2

角

锐角、对边

(如∠A，a)

∠B=90°－∠A，

，

斜边、锐角(如c，∠A)

∠B=90°－∠A，

，

要点诠释：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元

素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件

为边.

要点三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数

量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出

几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的

问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，

坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做

俯角，如图.

3

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方

向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的

目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.

特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西

北方向指的是北偏西45°.

要点诠释：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最

好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形

来解.

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意

图，进而根据条件选择合适的方法求解.

【典型例题】

类型一、解直角三角形

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三

角形．

(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，

3b

．

【答案】

(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．

由tan

b

B

a

知，

tan4tan6043baBg°

．

由cos

a

B

c

知，

4

8

coscos60

a

c

B



°

．

4

(2)由tan3

b

B

a

得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．

∵222abc，∴2242cab．

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．

【答案】

由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，

∴∠A＝90°-30°＝60°．

又sin30

b

c

°，∴

120

2c

．

∴c＝40．

由勾股定理知222acb．

∴2224020a，203a．

举一反三：

（1）已知a=2

3

，b=2，求∠A、∠B和c；（2）已知sinA=

2

3

,c=6，求a和b；

【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=

25

类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用

3．如图所示，BC是半圆⊙O的直径，D是

»

AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，

(1)求证：△ABE∽△DBC；

(2)已知BC＝

5

2

，CD＝

5

2

，求sin∠AEB的值；

(3)在(2)的条件下，求弦AB的长．

【答案】

(1)∵

»»

ADCD

，∴∠1＝∠2，

5

又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．

∴△ABE∽△DBC．

(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．

在Rt△BDC中，BC＝

5

2

，CD＝

5

2

，

∴BD＝225BCCD，

∴sin∠AEB＝sin∠DCB＝

525

5

5

2

BD

BC

．

(3)在Rt△BDC中，BD＝

5

，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．

∴

ADDE

DBAD

，∴2ADDEDBg．

又∵

5

2

CDAD，∴CD2＝(BD－BE)·BD，

即

2

5

(5)5

2

BE











g，∴

35

4

BE．

在Rt△ABE中，AB＝BE．sin∠AEB＝

323

55

452

．

举一反三：

如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=

1

3

．

（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．

【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32cm2；（3）tanB=

+22

4

.

类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用

4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为

1:3i

（i＝1:

3

是指铅直高

6

度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．

(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；

(2)求DE的长；

(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群

众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01m)．

【答案】

(1)作AG⊥BC于G，DE⊥BC于E，

在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．

∴AB的坡度1

AG

i

BG



．

(2)在Rt△DEC中，∵

3

tan

3

DE

C

EC

，∴∠C＝30°．

又∵CD＝10m．∴

1

5m

2

DECD．

(3)由(1)知AG＝BG＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，

tan

AG

AFG

FG

，即

35

35FB





，解得

5353.66(m)FB

．

答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66m．

5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用

三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板

测得A点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1米，

参考数据

3

＝1.73)．

【答案】

过点C作CE⊥AB于E．

∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，

∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．

7

∵CD＝10，∴AC＝

1

2

CD＝5．

在Rt△ACE中，

AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin30°＝

5

2

，

CE＝AC·cos∠ACE＝5×cos30°＝

5

3

2

，

在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，

∴

555

3(31)

222

ABAEBE≈6.8(米)．

∴雕塑AB的高度约为6.8米．

【巩固练习】

一、选择题

1.在△ABC中，∠C＝90°，

4

sin

5

A，则tanB＝()．

A．

4

3

B．

3

4

C．

3

5

D．

4

5

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为()．

A．7sin35°B．

7

cos35°

C．7cos35°D．7tan35°

3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:

3

(坡比是坡面的铅直高度BC与水

平宽度AC之比)，则AC的长是()．

A．

53

米B．10米C．15米D．

103

米

4．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，

则cos∠OMN的值为()．

A．

1

2

B．

2

2

C．

3

2

D．1

第3题第4题第5题

5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()

A．

sin

h



B．

tan

h



C．

cos

h



D．sinhg

6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，

8

若

3

cos

5

BDC，则BD的长是()．

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北

偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距()．

A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里

第6题第7题第8题

8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P

的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是()．

A．

2003

mB．

2003

3

mC．

1003

mD．100m

二、填空题

9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝

3

5

，则tan∠B的值为______．

10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD

于点G，则

AG

AF

的值为________．

第9题第10题第11题

11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段

时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果

保留根号)．

12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE

沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．

13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离

BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝____

米．

9

第12题第13题第14题

14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方

向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、

C两地相距________m．

三、解答题

15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一

座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测

得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:

3

(即AB:BC＝1:

3

)，

且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．

16.如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得

古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求

该古塔BD的高度(

3

≈1.732，结果保留一位小数)．

17．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线

相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅

助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．

(1)求垂直支架CD的长度．(结果保留根号)

(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，

3

≈1.73)

10

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B；

【解析】如图，sinA＝

4

5

BC

AB

，设BC＝4x．则AB＝5x．

根据勾股定理可得AC＝223ACABBCx，∴

33

tan

44

ACx

B

BCx

．

2.【答案】C；

【解析】在Rt△ABC中，cos

BC

B

AB

．∴BC＝ABcosB＝7cos35°．

3.【答案】A；

【解析】由tan

BC

iA

BC

1:3知，

353ACBCg

(米)．

4.【答案】B；

【解析】由题意知MN∥BC，∠OMN＝∠OBC＝45°，∴

2

cos

2

OMN．

5.【答案】A；

【解析】由定义sin

h

l

，∴

sin

h

l



.

6.【答案】D；

【解析】∵MN是AB的中垂线,∴BD＝AD．又

3

cos

5

DC

BDC

BD

，

设DC＝3k，则BD＝5k，∴AD＝5k，AC＝8k．∴8k＝16，k＝2，BD＝5×2＝10．

7.【答案】B；

【解析】连接AC，∵AB＝BC＝40海里，∠ABC＝40°+20°＝60°，

∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．

8.【答案】A

【解析】依题意PM⊥MN，∠MPN＝∠N＝30°，tan30°

200

PM

，

2003PM

．

11

二、填空题

9．【答案】

2

3

；

【解析】在Rt△ACM中，sin∠CAM＝

3

5

，设CM＝3k，则AM＝5k，AC＝4k．

又∵AM是BC边上的中线，∴BM＝3k，∴tan∠B＝

42

63

ACk

BCk

．

10．【答案】

3

2

；

【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．

∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，

3

sin60

2

AG

AF

°．

11．【答案】

40403

；

【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝

2

40240

2

．

在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝

403

，

所以AB＝AC+BC＝

40403

．

12．【答案】

1

2

；

【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，

DF＝AB＝4，所以

21

tantan

42

BF

BCEBDF

DF

．

13．【答案】58；

【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58

14．【答案】200；

【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.

三、解答题

15.【答案与解析】

过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，

∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，

在Rt△CDE中，

3

tantan603

DEDE

CEx

DCE



°

．

12

在Rt△ABC中，∵

1

3

AB

BC

，AB＝2，∴23BC．

在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．

∴

2

3(2)

tantan30

DFx

AFx

DAF





°

∵AF＝BE＝BC+CE．

∴

3

3(2)23

3

xx，解得6x．

答：树DE的高度为6米．

16.【答案与解析】

根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．

在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD．

在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝

BD

BC

，得3

tan30

BD

BCBD

°

．

又∵BC-AB＝AC．∴

320BDBD

，∴BD＝

20

31

≈27.3(m)．

答：该古塔的高度约为27.3m．

17.【答案与解析】

(1)在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76，

∵sin∠CED＝

DC

DE

，∴DC＝DE×sin∠CED＝

383

(厘米)

答：垂直支架CD的长度为

383

厘米．

(2)设水箱半径OD＝x厘米，则OC＝

(383)x

厘米，AO＝(150)x厘米，

∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°

∴AO＝2×OC，即：150+x＝

2(383)x

厘米，AO＝(150+x)厘米，

解得：

150763x

≈18.52≈18.5(厘米)

答：水箱半径OD的长度约为18.5厘米．