圆锥曲线第二定义

巧用圆锥曲线第二定义解题

圆锥曲线第二定义，揭示了圆锥曲线的内在联系。应用圆锥曲线第二定义求

解圆锥曲线的轨迹方程、离心率、与圆锥曲线有关的最值等非常简单，它能使问

题化繁为简，提高准确率，达到事半功倍的效果。

标签：圆锥曲线第二定义轨迹离心率最值

圆锥曲线第二定义：平面内动点M(x,y)到定点F的距离与它到定直线l

的距离的比是常数e（e>0）的点的轨迹，当01时是双曲线。e是离心率，F是

焦点。

（一）求圆锥曲线的轨迹方程

例1.求经过点M(－1,2)，以y轴为准线，离心率e=的点P(x,y)的轨迹

方程。

解：依题意，所求的点P的轨迹方程是以y轴为右准线的椭圆方程，设椭

圆的右焦点F（x0,y0）因为P点在椭圆上且过椭圆的右顶点，由第二定义知

，即，y0=y，所以椭圆右焦点为F（,y），又∵M（－1,2）在椭

圆上，由定义，有，即，化简得P的轨迹方程为：

例2.求以F(5,0)为右焦点，x=2为右准线，离心率e=2的圆锥曲线的

轨迹方程。

解：依题意，所求曲线的轨迹方程为双曲线，设M(x,y)为曲线上任一点，

由圆锥曲线第二定义，有，即，化简得

例3.已知圆锥曲线过点A(－4,－8)，它的一个焦点为F(－4,0)，对应

于这个焦点的准线方程为x=4，求这条曲线的轨迹方程。

解：设圆锥曲线上的任意点M(x,y)，由第二定义知：

即化简得所求曲线的轨迹方程为：y2=-16x

由以上几例可知，在求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率

和曲线上的点四个条件中的三个，用圆锥曲线定义来解决比较简单。

（二）求圆锥曲线的离心率

例4.过椭圆的左焦点F作直线与椭圆交于A、B两点，|AF|:|BF|=5:3，

且直线与长轴的夹角为60°，求椭圆的离心率。

解：如图，作椭圆的左准线l过A、B两点分别作左准线的垂线，垂足分别

为C、D，由圆锥曲线的定义知：

即，椭圆的离心率为e=

例5.已知一抛物线以椭圆的左焦点F（－c,0）为顶点，以椭圆的右焦点

F2（c,0）为焦点，P为抛物线与椭圆的一个交点，如果椭圆的离心率满足，

求e的值。

解：如图，设椭圆的左准线与抛物线的准线分别为l1、l2，过点P作l1、

l2的垂线，垂足分别为A、B，由圆锥曲线第二定义可知，

即=e①

又∵F2是抛物线的焦点，∴=②

将①、②代入条件得=即椭圆的左准线与抛物线的准线重合，易求得准线方

程为x=－3c，

即=故椭圆的离心率为e=

（三）求有关圆锥曲线的一类最值

例6.已知点A(－2,2)，点F是椭圆的右焦点，P是椭圆上一动点，求|PA|

+|PF|的最小值。

解：由已知条件，易求得椭圆的离心率e=，右准线方程为x=，如图，分

别过P、A点作l的垂线，垂足分别为P’、A’，显然|AA’|=+2=，由圆锥曲线

第二定义，知，得|PF|=e|PP’|=|PP’|

∴|PA|+|PF|=|PA|+×|PP’|=|PA|+|PP’|≥|AA’|=

∴|PA|+|PF|的最小值为

例7.已知双曲线的右焦点为F，点A(2,1)，P点为双曲线右支上一动点，求

|PA|+|PF|的最小值以及此时P点的坐标。

解：由已知，双曲线的离心率e=，右准线l的方程为x=1，分别过P、A两

点作l的垂线，垂足分别为P’、A’

显然|AA’|=2－1=1，由圆锥曲线第二定义知

即|PF|=e|PP’|=|PP’|

∴|PA|+|PF|=|PA|+×|PP’|=|PA|+|PP’|≥|AA’|=1

故|PA|+|PF|的最小值为1

此時，P点为AA’与双曲线右支的交点，易求得P点的坐标为P(,1）。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”