保守内力

有关机械能守恒定律的一些看法

古春红

摘要：机械能守恒定律是自然界中普遍存在的规律，也是中学物理知识考查中的重点。

在对能量守恒定律的理解和应用中，存在一些容易混淆的问题。本文就这些疑问，从机械能

守恒定律的成立条件、适用范围加以分析，希望能澄清这些问题。

关键字：机械能守恒保守系保守力非保守力能量的相对性

一．问题的提出

能量守恒定律是自然界中普遍存在的规律，从宏观低速物体到微观高速的微粒，都符合

能量守恒定律。能量的形式多种多样，有动能、势能、核能、热能等等，因此能量守恒定律

可以具体到某种形式的能量的守恒律，比如在机械运动中的机械能守恒定律。机械能与我们

的生活最接近，最容易感受到，同时它也是中学物理教学中的一个重点，是中学物理知识考

查的重头戏。由于中学生对机械能守恒律理解得不深入，常常不顾机械能守恒定律的成立条

件而妄加应用，又或把机械能守恒的条件和动量守恒的条件混为一谈。学生中还会提出这样

的问题：既然一个物体的速度大小与选择的参考系有关，那么物体的动能大小也跟参考系的

选择有关、机械能守恒定律成立的条件也跟参考系有关吗？一个物体在外力作用下在粗糙的

水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗？对此，我们有必要对机械能守恒定律的成立条

件、适用范围以及一些有争议的问题做一做辨析。

二．有关机械能守恒定律

赵凯华、罗蔚茵主编的《新概念物理教程——力学》中提到机械能守恒定律的内容为：

一个保守系总机械能的增加等于（未计入外场部分的）外力对它所作的功；如果从某个参考

系看来，这部分外力做功为零，则该系统的机械能不变。

这里需要理解的关键字有：保守系、外力做功、从某个参考系看来。搞清楚了这几个关

键字，那么前面提出的问题自然就解决了。

下面下先从理论上推导关于保守系的机械能守恒的条件。

对于单个质点，其动能的增量和力对它做功的关系式可以表示为：

dE

k

＝d（mv2/2）＝f•dr＝dA，

式中dA代表力f对它做的元功，dE

k

代表其动能的增加。把此式运用到一个物体系，

该物体系由若干个相互作用着的物体（质点）组成，并用脚标i标记第i个质点，对i求和：



i

i

iii

ii

2

iikik

dAdAdr)vm

2

1

(ddEdEf

式中，

ii

2

iikik

vm

2

1

EE为系统的总动能，dA是对系统内所有质点所做的元

功。下面讨论dA。

系统内的质点i所受的力fi可以分解为内力和外力：

fi=fi外＋fi内

而





ij

ij

i

ff

内

从而元功可以分解为内力的功和外力的功：

dA=dA外＋dA内

对于内力的功，把它写成对系统内质点i、j对称的形式，再利用牛顿第三定律：

r

ij

r

i

r

j

o

图1











ij

)ji(

j,ijiji

ijijjiijjjiiijiij

i

drf

2

1

)rr(df

2

1

)drfdrf(

2

1

drfdA

内

式中r

ij

≡r

i

－r

j

为质点i相对质点j的位矢（见图1）

我们进一步把内力f

ij

分解为保守部分f

ij

c和非保守部分f

ij

D.

保守力和非保守力的概念。沿任意闭合回路作功（或者说，抵抗它作功）为零的力，叫

做保守力，其所做的功仅跟质点的始末位置有关，且与某种势能的增减相对应；否则，就是

非保守力，非保守力做功没有与势能相对应。重力和弹力都是保守力，摩擦力为非保守力。

保守内力的功等于相互作用势能U（r

ij

）的减少：







jiji

p

ijij

c

ij

cdE)r(dU

2

1

drf

2

1

dA

内内

式中





ji

ij

P

)r(U

2

1

E

内

为系统内质点间的相互作用势能总和，即系统的总内势能。

对于外力做功：在很多场合下，人们一般不再把外力做功dA外作进一步的分解。不过

在有保守外场的情况下，还是经常把它分解成CdA

外

和DdA

外

两部分。所谓“外场”，是指产

生这种力场的外部物体非常庞大，内部质点的反作用力对它运动状态的影响可以忽略（比如

对于地面上的物体，地球的引力场可以看作矢外场）。如果外场是保守的，则它对系统的内

部质点i所做的功可以写成势能减少的形式：f

i

C•dr

i

＝－dU外（r

i

），



ii

p

ii

C

i

CdE)r(dUdrfdA

外外外

式中

i

i

P

)r(UE

外外

为系统内各质点的外势能总和，即总外势能。

至于DdA

外

就是dA外中除了CdA

外

外的其余部分，它不可用势能的减少来表达，或者由

于某种考虑本可以用而不用势能的减少来表达。

综上所述，

DD

p

DD

p

p

DDCCdAdAdEdAdAdEdEdAdAdAdAdA

外

内

外

内

外

内

外

内

外

内



式中E

p

＝E

p内＋E

p外为系统的总势能，又因为dE

k

＝dA，上式可以变为：

d（E

k

＋E

p

）＝DDdAdA

外

内



对于保守系（即使所有非保守内力都不做功的系统）有：0dAD

内

于是对于保守系有：d（E

k

＋E

p

）＝DdA

外

如果在某个参考系内有0dAD

外

，则

d（E

k

＋E

p

）=0，或

E

k

＋E

p

=常量E

m

1

m

2

图2

这便是机械能守恒定律。我们也得到了机械能守恒的条件：对于保守系的每一个元过程，

外力做的总功为零，保守内力做功为零，则每一个瞬间，机械能为一个恒量。对此，还需要

作以下的补充说明：

1．对于保守系，即是所有非保守内力都不做功的系统。注意这里的“所有的非保守内

力都不做功”不包括非保守内力做的总功为零的情况。比如，一个球在静摩擦力的作用下从

斜面上滚下来，摩擦力不做功，则球和斜面是保守系；若一部机器在发动机的推动下克服阻

力匀速转动，虽然非保守力做功的总和为零，但是该系统不能看作是保守系。因为该系统的

非保守力一个做了正功，一个做了负功。

2．非保守力包括摩擦力、阻力等，其做功会使得机械能转化为热能；还包括爆炸力等，

其做功会使得其他形式的能量向机械能转化。换句话说，机械能守恒就是能量在动能和势能

间转化，而没有与其他形式的能量转化。

3．机械能守恒的条件要求保守系的外力做功为零，不是要求每一个外力做功为零，而

只要每个外力做功的代数和为零即可。

4．机械能守恒的条件要求外力做功和非保守内力做功分别为零，而不是两者的代数和

为零。否则，这时候该系统已经不是保守系了，因为非保守内力做功不为零，讨论机械能是

否守恒已经没有意义了。

5．机械能是否守恒跟参考系的选择有关。内力做功只是与系统内质点间的相对位移有

关，从而与参考系的选择无关。然而对于外力，选择不同的参考系做伽利略变换时，

dr

i

`＝dr

i

－vdt，f

i

`＝f

i

，于是



ii

i

i

i

ii

vdtfdA)vdtdrf`dr`f`dA

外外外外外

（

上式表明，dA外是否为零与参考系的选择有关。

6．机械能是否守恒，跟选择的保守系中的物体的范围有关。如图2所示，一条不可伸

长的的轻绳将m

1

和m

2

绕过定滑轮系于两边，不计绳子和滑轮间的摩擦力，m

1

>m

2

。如果但

对于m

1

和地球这个系统，机械能不守恒，因为有绳子对m

1

的力做了负

功。但若选择m

1

、m

2

和地球这个系统，因为绳子对m

1

、m

2

的力所做

的功等大，符号相反，即外力做的总功为零，则机械能守恒。

三．机械能守恒定律在中学教学中的解读

在中学阶段，机械能守恒定律是非常重要的一个知识点，学生对一

些稍微复杂些的系统要判断其机械能是否守恒便出现困难。

1．中学教材对机械能守恒定律的表述

在中学教材中，编者总是把原理、规律用最简洁最通俗的语言表述出来。高中教材1对

机械能守恒定律的表述为：在只有重力做功的情形下，物体动能和重力势能发生相互转化，

但机械能的总量保持不变。教材后面还补充了动能和弹性势能转化的情况。这种表述，暗含

了将物体和地球作为一个系统，而且选择的参考系就是地球。“动能和势能发生相互转化”，

即是说，没有机械能和其他形式的能量的转化。

2．易错问题的释疑

本文开头提到的几个问题，现在可以很容易地作出解析了。

（1）一个物体在推力作用下在粗糙的水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗?这个问

题可以从两个角度分析：首先，对于该物体和地球构成的系统本身就不是保守系，因为有非

保守内力（摩擦力）做了功，故机械能不守恒；或者认为，这个系统有机械能的的输出和输

入：由于摩擦力做了负功，有一部分机械能转化为内能；同时又由于其他的非保守力（此处

是推力）做功使得系统的机械能增加，虽然机械能的输入和输出平衡，但不能认为机械能守

恒，只能叫做机械能的总量不变。

实际上，对于一个系统，讨论非保守内力做功是否为零时，只需要讨论耗散力（滑动摩擦

力、空气阻力等）以及发动机等产生的非耗散力、爆炸等产生的爆炸力。对于其它的内力如

静摩擦力、一切略去宏观形变的弹力等不必考虑，因为这些内力分别做的功的代数和为零，

并且不会导致机械能和其它形式的能量转化，只会使得机械能在系统内部转移。比如图2

中提到的例子，若是把m

1

、m

2

、地球以及轻绳作为一个系统，系统内非保守力（绳子分别

对m

1

、m

2

的拉力）各自做功不为零，但是我们不必讨论它，因为它不是耗散力，且它们所

做的总功为零，系统没有机械能的输出或输入，系统的机械能是守恒的。只是m

1

的机械能

减少，m

2

的机械能增加，总的机械能守恒。

（2）关于能量的相对性。一个物体的速度与选择的参考系有关，与之对应的动能也便与

选择的参考系有关。这也容易理解，我们把物体能够对外做功，叫做这个物体具有能量；物

体由于运动具有的能量叫做动能；物体由于被举高而具有的能量叫做势能。如果你在一飞行

的飞机上，刚好窗外有一与你的飞机同速度的子弹，你丝毫不会觉得该子弹对你有威胁，因

为在你看来，它的动能为零，不具备做功的能力；但是，如果你是静止在地面上的，子弹以

同样的速度射来，这时你的生命肯定受到威胁，因为此时你看来，子弹的动能是很大的。那

么这样说来，我们总可以找到一个参考系，使得物体的机械能为零；或者找到一个参考系，

使得物体的机械能很大，这样能量不就增加了？其实，我们关心的，并不是该物体具有的能

量的具体数值是多大，而是该物体的能量改变了多少，或者说能够提供给我们使用的能量是

多少。对于各种形式的能量，我们更关心的是它的改变量，包括内能、核能等。但是，不同

的参考系，能量的改变量应该是一样的。

关于机械能守恒定律的相对性。前面已经提到，机械能是否守恒，跟选择的参考系有关。

这在中学阶段是不做要求的。

1物理第一册人民教育出版社2002年版第148页

参考文献：新概念物理教程——力学赵凯华、罗蔚茵编1996年版

物理学概念教学研究李忠、齐淑静编

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