质心参考系

质心系中质点组的运动定律

宁国强

1.引言

众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律。所以，以

牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成

立[1~4]。在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非

惯性参考系可能会使问题简单化[5~8]。在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动

定律可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达

式又如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非

惯性系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现

象。

2.质心参考系

以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质

心参考系或质心系。

根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征。

由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为

0











i

ii

cm

rm

r





.（2-1）

将

c

r





对时间取一阶导数，得

0ii

c

i

mv

v

m











v

v

.(2-2)

由上式知

0

ii

mv





v

.(2-3)

公式（2—3）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定

义的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。

因此，我们称质心参考系为零动量参考系。正是由于有了这一特征，才能使得质

心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系[9~11]。

质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系。

由质心运动定理

dt

vd

mrmFc

ci









可知，我们所研究的系统，如果所受

的合外力为零，则质心C在静止惯性参考系中以恒定速度

c

V



作惯性运动，此时

质心参考系也是惯性参考系。如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系

作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。

3.质心系中质点组的运动定律

3.1质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律

若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导

如下：

设有一质心系

Cxyz





(以下简称

k



系)相对另一惯性系

Oxyz

（以下简称

k

系）作加速运动，

k



系原点在

k

系中的加速度用

c

a

r

表示，现有n个质点组成的质

点系相对k系作加速运动，

n

rrr









,,,

21

表示各质点相对k



系原点的位矢，

n

vvv









,,,

21

表示各质点相对于k



系运动的速度。相对于k



系，第i个质点的运动

微分方程为

eiii

i

i

FfF

dt

vd

m













，（3-1）

式中

eiii

FfF







,,分别为作用于第i个质点上的外力、相互作用内力、惯性力。将式

（3-1）两端对n个质点求和，可得

1111

nnnn

iiiiei

iiii

d

mvFfF

dt





r

v

v

r

，（3-2）

式中







n

i

rii

Pvm

1





为质点系相对于质心系k



的动量，

eiic

Fma

r

v

是由非惯性系引

起的第i个质点受到的惯性力。注意到对质点系来说，有0

1





n

i

i

f



，式（3-2）就

成为

c

n

i

i

n

i

i

ramF

dt

Pd







)(

11







，（3-3）

式中Mm

n

i

i



1

，M为质点系的总质量。由惯性系中的质心运动定理，有

0

1





n

i

ci

aMF





，因此，（3-3）式可进一步写为

0

1





c

n

i

i

raMF

dt

Pd







.（3-4）

于是

0

1









i

n

i

ir

vmP





.（3-5）

这样，我们就得到一个重要而又简单的结论：在质心参照系中，质点组的动量任

何情况下都恒等于零！（2-3）式与（3-5）式是相同的，前者由质心的定义直接

得出，后者由牛顿第二定律导出。由（3-5）式的导出过程可以看出，（3-5）式

既是质心参照系中质点系的动量定理，又是质心参照系中质点系的动量守恒定

律。

这里，有两个可能的疑问需要讲清楚：

一、在惯性参考系中，质点组动量守恒是有条件的：体系所受合外力为零。

难道在质心系中，动量守恒就不需要条件？是的，只要是质心系中，质点系的动

量就一定守恒，而且总动量就是零。如果要说条件的话，“质心系”本身就是体

系动量守恒的条件。也就是说，“质心”和“质心系”的定义本身就包含了“质

点组的总动量任何情况下都恒等于零的参照系就是质心系”的意思。

二、合外力如不为零，它对动量的贡献到哪里去了？合外力的作用是其冲量

使质心的动量获得了一增量，而对质点组中各质点相对于质心的相对动量的矢量

和没有贡献。

3.2质心系中质点组的动能定理和机械能守恒定律

当合外力不为零时，质心系是非惯性系。在质心系中对第i个质点应用动能

定理:

2

1

()()

2iiiiiiici

dmrFdrfdrmadr





v

v

vvvvv

&

，（3-6）

对i求和，得

2

1111

1

()

2

nnnn

iiiiiicii

iiii

dmrFdrfdramdr







v

v

vvvvv

&.（3-7）

注意到：

11

()0

nn

iiiic

ii

mdrdmrdMr







vvv

，故有

2

111

1

()

2

nnn

iiiiii

iii

dmrFdrfdr







v

v

vvv

&.（3-8）

上式即是质心系中的动能定理，它表明：质点组相对于质心的总动能的微分，等

于质点组中各个质点相对于质心发生位移时所有内力和外力所做功的代数和。

由（3-8）式可见：质心系中的动能定理与惯性系中的动能定理具有相同的

数学形式。须要注意的是：不仅外力做功对体系动能的变化有贡献，而且内力做

功对体系动能的变化也有贡献。但质心系中惯性力做的总功为零，它对动能的变

化没有贡献。

静止惯性参考系与质心参考系中的动能是有联系的，这一联系由柯尼西定理

描述，其推导过程如下：

如图1所示，C为质点组的质心，Oxyz为静止惯性参考系，

Cxyz





为质

心参考系。第i个质点在两参考系中的位矢和速度有下列关系：

ici

rrr





vvv

，

ici

rrr





vvv

&&&

.

质点组在静止惯性参考系的动能是：

22

11

22

111

22

11

11

()

22

11

22

11

22

nn

kiiici

ii

nnn

iciiici

iii

nn

ciicii

ii

Emrmrr

mrmrmrr

Mrmrrmr

























vvv

&&&

vvvv

&&&&

vvvv

&&&&

22

1

11

.

22

n

cii

i

Mrmr







vv

&&（3-9）

以上推导过程中应用了关系：

1

0

n

iic

i

mrMr







vv

&&，式中2

1

2c

Mr

v

&是将质点组的全部质

量看作集中在质心而运动时的动能，称之为质心的动能；而2

1

1

2

n

ii

i

mr





v

&则为质点

组中各质点相对质心运动时的动能之和。（3-9）式表明：静止惯性参考系中质点

组的动能等于质心的动能与各质点相对质心运动的动能之和，这个关系称为柯尼

西定理。

须要注意的是：不论质心系是惯性系还是非惯性系，柯尼西定理都成立。除

质心系以外的其它非惯性运动的参考系此定理一般不成立。

由（3-8）式知道，在质心系中机械能守恒的条件是：仅有保守力对体系做

功。

在除质心系以外的其他非惯性系中，上述条件不能保证机械能守恒。

3.3质点组对质心的动量矩定理和动量矩守恒定律

在质心参照系中，质点

i

P的动力学方程是

2

2

()i

iiiiC

dr

mFfmr

dt





v

v

v

v

&&

（3-10）

用

i

r



v

从左边矢乘上式两边，并对i求和，得

()

111

()()

nnn

e

iiiiiCii

iii

d

rmrrFrmr

dt





v

vvvvv

&&&

（3-11）

在导出上式时，假定了两质点间的内力沿它们的联线方向，因此内力的合力矩可

以证明为零。因

1

0

n

ii

i

mr







v

，上式化为

()

11

()()

nn

e

iiiii

ii

d

rmrrF

dt





v

vvv

&（3-12）

亦即

dJ

M

dt







v

v

（3-13）

上式就是质点组对质心的动量矩定理，其中

1

()

n

iii

i

Jrmr







v

vv

&

——质点组对质心C的总动量矩（3-14）

()

1

()

n

e

ii

i

MrF







vv

v

——对质心C的合外力矩（3-15）

当

0M





v

，则

J





v

常矢量。

以上就是质心系中质点组的动量矩守恒定律。

可见，质心系中质点组的动量矩定理和动量矩守恒律与对定点的动量矩定理

和动量矩守恒律数学形式相同。对其它动点，一般不具有类似形式的动量矩定理

和动量矩守恒律。

综上所述，在质心系中，质点组的动量恒为零；质点组的动能定理和（对

质心的）动量矩定理与惯性系中相应的定理具有完全相同的数学形式，这表明质

心系是一个特殊的、重要的参照系。

4.在质心坐标系中讨论碰撞、散射问题

4.1碰撞

两体碰撞是物理学中的一个典型问题[12~13]。在分子运动中有碰撞问题，在

工程技术中、日常生活中都有碰撞问题。当两运动物体突然相互接触时，就发生

了碰撞。而碰撞更广义的定义是：当两个物体相互接近时，它们有相互作用，因

而改变了它们的运动状态，即引起动量、能量的交换。常常用小球作为碰撞物体

的模型。如果两个小球发生对心碰撞，即两个小球碰撞前的速度矢量在它们中心

连线上，则碰撞过程中的冲击力和碰撞后两小球的速度矢量也必然在此联线上。

由于碰撞过程所经历的时间非常短，而作用力非常大，因此可略去其它非冲击力，

则系统的动量守恒，但动能一般不守恒。通常是分离速度小于趋近速度，这两个

速度的比值定义为恢复系数e，分离速度和趋近速度都是两球之间的相对速度。

下面在质心系中来讨论对心碰撞的问题：

假定两个小球发生对心碰撞。建立一个静止惯性参照系及与质心相固结的

质心坐标系。由于不受外力的作用，静止惯性参照系中系系统动量守恒，则两球

质心的速度不变，因此质心坐标系是一惯性参考系，质心相对于静止惯性参照系

的速度为

1122

12

c

mvmv

v

mm







常量

（4-1）

其中

c

v为质心的速度，

1

v、

2

v分别为两小球碰撞前相对于静止惯性参照系的速

度，

12

mm、为两球质量。在质心坐标系中，两球碰撞前的速度分别记作

1

V、

2

V，

碰撞后的速度记作

1

V



、

2

V



，则

11

22

c

c

Vvv

Vvv









（4-2）

11

22

c

c

Vvv

Vvv



















（4-3）

其中

1

v



、

2

v



分别为两球碰撞后相对于静止惯性参照系的速度。

由式（4-2）、（4-3）可得在质心坐标系中两球碰前的趋近速度和碰后的分

离速度分别为

1212

2121

VVvv

VVvv

















（4-4）

其中

21

vv为静止参照系中两球碰前的的趋近速度，

21

vv





为静止参照系中两

球碰后的的分离速度。由此可得恢复系数

2121

1212

vvVV

e

vvVV







（4-5）

由（4-5）可得：

1212

()VVeVV





（4-6）

在质心系中，体系动量为零，故

11221122

0mVmVmVmV





（4-7）

由（4-6）、（4-7）可得：

1212121

2112122

()/()

()/()

VemVVmmeV

VemVVmmeV



















（4-8）

（4-8）式即为质心系中两球碰撞后的速度公式。由此我们得出一个重要结论：

在质心系中，两球正碰之后，各自反弹，速度大小均为各自的碰前速度乘于恢复

系数e.

我们知道，在静止参照系中，两球碰撞后的速度为：





1122212

1

12

1122112

2

12

mvmvemvv

v

mm

mvmvemvv

v

mm































（4-9）

可见，在质心系中得到的两球的速度公式较静止参照系中的速度公式要简单

得多。容易看出，只要将（4-1）、（4-8）代入（4-3）并利用（4-4），就可得到

（4-9）。

在质心系中，体系碰撞前后的总动能分别为

22

1122

1

()

2

TmVmV

22

112212

12

21

()()

11

22

mmmmmm

VV

mm





（4-10）

2

2222

11221122

1

()()

22

e

TmVmVmVmV





22

22

112212

12

21

()()

22

mmmmmm

ee

VV

mm





（4-11）

动能损失为

2

22

1122

1

()

2

e

TTTmVmV







22

22

112212

12

21

1()1()

22

emmmemmm

VV

mm



（4-12）

讨论：

①对于完全弹性碰撞（1e），有

1122

,,0VVVVT



.（4-13）

可见，在质心系中，两球发生弹性碰撞，各球以原速率反弹，体系动能守恒。

②对于完全非弹性碰撞（0e），有

12

0,VV



（4-14）

22

max1122

1

()()

2

TTmVmVT（4-15）

可见，在质心系中，两球发生完全非弹性碰撞，两球相对质心静止，动能损失殆

尽。

4.2散射

弹性散射是分析力学中一个重要的问题

[14]。其过程可以视为射弹粒子与靶粒子之间动

量与能量的转化过程。在两粒子体系的质心系

中，

11221122

0mVmVmVmV





vvvv

（4-16）

因此，在质心系中，两质点速度始终方向相反，并沿两质点的联线方向（如图2

所示）。

设静止参照系中的散射角（即

1

v

与

1

v的夹角）为

r

，质心系中的散射角

（即

1

V

与

1

V的夹角）为

c

（如图3所示）。

从图4可以看出：

11c

vvV





v

vv

，（4-17）

即11

11

||sin||sin

||cos||||cos

rc

rcc

vV

vvV



















（4-18）

1

1

||sin

||||s

c

r

cc

V

tg

vVco















.（4-19）

由于

1122

12

c

mvmv

v

mm







vv

v

，

212

11

12

121

22

12

()

()

c

c

mvv

Vvv

mm

mvv

Vvv

mm













vv

v

vv

vv

v

vv

对于弹性散射，

1122

,VVVV



.若散射前，

2

0v

v

，则

1121

1

1212

,

c

mvmv

vV

mmmm







，代入（4-19）式，得

1

2

sin

cos

c

r

c

tg

m

m











（4-20）

例如，粒子被重原子核散射时，由于

12

mm，故

rc

；而中子-质子散射

时，由于

12

mm，/2

rc

.

5.采用质心系处理力学问题的举例

下面我们通过两个例子说明质心坐标系处理力学问题的优势。

[例1]一个人从船头走到船尾，人的质量为m,船的质量为M,船长为L，问

船在水中移动了多远的距离。（不计水的阻力）

[解法一]在静止坐标系中：

设船的速度为V，人的速度为v；船相对于静水移动的距离为x，人相对于

静水移动的距离则为L-x.

根据动量守恒定律，得

0MVmv

0

()0

MVdtmvdt

MxmLx







故xLmMm

[解法二]在质心坐标系中：

设船移动的距离为x，人移动的距离则为L-x.由于整个系统不受外力作用，

所以质心不会移动，即

()0

c

rMxmLx

故xLmMm

[例2]从地球发射一宇宙飞行体，要使其脱离太阳系，至少需要多大速度

（第三宇宙速度的求解）？已知在太阳系中，飞行器的逃逸速度为42.2/kms，

地球的公转速度为29.8/kms.

[解法一]在静止坐标系中：

设发射时飞行体相对于地球速度为

V



，地球速率的改变是

1

V，这个改变量

是个小量，忽略二阶及以上小量，于是地球动能的改变量为：

2

1

2keeeeee

EMVVVMVV





.

如取发射的方向垂直于太阳引力的方向，则发射过程的前后，在发射的方向上动

量守恒。根据发射前后动量守恒，有



1eeeee

MmVMVVmVV





于是

1

e

m

VV

M





地球动能的改变可写为

1keeee

EMVVmVV





根据飞行体从射出到获得逃逸太阳系的速度这一过程的动量守恒关系，得



120eeeeeee

MVMVmVVMVVmVV





于是

2100

ee

mm

VVVVV

MM





上式中的

0

V



即是飞行体能实现逃逸太阳系这一目的，在脱离地球引力范围进入

太阳系时所需相对地球的最小速度。

由能量关系，可得







22

22

102

22

102

22

00

22

0

1111

()()

2222

11

22

11

22

11

22

e

eeeeee

e

eeeeee

e

eeee

e

GMm

mVVMVVmVVMVV

R

GMm

mVVMVVmVVMVV

R

GMm

mVVmVVmVVmVV

R

GMm

mVmV

R

















所以

2

2

0

211.242.229.816.7()e

GM

VVkms

R





[解法二]在质心坐标系中：

从发射到脱离地球引力的过程中，太阳的引力与飞行器的位移垂直，与地球

的位移垂直，不做功；质心的加速度导致的惯性力做的功为零。于是，机械能守

恒。

22

0

11

22

e

GMm

VV

R





由（4-10），上式中

()

e

e

mmM

m

M







故

2

0

11

22

e

GMm

mVmV

R





所以

2

2

0

211.242.229.816.7e

GM

VVkms

R





6.结束语

质心系一般是非惯性系，在非惯性系中处理力学问题的关键是引入惯性力。

由于质心系具有总动量为零的重要特征，导致在质心参考系中，惯性力对质点组

总动量的变化无贡献，惯性力对质点组做的总功为零，惯性力对质心的力矩矢量

和为零。在质心系中的动量定理与动量守恒律特别简单，而动能定理及机械能守

恒律、动量矩定理及动量矩守恒律与静止惯性系中的相应规律有相同的数学形

式。许多力学问题在质心系中处理起来特别简单，因此，质心系是一种重要的参

照系。