如图在三角形abc中

中考数学复习考点题型专题练习

《三角形》

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点

（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连

接BF．

（1）求证：△CFG∽△EBG；

（2）求∠EFB的度数；

（3）求的值．

2．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在

△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，

BI、DC的延长线交于点E．

（1）若∠BAC＝50°，则∠BIC＝°；

（2）若∠BAC＝x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于多少度（用含x的代数式表示）时，

CE∥AB，并说明理由；

（3）若∠D＝3∠E，求∠BAC的度数．

3．（1）思考探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，

已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度数；

（2）类比探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，

已知∠P＝n°．求∠A的度数（用含n的式子表示）；

（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平

分线所在直线相交于点P，∠P＝n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的

式子表示）．

4．如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．

（1）若∠A＝80°，则∠BDC的度数为；

（2）若∠A＝α，直线MN经过点D．

①如图2，若MN∥AB，求∠NDC﹣∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；

②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC，AC于点M，N，试问在旋转过程中∠NDC﹣

∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC﹣∠MDB的度数（用含α的代数式表

示），若改变，请说明理由；

③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出

∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，10），点B（m，0），且m＞0，把△

AOB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACD，点O，B旋转后的对应点分别为点C，D．

（1）点C的坐标为；

（2）①设△BCD的面积为S，用含m的代数式表示S，并直接写出m的取值范围；

②当S＝12时，请直接写出点B的坐标．

6．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，

连接AC．

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，

当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；

（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．

7．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．

（1）求线段AO的长；

（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q

从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达

A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含

t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、

O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条

件的t值；若不存在，请说明理由．

8．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关

于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．

②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为．

（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；

（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋

转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．

9．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C

不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q

不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；

（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化

请说明理由．

10．情景观察：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于

E，CD与AE相交于点F．

①写出图1中两对全等三角形；

②线段AF与线段CE的数量关系是．

问题探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，且AD⊥CD

于D，AD与BC交于点E．求证：AE＝2CD．

拓展延伸：（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，点D在AC上，∠EDC＝

∠BAC，DE⊥CE于E，DE与BC交于点F．求证：DF＝2CE．

11．已知在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），

过点C作CE⊥BC于点C，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数．

（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否

成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若AB＝2，直接写出CP的最大值．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点

B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动

过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠

BDA的度数，若不可以，请说明理由．

13．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，AB＝DE，BE∥AC．

（1）求证：△ABC≌△DEB；

（2）连结AD、AE、CE，如图2．

①求证：CE是∠ACB的角平分线；

②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．

14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，连接BE、CE．

（1）求证：BE＝CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求

证：∠CAD＝∠CBF．

（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝45°，判断△CFE的形状，并说明理由．

15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两

边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），

当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．

（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否

仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN

＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

16．如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，

DB＝DE．

（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；

（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，

①求证：BF+EF＝BD；

②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出的值．

17．问题提出：

（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当∠ABC＝时，

线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．

问题探究：

（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作

等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理

由，并直接写出线段BE长的最大值．

问题解决：

（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此

时点P的坐标．

18．数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC，现将△ABC与△DEF按

如图所示的方式叠放在一起，现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC边

从B向C移动（不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC交于M点．求证：△ABE

∽△ECM．

（1）请解答老师提出的问题．

（2）受此问题的启发，小明将△DEF绕点E按逆时针旋转，使DE、EF分别交AB、AC边

于点N、M，连接MN，如图2，当EB＝EC时，小明猜想△NEM与△ECM相似，小明的猜想

正确吗？请你作出判断并说明理由；

（3）在（2）的条件下，以E为圆心，作⊙E，使得AB与⊙E相切，请在图3中画出⊙E，

并判断直线MN与⊙E的位置关系，说明理由．

19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的

另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，

则S

△DEF

+S

△CEF

＝S

△ABC

，求当S

△DEF

＝S

△CEF

＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S

△DEF

+S

△CEF

＝S

△ABC

，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S

△DEF

，S

△CEF

，

S

△ABC

之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，

且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S

△DEF

+S

△CEF

＝S

△ABC

是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，请直接写出S

△DEF

，S

△CEF

，S

△ABC

之间的数量关系．

参考答案

1．（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥BE，

∴∠FCG＝∠BEG＝90°，

又∵∠CGF＝∠EGB，

∴△CFG∽△EBG；

（2）解：由（1）得△CFG∽△EBG，

∴，

∴，

又∵∠CGE＝∠FGB，

∴△CGE∽△FGB，

∴∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°；

（3）解：过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H，

由（2）知，△BEF是等腰直角三角形，

∴EF＝BE，

∵∠FEH+∠DEB＝90°，∠EBD+∠DEB＝90°，

∴∠FEH＝∠EBD，

在△FEH和△EBD中，

，

∴△FEH≌△EBD（AAS），

∴FH＝ED，

∵∠FCH＝∠ACD＝45°，∠CHF＝90°，

∴∠CFH＝∠CFH＝45°，

∴CH＝FH，

在Rt△CFH中，CF＝＝FH，

∴CF＝DE，

∴．

2．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，

∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝90+∠BAC＝115°．

故答案为115．

（2）当∠ACB等于（180﹣2x）°时，CE∥AB．理由如下：

∵CE∥AB，

∴∠ACE＝∠A＝x°，

∵CE是∠ACG的平分线，

∴∠ACG＝2∠ACE＝2x°，

∴∠ABC＝∠ACG﹣∠BAC＝2x°﹣x°＝x°，

∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝（180﹣2x）°．

（3）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E＝90°

若∠D＝3∠E时，∠E＝22.5°，

设∠ABE＝∠EBG＝x，∠ACE＝∠ECG＝y，

则有，可得∠A＝2∠E＝45°．

3．解：（1）∵∠ABC＝70°，∠ACD＝100°，

∴∠A＝100°﹣70°＝30°，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠PCD＝∠ACD＝50°，∠PBC＝∠ABC＝35°，

∴∠P＝50°﹣35°＝15°；

（2）∠A＝2n°．

理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），

∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，

∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC，

∴∠A＝2∠P，

∴∠A＝2n°；

（3）（Ⅰ）如图②延长BA交CD的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）＝∠A+∠D﹣

180°，

由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，

∴∠A+∠D＝180°+2n°．

（Ⅱ）如图③，延长AB交DC的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣（∠A+∠D）．

∴∠A+∠D＝180°﹣2n°

综上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°．

4．解：（1）如图1中，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣

∠A）＝90°+∠A，

∵∠A＝80°，

∴∠BDC＝120°．

故答案为120°．

（2）①如图2中，∵MN∥AB，

∴∠A＝∠DNC，∠ABD＝∠BDM，

∴∠NDC﹣∠BDM＝180°﹣∠A﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（180°﹣α）＝90°

﹣α．

②结论不变．

理由：如图3中，∵∠NDC﹣∠BDM＝∠DMC+∠DCM﹣∠BDM＝∠DBM+∠BDM+∠DCM﹣∠BDM

＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，

∴结论成立．

③结论：如图4中，∠NDC+∠MDB＝90°﹣α．

理由：∵∠NDC+∠BDM＝180°﹣∠BDC，∠BDC＝90°+α，

∴∠NDC+∠BDM＝90°﹣α．

5．解：（1）∵点A（0，10），

∴AO＝10，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴AC＝AO＝10，∠OAC＝90°，

∴C（10，10），

故答案为：（10，10）；

（2）①延长DC交x轴于点E，

∵点B（m，0），

∴OB＝m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∴四边形OACE是正方形，

∴DE⊥x轴，OE＝AC＝10，

如图1，当点E在线段OB上时，

BE＝OB﹣OE＝m﹣10，

∴S＝DC•BE＝m（m﹣10），

即S＝m2﹣5m（m＞10），

如图2，当点E在线段OB的延长线上（点B不与O，E重合）时，

则BE＝OE﹣OB＝10﹣m，

∴S＝DC•BE＝m（10﹣m），

即S＝﹣m2+5m（0＜m＜10），

当点B与E重合时，即m＝10，△BCD不存在，

综上所述，S＝m2﹣5m（m＞10）或S＝﹣m2+5m（0＜m＜10）；

②当S＝12，m＞10时，m2﹣5m＝12，

解得：m

1

＝﹣2（舍去），m

2

＝12，

当S＝12，0＜m＜10时，﹣m2+5m＝12，

解得：m

3

＝4，m

4

＝6，

∴点B的坐标为（12，0）或（4，0）或（6，0）．

6．解：（1）作CH⊥y轴于H，

则∠BCH+∠CBH＝90°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBH＝90°，

∴∠ABO＝∠BCH，

在△ABO和△BCH中，

，

∴△ABO≌△BCH，

∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，

∴OH＝OB+BH＝4，

∴C点坐标为（1，﹣4）；

（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，

∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，

在△PBA和△QBC中，

，

∴△PBA≌△QBC，

∴PA＝CQ；

（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BQP＝45°，

当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，

由（2）可知，△PBA≌△QBC，

∴∠BPA＝∠BQC＝135°，

∴∠OPB＝45°，

∴OP＝OB＝1，

∴P点坐标为（1，0）．

7．解：（1）如图1中，

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∵BE是高，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，

∴∠EAO＝∠EBC，

在△AOE和△BCE中，

，

∴△AOE≌△BCE，

∴AO＝BC＝5．

（2）∵BD＝CD，BC＝5，

∴BD＝2，CD＝3，

由题意OP＝t，BQ＝4t，

①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，

∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．

②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，

∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．

（3）存在．

①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴5﹣4t═t，

解得t＝1，

②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴4t﹣5＝t，

解得t＝．

综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等．

8．证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴AD＝AC，且AB＝AC，

∴AD＝AB＝AC，

∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上

②∵AD＝AB＝AC

∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，

∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，

∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，

∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α

∴∠BDC＝

故答案为：α

（2）如图2，连接CE，

∵∠BAC＝60°，AB＝AC

∴△ABC是等边三角形

∴BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵∠BDC＝

∴∠BDC＝30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE＝60°，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴DE＝CE，且∠CDE＝60°

∴△CDE是等边三角形，

∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD＝AE，

（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

∵在△BOF中，BO+OF≥BF，

∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，

如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC，

∴∠COH＝∠HCO＝45°，

∴OH＝HC，

∴OC＝HC，

∵点O是AC中点，

∴AC＝2HC，

∴BC＝4HC，

∴BH＝BC﹣HC＝3HC

∴tan∠FBC＝＝

9．（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，

∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，

∴∠QPC＝90°，

∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），

解得x＝2，

即AP＝2．

（2）证明：如图，

过P点作PF∥BC，交AB于F，

∵PF∥BC，

∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，

∴PF＝AP＝AF，

∴PF＝BQ，

又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，

∴△DQB≌△DPF，

∴DQ＝DP即D为PQ中点，

（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，

理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，

∴，

又∵△DQB≌△DPF，

∴，

∴．

10．解：情景观察：（1）①∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴BE＝EC＝BC，且AB＝AC，AE＝AE

∴△ABE≌△ACE（SSS）

∵CD⊥AB，∠BAC＝45°

∴∠BAC＝∠ACD＝45°

∴AD＝CD，

∵AE⊥BC，CD⊥AB，

∴∠B+∠BAE＝90°，∠B+∠BCD＝90°，

∴∠BAE＝∠BCD，且∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD，

∴△ADF≌△CDB（ASA）

故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

∵△ADF≌△CDB

∴BC＝AF

∴AF＝2CE

故答案为：AF＝2CE；

问题探究：

（2）如图，延长AB、CD交于点G，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠GAD，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝∠ADG＝90°，

在△ADC和△ADG中，

，

∴△ADC≌△ADG（ASA），

∴CD＝GD，即CG＝2CD，

∵∠BAC＝45°，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°

∴∠ABC＝90°＝∠CBG＝90°，

∴∠G+∠BCG＝90°，

∵∠G+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

，

∴△ADC≌△CBG（ASA），

∴AE＝CG＝2CD

拓展延伸：（3）如图，作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，

∵∠BAC＝45°，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴AB⊥BC，且DG⊥BC，

∴DG∥AB，

∴∠GDC＝∠BAC＝45°，

∵∠EDC＝∠BAC，

∴∠EDC＝∠BAC＝22.5°＝∠EDG，

∴DH＝CH，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC＝∠DEG＝90°，

在△DEC和△DEG中，

，

∴△DEC≌△DEG（ASA），

∴DC＝DG，GE＝CE，

∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE，

∴∠FDH＝∠GCH，

在△DHF和△CHG中，

，

∴△DHF≌△CHG（ASA），

∴DF＝CG＝2CE．

11．解：（1）如图1，连接AE，

∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°．

∵CE⊥BC，

∴∠BCE＝90°．

∴∠3＝45°．

∴∠B＝∠3．

又∵AB＝AC，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠DAE＝∠BAC＝90°．

∴△DAE是等腰直角三角形．

∴∠ADE＝45°．

（2）补全图形，如图2所示，

结论成立．

证明：

如图，连接AE，

∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠1＝45°．

∵CE⊥BC，

∴∠BCE＝90°．

∴∠2＝45°．

∴∠B＝∠2．

又∵AB＝AC，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠DAE＝∠BAC＝90°．

∴△DAE是等腰直角三角形．

∴∠ADE＝∠3＝45°．

（3）由（1）知，△ADE是等腰直角三角形，

∵AB＝2，

∴AC＝2，

当AP最小时，CP最大，

即：DE⊥AC时，AP最小，

∵∠ADE＝45°，∠ACB＝45°，

∴AD⊥BC，AD＝BC＝×AB＝，

在Rt△ADP中，AP＝AD＝1，

∴CP＝AC﹣AP＝1．

即：CP的最大值为1．

12．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，

∴∠EDC＝30°，

∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°

∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，

故答案为：30，110，

∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，

∴∠BDA＝140°﹣∠BAD

∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大

∴∠BDA逐渐变小，

故答案为：小

（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，

理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，

∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，

∴△ABD≌△DCE（ASA）

（3）若AD＝DE时，

∵AD＝DE，∠ADE＝40°

∴∠DEA＝∠DAE＝70°

∵∠DEA＝∠C+∠EDC

∴∠EDC＝30°

∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°

若AE＝DE时，

∵AE＝DE，∠ADE＝40°

∴∠ADE＝∠DAE＝40°，

∴∠AED＝100°

∵∠DEA＝∠C+∠EDC

∴∠EDC＝60°

∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°

综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形

13．解：（1）∵∠ACB＝90°，BE∥AC，

∴∠CBE＝90°，

∴△ABC和△DEB都是直角三角形，

∵AC＝BC，点D为BC的中点，

∴AC＝BD，

又∵AB＝DE，

∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）；

（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB，

∴BC＝EB，

又∵∠CBE＝90°，

∴∠BCE＝45°，

∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠BCE＝∠ACE，

∴CE是∠ACB的角平分线．

②△ABE是等腰三角形，理由如下：

在△ACE和△DCE中

∵，

∴△ACE≌△DCE（SAS），

∴AE＝DE，

又∵AB＝DE，

∴AE＝AB，

∴△ABE是等腰三角形．

14．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴∠BAE＝∠CAE，

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE＝CE；

（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD+∠C＝90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C＝90°，

∴∠CAD＝∠CBF；

（3）△CEF是等腰直角三角形，

理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形，

∴AF＝BF，

在△AEF和△BCF中，

∴△AEF≌△BCF（ASA），

∴EF＝CF，

∵∠CFE＝90°，

∴△CFE为等腰直角三角形．

15．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：

如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，

∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；

（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：

如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴∠NCD＝120°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，

∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，

∴BM﹣CN＝BD．

16．解：（1）如图1，延长CB至H，使EH＝BC，连接DH，

∵DB＝DE，

∴∠DBE＝∠DEB，

∴∠DEH＝∠DBC，且DE＝DB，EH＝BC，

∴△DEH≌△DBC（SAS）

∴DH＝AC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°，AC＝BC，

∴△DHC是等边三角形，

∴DC＝CH，

∵CA：AD＝3：7，

∴设AD＝7a，AC＝3a＝BC＝EH，

∴CD＝CH＝10a，

∴BE＝CH﹣EH﹣BC＝4a＝4，

∴a＝1，

∴EC＝EB+BC＝7a＝7；

（2）①如图2，延长CB至H，使EH＝BC，连接DH，延长BF至G，使BG＝BD，

由（1）可得△DEH≌△DBC，△DHC是等边三角形，

∴∠HDE＝∠BDC，∠HDC＝60°，

∴∠HDB＝∠EDF，

∵BG＝BD，∠DBF＝60°，

∴△DBG是等边三角形，

∴DB＝BG＝DG，∠BDG＝∠HDC＝60°，

∴∠HDB＝∠FDG，

∴∠EDF＝∠FDG，且DE＝BD＝DG，DF＝DF，

∴△DEF≌△DGF（SAS）

∴EF＝FG，∠DEF＝∠DGB＝60°，

∴BF+EF＝BF+FG＝BG＝BD；

②如图3，过点F作FM⊥BC于M，作∠EFN＝∠FEC，交BC于N，

∵∠BDE＝30°，DE＝BD，

∴∠DEB＝∠DBE＝75°，

∵∠DEF＝∠DGB＝60°，

∴∠FEC＝15°，

∴∠EFN＝∠FEC＝15°，

∴EN＝FN，∠FNC＝30°，且FM⊥BC，

∴FN＝2FM，NM＝FM，

∴EN＝2FM，

∴EM＝（2+）FM，

∴EF＝＝（）FM，

∵∠DBC＝∠BDE+∠DEB＝105°，∠DBF＝60°，

∴∠FBC＝45°，且FM⊥BC，

∴BF＝FM，

∴＝＝1+．

17．解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，

∴∠ABC＝180°，

故答案为：180°，a+b；

（2）①CD＝BE，

理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD与△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴CD＝BE；

②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，

∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝3+6＝9；

（3）①如图1，连接BM，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值为2+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P（2﹣，）．

18．（1）证明：如图1中，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠B＝∠DEF，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ECM，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠DEF+∠CEM，

∴∠CEM＝∠BAE，

∴△ABE∽△ECM．

（2）结论正确．

理由：如图2中，

∵∠NEC＝∠B+∠ENB＝∠NEF+∠CEM，∠NEF＝∠B，

∴∠ENB＝∠CEM，∵∠B＝∠ECM，

∴△BNE∽△CEM，

∴＝，∵BE＝EC，

∴＝，

∴＝，∵∠NEM＝∠C，

∴△NEM∽△ECM．

（3）结论：直线MN与⊙E相切．

理由：如图3中，设⊙E与AB相切于点G，作EH⊥NM于H．

由（2）可知△BNE∽△CEM，△NEM∽△ECM．

∴∠BNE＝∠CEN＝∠ENM，

∵AB是⊙E的切线，

∴EG⊥NB，∵EH⊥NM，

∴EG＝EH，

∴NM是⊙E的切线．

19．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形DECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D为AB边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，AC＝2CE，

同理：DF＝AC，

∵AC＝BC，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形，

∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S

△DEF

＝S

△CEF

＝2＝DE•DF＝DF2，

∴DF＝2，

∴CE＝2，

∴AC＝2CE＝4；

（2）S

△DEF

+S

△CEF

＝S

△ABC

成立，理由如下：

连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S

△ABC

＝2S

△BCD

，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF．S

△CDE

＝S

△BDF

．

∴S

△DEF

+S

△CEF

＝S

△CDE

+S

△CDF

＝S

△BCD

＝S

△ABC

；

（3）不成立；S

△DEF

﹣S

△CEF

＝S

△ABC

；理由如下：

连接CD，如图3所示：

同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，

∴S

△DEF

＝S

五边形DBFEC

，

＝S

△CFE

+S

△DBC

，

＝S

△CFE

+S

△ABC

，

∴S

△DEF

﹣S

△CFE

＝S

△ABC

．

∴S

△DEF

、S

△CEF

、S

△ABC

的关系是：S

△DEF

﹣S

△CEF

＝S

△ABC

．