绝对值符号

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绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数

a

的点与原点的距离.数a

的绝对值记作a.（距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相

反数；

0

的绝对值是

0

.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：

5

符号是负

号，绝对值是

5

.

【求字母a的绝对值】

①

(0)

0(0)

(0)

aa

aa

aa

















②

(0)

(0)

aa

a

aa













③

(0)

(0)

aa

a

aa













利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0abc，则

0a

，

0b

，

0c

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，

即aa，且aa；

（2）若ab，则ab或ab；

（3）abab；

a

a

bb

(0)b；

（4）222||||aaa；

（5）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

ab的几何意义：在数轴上，表示数a．

b

对应数轴上两点间的距离．

2/25

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数

式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；

B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的

式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

解：由绝对值的非负性可知x－2＝0，y－3＝0；即：x=2，y=3；

所以x+y=5

判断必知点：①相反数等于它本身的是0

②倒数等于它本身的是±1

③绝对值等于它本身的是非负数

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【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1.非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.

2.绝对值的非负性；若0abc，则必有

0a

，

0b

，

0c

【例题】若3150xyz，则xyz。

总结：若干非负数之和为0，。

【巩固】若

7

32210

2

mnp，则23_______pnm＋

【巩固】先化简，再求值：abbaababba2)

2

3

(223222













．

其中a、b满足0)42(132aba.

（二）绝对值的性质

【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（）

A．11aB．-11aC．-3aD．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）

A．1，0B．正数C．非正数D．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）

A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3

【例4】若1

x

x

，则x是（）

A．正数B．负数C．非负数D．非正数

【例5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）

A．1-b＞-b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1-b＞-b

C．1+a＞1-b＞a＞-bD．1-b＞1+a＞-b＞a

【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）

A．2B．2或3C．4D．2或4

4/25

c

b

a

0-1

1

【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）

A．6B．-4C．-2a+2b+6D．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x，则有（）

A．y＞0，x＜0B．y＜0，x＞0

C．y＜0，x＜0D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）

A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

【例10】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

（3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）

A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）

【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则

|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________

【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。

【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=________

【例13】计算

11111

1....

23220072006

=．

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【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________

【例15】已知数,,abc的大小关系如图所示，

则下列各式：

①()0bac；②

0)(cba

；③

1

c

c

b

b

a

a

；④0abc；

⑤bcabcba2．其中正确的有．（请填写番号）

【巩固】已知：abc≠0，且M=

abc

abc

，当a，b，c取不同值时，M有____

种不同可能．

当a、b、c都是正数时，M=______；

当a、b、c中有一个负数时，则M=________；

当a、b、c中有2个负数时，则M=________；

当a、b、c都是负数时，M=__________．

【巩固】已知abc，，是非零整数，且

0abc

，求

abcabc

abcabc

的值

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．

【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

c

a0b

6/25

我们知道







0

00

0

xx

xx

xx

















，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

如化简代数式12xx时，可令

10x

和

20x

，分别求得

12xx，（称12，分别为1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点

值

1x

和

2x

可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下

3

中情况：

⑴当

1x

时，原式1221xxx

⑵当

12x≤

时，原式123xx

⑶当

2x≥

时，原式

1221xxx

综上讨论，原式







211

312

212

xx

x

xx

















≤

≥

（1）求出2x和4x的零点值（2）化简代数式24xx

解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；

当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1.12xx2.12mmm的值

3.523xx．4.(1)12x；

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变式5.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求

ba的值。

（四）ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，

2与6，4与3.

并回答下列各题：

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：.

(2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为.

(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为.

(4)满足341xx的x的取值范围为.

(5)若1232008xxxx的值为常数，试求x的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

例题1:1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、

1）非负数：0和正数，有最小值是0

8/25

2）非正数：0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0

4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，

-|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0

或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n

-|x+m|+n≤n，有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，

为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，

有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）

例题1：1)当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3

有最小值是-3

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3

总结：根据3）、4)、5）可以发现，

当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，

有“-”号时，代数式有最大值.

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4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，

-|x-1|+3有最大值是3（同学们要学会变通哦）

思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

3)-|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：

可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分

1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3）当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3

5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

我们发现：

当x<-1时，|x+1|+|x-2|=-2x+1>3

当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3

当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3

所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：-1≤x≤2

解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3

评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般

都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所

以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范

围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程

可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题

10/25

零点值）

1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3）当-130，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5）当-110，x-12<0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

可知：

当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40

当-13

当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25

当-11

当x=12时|x+11|+|x-12|+|x+13|=48

当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48

观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11

解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是

本题零点值）

将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12

可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小

值是25。

评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

11/25

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1,x=2,x=3,x=4

（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的

x的范围或者取值

解：根据绝对值的化简过程可以得出

当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10＞6

当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+84＜2x+8≤6

当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24＜2x-2＜6

当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6

则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以

使代数式取最小值

例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12设点D表示数x

则DA=|x+13|DC=|x+11|DB=|x-12|

当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC=AC

当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC

当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC

12/25

当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC

当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC

当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC

当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC

综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25

解：令x+11=0x-12=0|x+13=0

则x=-11x=12x=-13

将-11，12，-13从小到大排练为-13＜-11＜12

∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间

的距离即AC=12-(-13)=25

【例题6】

|x-1|的最小值

|x-1|+|x-2|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值

【解】：

当x=1时，|x-1|的最小值是0

当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1

当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0

13/25

当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1

当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2

当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1

当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2

当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1

当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2

当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1

【解法2】：捆绑法

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|

=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）

若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间

|x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间

|x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间

|x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间

|x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间

∴若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）

都可以。

总结：

若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可

以使代数式取最小值

或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以

若想求出最小值可以求关键点即可求出

【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值

（2）已知|x|≤3，求x的取值范围

（3）已知|x|＜3，求x的取值范围

（4）已知|x|≥3，求x的取值范围

（5）已知|x|＞3，求x的取值范围

【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，

（1）若|x|=3，则x=-3或x=3

14/25

（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3

（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3

（4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3

或x≥3

（5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3

【解】：（1）x=-3或x=3(2)-3≤x≤3

(3)-3＜x＜3(4)x≤-3或x≥3

(5)x＜-3或x＞3

【例题8】

（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？

（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？

【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3所以

（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3；和为0

（2）整数值有-2，-1,0,1,2；和为0

【解】：(1)∵|x|≤3

∴-3≤x≤3

∵x为整数

∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3

∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0

(2)∵|x|＜3

∴-3＜x＜3

∵x为整数

∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3

∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0

【乘方最值问题】

（1）当a取何值时，代数式（a-3)²有最小值，最小值是多少？

（2）当a取何值时，代数式(a-3)²+4有最小值，最小值是多少？

（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？

（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²有最大值，最大值是多少？

（5）当a取何值时，代数式-(a-3)²+4有最大值，最大值是多少？

（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？

15/25

（7）当a取何值时，代数式4-(a-3)²有最大值，最大值是多少？

分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)²为非负数，

即（a-3)²≥0，则-（a-3)²≤0可以进一步判断出最值

解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²有最小值是0

（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²+4有最小值是4

（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²-4有最小值是-4

（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²有最大值是4

（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²+4有最大值是4

（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²-4有最大值是4

(7)4-（a-3)²可以变形为-(a-3)²+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，

即a=3时，4-（a-3)²有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）

评：很好理解掌握a²即-a²的最值是解决本题的关键

归纳总结：

若x为未知数，a,b为常数，则

当x取何值时，代数式(x+a)²+b有最小值，最小值是多少

当x取何值时，代数式-(x+a)²+b有最大值，最大值是多少

------------------------------------------------------------------------------------

【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在

AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车

站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？

探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x，使M

到A、B、C、D距离和最小。

MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+lx-cl+|x-d|

其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知

当a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB）

当d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD）

综上所述，当d≤x≤c时，MA+MB+MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个

汽车站到加油站M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。

16/25

【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3A4，A5五个汽车站（从左

到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？

探究：加油站M应建在A3汽车站．

【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从

左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？

探究：当n为奇数时，加油站M应建在汽车站处；

当n为偶数时，加油站M应建在线段上。(即此两站之间)

【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617|的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1、2、…、

617各点的距离之和最小。

根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是

|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617|

=308+307+…+1+1+2+…+308

=95172.

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【课后练习】

1.（1）当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？

（2）当x取何值时，25x有最大值？这个最大值是多少？

（3）求54xx的最小值。

（4）求987xxx的最小值。

2．已知1,1yx，设421xyyyxM，求M的

17/25

最大值与最小值．

3、若

|1|ab

与

2(1)ab

互为相反数，求

321ab

的值。

4．若

1ba

与

2)1(ba

互为相反数，则a与b的大小关系是()．

A．a>bB．a=bC．a

5.利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到-3

的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x>时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；

⑵当x<时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；

⑶当≤x≤时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是

一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距离。

6.利用数轴分析|x+7|-|x-1|，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差

它表示两条线段相减：

⑴当x≤时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑵当x≥时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑶当

x

时，随着

x

增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子|x+7|-|x-1|当x时，有最大值；当x时，

有最小值；

7．设

0cba

，

0abc

，

则的值是（）．

A．-3B．1C．3或-1D．-3

或1

8．设

cba、、

分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且

cba

，

则

accbba

可能取得的最大值是．

c

ba

b

ac

a

cb









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绝对值（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号

的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的

方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x|=

(0)

(0)

xx

xx











，有

|x|

(0)

(0)

cxcc

c













；|x|>c

(0)

0(0)

(0)

xcxcc

xc

xRc

















或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|axb|>c(c>0)可

为axb>c或axb<－c；|axb|

出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论

“a≤|x|≤b

a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归

的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值

符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时

还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负

数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方

去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数

1

x，

2

x，……，

n

x分别使含有|x－

1

x|，|x－

2

x|，……，|x－

n

x|的代数式中相应绝对值为零，称

1

x，

2

x，……，

n

x为相应绝

对值的零点，零点

1

x，

2

x，……，

n

x将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去

绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式

来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等

19/25

式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这

种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观

化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对

值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简

单化，此解法适用于||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)

类型不等式。对||||axbcxdm(或

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对

值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值

的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号

内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

（一）、根据题设条件

例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。

（A）2-x（B）2+x（C）-2+x（D）-2-x

思路分析：由x<-1可知x-2<-3<0可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符

号待合并整理后再用同样方法化去．

解：2-｜2-｜x-2｜｜=2-｜2-(2-x)｜=2-｜x｜=2-(-x)=2+x

∴应选（B）．

归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝

对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值

等于（）（A）-a（B）2a-2b（C）2c-a（D）a

思路分析:由数轴上容易看出b

这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．

解：原式

∴应选（C）．

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归纳点评:这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人

去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数．

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问

题了．

（三）、采用零点分段讨论法

例3：化简2|x-2|-|x+4|

思路分析:本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，

可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2,x+4的正负不能确定，由于x是不断变

化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．

解：令x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分

①当x≥2时,x-2≥0，x+4>0，所以原式=2（x-2）-(x+4)=x-8；

②当-4≤x<2时，x-2<0,x+4≥0，所以原式=-2（x-2）-(x+4)=-3x；

③当x<-4时，x-2<0,x+4<0，所以原式=-2（x-2）+(x+4)=-x+8；

归纳点评：虽然x-2,x+4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正

是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．

2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内

每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．

误区点拨：千万不要想当然地把x,2y等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，

以免得出错误的结果．

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三、带绝对值符号的运算

如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。

(一)、要理解数a的绝对值的定义。

数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a

的绝对值。”应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身

是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

(二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝

对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时，

怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是

非负的作用，二是括号的作用）。

(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a=0时，︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a<0时；︱a︱=–a(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性

质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b)=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a+b<0时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3

个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要

你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。

因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，

所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

22/25

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b

的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如

果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0

直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习

（1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。

（A）2-x（B）2+x（C）-2+x（D）-2-x

（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值

等于（）

（A）-a（B）2a-2b（C）2c-a（D）a

（3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8。

（4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-x+8。

（5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-3x。

（6）已知a、b、c、d满足a<-1

那么a+b+c+d=0（提示：可借助数轴完成）

（7）若｜-a｜>-a，则有（A）。

（A）a>0（B）a<0（C）a<-1（D）-1

（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简

结果为（C）．（A）2a+3b-c（B）3b-c（C）b+c（D）c-b

（9）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b，b-2a，

|a-b|，|a|-|b|中负数的个数是（B）．（A）0（B）1（C）2（D）3

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(10)化简|x+4|+2|x-2|=

(1)-3x(x<-4)(2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2)

(11)设x是实数，y=|x-1|+|x+1|下列四个结论中正确的是（D）。

（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值

（C）只有一个x使y取得最小值（D）有无穷多个x使y取得最小值

变式1.若|m－1|=m－1，则m_______1;若|m－1|>m－1，则m_______1;

变式2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求

ba的值。

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【绝对值化简题例】

绝对值化简公式：

例题1：化简代数式|x-1|

解：可令x-1=0，得x=1（1叫零点值）

根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分

1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1

2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0

3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1

另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分

1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1

2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1

例题2：化简代数式|x+1|+|x-2|

解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分

1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3）当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3

5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

另解，将零点值归到零点值右侧部分

1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2）当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

3）当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

例题3：化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|

解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是

本题零点值）

1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，

25/25

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3）当-130，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5）当-110，x-12<0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

另解，将零点值归到零点值右侧部分

1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

3）当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

4）当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1,x=2,x=3,x=4

(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

(2)当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

(3)当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

(4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

(5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨

论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时

间