梯形中位线定理

梯形中位线的推广及应用

一、梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

二、梯形中位线性质定理的推广公式：如图在梯形ABCD

中，AB∥CD，AB=a,CD=b(a＞b).若EF∥AB,EF到CD与AB的

距离之比为m∶n，则可证明出：

manb

EF

mn







三、推广公式的证明过程：

证明：过O作OH⊥AB于H，分别交CD、EF于M、N点。

设OM=x，由已知

MNm

NHn

,设MN=my，NH=ny

∵在△OAB中：AB∥CD,AB=a,CD=b,∴

DCOM

ABOH

,

∴

bx

axmyny





①，又∵EF∥AB，∴

EFON

ABOH

，

∴

EFxmy

axmyny







②

由①得：

bmybny

x

ab







，代入②式化简得：

manb

EF

mn







由此可以看出，梯形中位线的性质定理：梯形的中位线

平行于两底且等于两底和的一半。它是m∶n=1∶1时，代入

manb

EF

mn







=

2

ab

的情况。

四、推广公式的应用：

例1、如上图所示，设△OAB、△OCD的面积分别S

1

、S

2

，EF∥AB且EF到CD

与AB的距离之比为m∶n，求△OEF的面积S

0

与S

1

、S

2

的关系式。

解析：由三的证明过程知道了梯形中位线定理的推广公式，利用此公式来寻

找三面积之间所蕴含的关系式。

由CD∥EF∥AB，易知：0

1

EFS

a

S

，0

2

EFS

b

S

，∴1

0

EFS

a

S





，2

0

EFS

b

S





代入

manb

EF

mn







中，可得12

0

mSnS

S

mn







例2、如图，在梯形ABCD中,AB∥CD，

AB=3,CD=1,则梯形的中位线长为___________，

若EF∥AB，且

1

3

DE

EA

，则EF的长为

___________.

简答：由AB∥CD，EF∥AB，易知

1

3

DE

EA

时，EF到CD与AB的距离之比为m∶

n=

1

3

，代入

manb

EF

mn







，得

13313

132

EF







，故答案为2，

3

2

。