二次函数的顶点坐标

二次函数抛物线顶点式顶点坐标

顶点式：y=a(x-h)^2+k

顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

在二次函数的图像上

顶点式：y=a(x-h)^2+k抛物线的顶点P（h,k）

顶点坐标：对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

考点扫描

1．会用描点法画出二次函数的图象．

2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．

3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．

4.将一般式化为顶点式。

讲解

1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形

状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax2

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

顶点坐标

(0，0)

(h，0)

(h，k)

()

对称轴

x=0

x=h

x=h

x=

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得

到y=a(x-h)2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到

y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到

y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到

y=a(x-h)2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)

2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提

供了方便．

2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称

轴是直线x=，顶点坐标是()．

3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随

x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次

方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有

y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式

为一般形式：

y=ax2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)

2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，

以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

顶点式作用求对称轴最值一般式作用最常用的，在写完题目是，一般要把二次函

数写为一般式的形式同时也可以用公式求根，对称轴，最值等交点式作用直接看出

函数与x轴的交点，写出方程的根但只能表示与x轴有交点的函数例子顶点式

y=（x-1）2-4对称轴为x=1最小值为y=-4一般式y=x2-2x-3交点式y=（x-3）

（x+1）与x轴交点（3，0）（-1，0）顶点式应该是这样的:y=a(x+m)2+k交点式是

:y=a（x-x1)(x-x2)顶点式:一般题目提供顶点(a,b)或者提供容易求出顶点的条件交

点式:题目提供交点x1x2,或者提供容易求出交点的条件就用交点式顶点式y=a(x-b)^2+c

交点式y=a(x-x1)(x-x2)一般式y=ax^2+bx+c一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关

系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标

(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛

物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任

何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，

h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当

h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，

即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式

ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).