椭球方程

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

89

第七章椭球面上的基本计算

§1地球椭球的基本知识

一、地球形状的概念

地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；

大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然

表面；

∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）

与该点处切面正交；

又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：

300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。

∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。

实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到

大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水

准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。

结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。

大地体——大地水准面包围的形体；

地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的

曲面；

总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。应满足：

①其中心应与地球质心重合；

②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；

③体积应与大地体体积相等；

④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。

参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。

二、椭球的几何元素与参数

1.椭球的元素

长半径：a

短半径：b

2.椭球的参数

扁率：＝(a－b)/a

第一偏心率：

abae/22

第二偏心率：

bbae/22



式中：22ba

——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离

离心力

地心引力

重力G

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

90

3.关系式

21eba



21eab

)1(2eee



)1(2eee







(1＋e′2)(1－e2)＝1

e2＝2－2≈2(≈1/300)

我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国

家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS）采用的是WGS-84椭球参数。这三个椭球的元素

和参数参见P2表7-1。

练习及作业：

1.阅读

①《控制测量学》上册，§1.21.2.1、1.2.2

②《控制测量学》下册，§7.1

2.思考

①如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？

②如何旋转椭圆得到参考椭球？

§2椭球上点的位置的确定

一、椭球上点的高程位置的确定

大地高H大——地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。

大地高可以由以下两种方法求得：

H大＝H正＋N

式中：H正——B点的正高高程

N——大地水准面差距（见大地重力学中

斯托克司公式）

H大＝H常＋ζ

式中：H常——B点的正常高高程

ζ——高程差异或高程异常（见重力测量学）

因正常高能精确求得，ζ亦能严密解算，故，此方法是严密的。

（注：①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不超过±4m，在平均海水面上两面重合，

即H0

正＝H0

常；②B点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）

二、椭球面上点的平面位置的确定

1.椭球面上的线和圈

子午圈——包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。

B

H正H常

似大地水准面

大地水准面

Nζ

椭球面

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

91

平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。

最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短轴的平面与椭球面的交线，称为

赤道。

法截面、法截线——包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭

球面的交线称为法截线。

卯酉圈——与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。

2.椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统

①大地坐标系统（B、L）

大地经度L——过P点的子午面与起始子午面构成的两面角；

由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0～180°），顺转向西为

负（西经0～180°）；

大地纬度B——过P点的法线与赤道平面的夹角；由赤道平面

起算，向北为正（北纬0～90°），向南为负（南纬0～90°）。

②子午面直角坐标系统（L，x，y）

L——大地经度；

x，y——子午面内的平面直角坐标系统；子午面与赤道平面的

交线为x轴，椭球短轴为y轴。

③空间直角坐标系统（X，Y，Z）

o——参考椭球的中心

X——起始子午面与赤道面的交线

Y——在赤道面内，垂直X（右手系）

Z——与椭球短半径重合

3.坐标系统间的关系

①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系

点在两坐标中大地经度L相同，推导大地纬度B与直角坐

标x，y的关系如下：

因曲线在P点处的一阶导数

x

y

d

d

就是P点处曲线切线的斜

率，即：

BB

x

y

cot)90tan(

d

d



又，对子午椭圆方程式

1

2

2

2

2



b

y

a

x

微分，有：

0

d

d2

2

22



x

y

b

y

a

x

即：

y

x

a

b

x

y



2

2

d

d

因21eab

，故：

N

T

平

行

圈

法法

线截

线

赤

道

子

午

线

S

N

L

P

G

起

W始oE

子B

午赤道平面

线

S

y

LxP

G

y

o

x

Z

M

H大

G

P

Z

m

o

Y

X

m

Y

m

x

X

y

P

x

y

B+90°

BB

ox

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

92

y

x

e

x

y

)1(

d

d

2

即：

y

x

eB)1(cot2

也即：y＝xtanB(1－e2)(1)

将（1）式代入椭圆方程，得：

1

)1(tan

2

2222

2

2







b

eBx

a

x

(2)

由（1），（2）两式可得：

B

W

a

Be

Ba

xcos

sin1

cos

22







﹡

Be

W

a

Be

Bea

ysin)1(

sin1

sin)1(

2

22

2









②大地坐标系与空间直角坐标系的关系

空间M点的大地坐标为L，B，H；其空间直角坐标为X，Y，Z。

首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下：

X

m

＝x

m

cosL

Y

m

＝x

m

sinL（1）

Z

m

＝y

m

又，从右图可知：

x

m

＝x

p

＋HcosB＝(a/W)cosB＋HcosB

（2）

y

m

＝y

p

＋HsinB＝(a/W)(1－e2)sinB＋HsinB

将（2）代入（1）得：

X

m

＝x

m

cosL＝(N＋H)cosBcosL

Y

m

＝x

m

sinL＝(N＋H)cosBsinL

(3)

Z

m

＝y

m

＝(N－Ne2＋H)sinB

式中：N＝a/W

Ne2＝ae2/W

练习及作业：

1.阅读

§7.2浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式

2.作图并复习定义

①大地坐标系

②子午面直角坐标系

③空间直角坐标系

Z(y)

M

G

P

oY

L

Xx

oY

x

m

L

M

x

X

Z(y)

M

H

P

x

p

Z

m

＝y

m

y

p

B

x

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

93

3.思考

①大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？

②大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？

§3几种主要的曲率半径

一、子午曲率半径M

已知，平面曲率半径公式

2

2

232

232

d

d

])

d

d

(1[

)1(

x

y

x

y

y

y













因：

BB

x

y

cot)90tan(

d

d



)1(sin

)sin1(

d

d

sin

1

d

d

23

2322

22

2

eBa

Be

x

B

Bx

y







（参见上节﹡式）

代入平面曲率半径公式，得子午曲率半径公式

2322

2

)sin1(

)1(

Be

ea

M







由上式知：M

B＝0°

＝a－ae2（赤道处子午曲率半径小于a）

b

a

M

B

2

90





﹡（两极处子午曲率半径大于a）﹡

a

b

e21

二、卯酉曲率半径N

1.麦尼尔第二定律（参见微分几何——北京测绘学院）

通过P点引两个截弧：法截弧与斜截弧。法截弧的曲率半径为N，斜截弧的曲率半径为r，若法截弧与斜

截弧在P点有公共切线，则r＝NcosB（B为两曲率半径的夹角）。

2.卯酉曲率半径

取法截弧为卯酉圈，斜截弧为平行圈，根据麦尼尔第二定律，有：

B

x

B

r

N

coscos



式中x——P点在子午面直角坐标系统中的x坐标

B——P点的大地纬度

将关系式

Be

Ba

x

22sin1

cos





代入上式得

Be

a

N

22sin1



由上式知：NB＝0°＝a（赤道处卯酉曲率半径等于a）

y

r

P

子

平行圈

B卯午

酉线

N线

B

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

94

b

a

N

B

2

90





﹡（两极处卯酉曲率半径大于a）﹡

a

b

e21

3.子午、卯酉两曲率半径的关系

1cos1

1

cos

122

2

22









Be

e

Be

M

N

当B＝90°时，

1

M

N

，即极点处

b

a

NM

2



。

b

a2

称为极半径。

三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半径R

A

1.大地方位角定义

PQ方向的大地方位角A

PQ

为：过P点法线和Q点的平面，与P点子午

面之间的夹角（由正北顺时针计）。

2.大地方位角为A的法截弧曲率半径

欧拉公式：

N

A

M

A

R

A

22sincos1



故：

AMAN

MN

R

A

22sincos



由上式知：R

A＝0°＝M；R

A＝90°＝N

A：0～90°～180°时，R

A

：M～N～M——曲率半径具有对称性，即对称位置的法截弧在P点有相同的曲

率半径。

四、平均曲率半径R

1.平均曲率半径定义

设过P点可以做2π/⊿A个法截线，各法截线的大地方位角为：0，

⊿A，2⊿A，„，2π－⊿A；过P点的各法截线曲率半径平均值为：

A

R

R

A

A





2

2

0

1





则平均曲率半径

A

R

RR

A

A

A

A





2

limlim

2

0

0

0

1









2.平均曲率半径计算公式







2

0

222

d

sincos

4





A

AMAN

MN

R

（顾及曲率半径的对称性）

将上式改化成



tt

t

arctand

1

1

2

的形式，分子、分母除以

MN

，有：







2

0

22

d

sincos

2





A

A

N

M

A

M

N

MN

R

AQ

P

⊿A

2⊿A

3⊿A

0

2π-⊿A

⊿A

⊿A

⊿A

⊿A

P

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

95

分母提取公因式

















2

0

2

2

2

0

22

d

cos

1

)tan(1

2

d

))tan(1(cos

2









A

A

N

M

A

N

M

MN

A

A

N

M

A

M

N

MN

R

设

A

N

M

ttan

，

A

A

N

M

td

cos

1

d

2



，积分上下限也变，则

MNMNtMN

t

t

MNR







)0

2

(

2

)(arctan

2

1

d2

0

0

2





所以，平均曲率半径

MNR

练习及作业：

1.阅读

§7.3浏览7.3.3主曲率半径的计算；7.3.6及表7-4、7-5

2.思考

①子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B由0～90°时的变化；

②子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系；

③什么是大地方位角？

§4弧长的计算

一、子午线长度

由图知：dS＝MdB

即：dS＝a(1－e2)(1－e2sin2B)-3/2dB

故：













2

1

2

1

2

1

2

1

d)sin1()1(

d)sin1()1(d

23222

23222

B

B

B

B

B

B

B

B

BBeea

BBeeaSS

求积分过程：

1）将积分项用二项式定理（形如下式）展开：

(1－x)n＝1－nx＋(1/2!)n(n－1)x2－(1/3!)n(n－1)(n－2)x3＋…

2）应用三角函数积分递推公式逐项积分（先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式）：

sin2B＝1/2－(cos2B)/2

„„

3）整理合并同类项，得子午线上弧长P16，7-97式。该式B

1

＝0（即从赤道起算的子午弧长公式）。

（注：当弧长S≤40km，可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度B

m

＝(B

1

＋B

2

)/2处的子午曲率半径

子

午

线

P

2

dS

B

2

dB

P

1

B

1

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

96

M

m

，则子午弧长公式为：S＝M

m

(B

2

－B

1

)″/ρ″。该式精度当S≤40km时，可达1mm。）

二、平行圈长度

由图知：S′＝lּr

r＝NcosB（麦尼尔第二定律）









l

BNScos

式中：N——卯酉曲率半径

B——平行圈所处的大地纬度

l——弧长S所对应的经度差

由上式知，相同经差l的平行圈长度S′，因所处纬度B不同而不同。

练习及作业：

阅读浏览§7.4.4观察表7-6数值

§5相对法截弧与大地线

一、相对法截弧

图中：

N

1

，N

2

——A，B点的曲面法线

K

a

，K

b

——A，B点曲面法线与旋转轴交点

OK

a

＝A

1

K

a

－A

1

O

＝A

1

K

a

－y

A

＝N

1

sinB

1

－a(1－e2)sinB

1

(1－e2sin2B

1

)-1/2

＝ae2sinB

1

(1－e2sin2B

1

)-1/2

OK

b

＝ae2sinB

2

(1－e2sin2B

2

)-1/2

由上可知，椭球面上点的法线与旋转轴的交点：

1）交点位置仅与点的纬度B有关；

2）若两点B

2

＞B

1

，则有OK

b

＞OK

a

；

3）B相等（平行圈上）的所有点，其法线交短轴于一点；

4）L相同，B不等的所有点的法线，与旋转轴相交不在一点，但在一个平面内；

5）B＝0（赤道上）所有点的法线交于椭球O点；

6）L不同，B不同的两点，其法线将在空间交错，而互不相交。

设在椭球上（忽略垂线偏差的影响）A点和B点分别安置经纬仪，仪器纵轴分别与Ak

a

，BK

b

重合，则：

由A照准B→AaBK

a

法截面→AaB截线；

由B照准A→BbAK

b

法截面→BbA截线。

由上述6）可知，两法截线N

1

，N

2

空间交错，故两法截面AaBK

a

与BbAK

b

不重合。所以，两法截线AaB

r

S′

lB

b

B

a

A

N

1

A

1

B

1

B

2

N

2

o

K

a

K

b

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

97

与BbA不重合，称：

AaB与BbA为A、B两点间的相对法截弧。

AaB为A的正法截弧，B的反法截弧；

BbA为B的正法截弧，A的反法截弧；

相对法截弧通常不重合，造成在椭球面上A，B，C三个点测得的角度（各

点的正法截弧之夹角），不能构成闭合三角形。

故，有必要在两点间选一条单一的方向线——大地线，得出由大地线组成的

单一闭合三角形。

二、大地线定义及其性质

1.几个概念（微分几何概念）

1）密切平面：“包含曲线上一点处的切线和曲线上无限趋近该点的另一点”

的平面；

2）法线：曲线上“正交于切线的一切直线”；

3）主法线：曲线上“位于密切平面内的法线”；

4）曲面法线：曲面上“与一点处切平面正交的线段”。

2.大地线定义及其性质

1）定义

微分几何定义：大地线上每点的密切平面包含该点的曲面法线；

或：大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合；

或：曲面上两点间的最短线叫大地线。

2）性质

①椭球面上的大地线是一条空间双曲率曲线（子午圈和赤道是特例）；

②大地线是两点间距离最短的曲线。

3）旋转曲面上大地线的克莱劳定理

rּsinA＝C

式中：r——大地线上某点所在的平行圈半径

A——大地线在该点的大地方位角

C——常数

定理的几何意义：就旋转椭球面而言，大地线上各点的平行圈半径r与大地方位角的正弦的乘积为一常数。

由克莱劳方程可知椭球面上大地线所经历的路线。图中为大地线从赤道上D点处，以方位角A

D

出发所经

历的路线，一般不再返回到D，而是到达D′点（大地线沿子午圈：A＝0°、赤道：A＝90°才能返回原点）。

练习及作业：

1.阅读

§7.57.5.1；7.5.2

2.思考

①作图并理解相对法截弧不重合；

A

D

A

D

D

D′

C

AB

C

AB

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

98

②从几何意义上理解大地线；

③理解大地线在测量计算上的意义。

§6地面观测值归算到参考椭球面上

一、建立大地坐标系

1.基本原理

建立大地坐标系，就是确定代表地球形体的椭球的形状与大小（椭球参数）、中心的位置（定位）以及椭

球旋转轴的方向（定向）。

⑴椭球参数的确定

椭球参数是通过弧度测量求得的。

在前空间大地测量时代，（近代）弧度测量利用天文、大地、重力测量资料，求得适合于局部范围的椭球

几何参数。

进入空间大地测量时代以来，测量精度不断提高，在全球尺度上已达到几个厘米的量级。在这种精度的基

础上，以前无需考虑的地球动力学因素现在必须加以考虑。同时，空间大地测量极大发展，促进现代弧度测量

整体利用地面、空间的几何、物理大地测量数据，求得适合全球范围的几何和物理两个方面的椭球参数。

⑵椭球定位

①局部定位：在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心不必重合。

②地心定位：在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心重合。

⑶椭球定向

规定应满足双平行条件

①椭球短轴平行地球自转轴

②大地起始子午面平行于天文起始子午面

综上：

满足双平行条件，经局部定位的椭球，叫参考椭球。参考椭球上的坐标系叫参心坐标系。

满足双平行条件，经地心定位的椭球，叫总地球椭球。椭球上的坐标系叫地心坐标系。

2.参考椭球定位与定向

⑴天文坐标系

①天文坐标系的概念

参考面——重力等位面（大地水准面）；

P点的天文子午面——过P点的铅垂线，且平行地球旋转轴的平面；

本初子午面——1884年：格林威治天文台艾里中星仪所在的子午面；1968年：平均天文台子午面；

P点的天文经度——P点的天文子午面与本初子午面之间的两面角（λ）

P点的天文纬度——P点的铅垂线与地球赤道的夹角（）

天文方位角

PQ

——过P点垂线和Q点的平面，与P点的天文子午面之间的夹角。

②天文、大地坐标的比较

天文坐标大地坐标

参考面大地水准面椭球面

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

99

投影依据

重力线的切线方向

（铅垂方向）

法线方向

确定点位及方向

λ，，H常，

PQ

（实测得到）

L，B，H大，A

PQ

（计算需要）

测量中作用外业测量的基准内业计算的基准

⑵参考椭球定位与定向

①一点定位

选一个定位标准点P，用天文的方法，精确测定该点的天文坐标λ

0

，

0

，该点至另一点Q的天文方位角

0PQ

，以及该点至大地水准面的高程H正。

人为地假定参考椭球面上点P

0

的大地坐标、方位角、高程为：

L

0

＝λ

0

；B

0

＝

0

；A

0

＝

0

；H大＝H正

从而通过P点，使选定的参考椭球体与大地体的相互位置关系确定下来，P

0

点处大地水准面与参考椭球面

重合。P

0

点称为大地基准点，其定位数据称为大地基准数据。

除P

0

点外的其它点：

1）有垂线偏差（地面点对大地水准面的垂线，与对参考椭球面的法线不重合，二者夹角u为垂线偏差）

2）有大地水准面差距N。

（注：垂线偏差的大小、方向，与参考椭球的大小、形状、定位有关，故也称为相对垂线偏差）

②多点定位

多点定位是以多个点（如我国1980国家大地坐标系椭球定位，是在全国均匀地选了922个点），按∑ζ2

＝min（ζ——高程异常）解算。这样，使局部（如我国境内）椭球面与大地水准面达到最佳密合，但对于坐

标原点，大地水准面不再与椭球面相切，铅垂线与法线不重合而存在垂线偏差u。

③大地原点和大地起算数据

依据大地原点的天文观测值，通过椭球定位计算出大地原点在大地坐标系中的数据L

K

，B

K

，H

K

及至某一

相邻点的大地方位角A

K

。这些数据用来推算控制网中其它点的坐标。L

K

，B

K

，A

K

叫做大地测量基准，也叫做

大地测量起算数据，大地原点叫做大地基准点，也叫做大地起算点。

二、地面观测值化算到椭球面上

化算内容：

地面观测值椭球面元素

天文经纬度λ，大地经纬度L、B（天文测量学）

天文方位角大地方位角A

通过标石中心的方向值大地线方向

平均高程面上的长度S

0

椭球面上大地线长度S

1.天文方位角归算为大地方位角A

在地面上进行天文观测时，经纬仪的纵轴与垂线重合，因垂线与法线之间存在垂线偏差，故地面上测定的

天文方位角与大地方位角A不同。

（不加推导），给出天文方位角归算为大地方位角的公式如下：

A＝－(λ－L)sin

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

100

或：A＝－ηtan

式中：——点到另一点的天文方位角（天文观测得到）

λ，——点的天文经纬度（天文观测得到）

L——点的大地经度（推算得到）

η——垂线偏差的卯酉分量（查垂线偏差图或物理大地测量得到）

上式称拉普拉斯方程式，由它算得的方位角称拉普拉斯方位角。国家一二等大地网中，规定每隔一定间隔

测定天文经纬度和天文方位角（《控制测量学》上册P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文经纬度计

算拉普拉斯方位角，控制整个大地网的定向；2）根据天文经纬度和大地经纬度，计算这些点的垂线偏差（垂

线偏差的子午分量ξ＝－B；卯酉分量η＝(λ－L)cos），其余点的垂线偏差由物理大地测量得到。

2.方向值归算到椭球面上（三差改正）

①垂线偏差改正数δ

u

图为以测站P为中心的单位圆。

图中：P——测站

M——照准点

PZ——法线方向

PZ

1

——垂线方向

u——垂线偏差

ξ、η——垂线偏差的子午分量和卯酉分量

1——观测方向的垂直角

N——北方向

由于u存在，观测方向M时，引起方向值的改正数为δ

u

δ

u

＝－(ξsinA－ηcosA)tan1

式中：ξ、η——可从垂线偏差图内插得到

A——PM边的大地方位角

R

2

＝R

1

＋δ

u

式中R

2

——以法线为准的方向值

R

1

——以垂线为准的方向值

通常，因ξ、η很小，≈0，故δ

u

很小，只有在一二等网才规定计算此项。但在山区或垂线偏差变化较

大地区，三四等网亦应计算此项。下面给出δ

u

的数值概念：

ξ、η/″A

PM

/°

PM

/°′δ

u

/″

500300.05

1000300.10

10

315（sinA，

cosA反号）

3000.74

Z

ξ

u

Z

1

η

N

M



1

P

δu

R

1

R

2

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

101

②照准点高程引起的改正——标高差改正δ

h

如图：

——A已做过垂线偏差改正，即A点处经纬仪纵轴与椭球

面法线一致；

——A、B两点沿各自的法线在椭球面上的投影为P1、P2。

——按归算要求，地面点应沿各自的法线投影到椭球面

上，所以AB在椭球面上的方向应是P1P2的方向。

——实测由A照准B点时，法截面ABK

a

在椭球面上得到

的法截弧是P1P2′，P1P2′与P1P2的夹角δ

h

是由B点的高程引起，故应进行改正数δ

h

的计算，并将实测的P1P2′

方向归算到P1P2方向。

12

2

2

2

2

2sincos

2

ABHe

Mh











式中：M

2

——照准点的子午曲率半径

H

2

——照准点的大地高，H

2

=H常＋ζ＋v

A

1

——测站点至照准点的大地方位角

B

2

——照准点的大地纬度

表中给出δ

h

的数值概念。若：B

2

＝30°；A

12

＝45°

③正法截弧方向归算到大地线方向的改正数——截面差改正δ

g

经过δ

u

，δ

h

改正后，已经将地面观测之水平方向值，化算为椭球面上的相应法截线方向。因相对法截线

一般不重合，所以应将椭球面上法截线方向加截面差改正δ

g

，化为大地线方向。

11

222

2

1

2sincos

12

ABSe

Ng









式中：N

1

——1点处的卯酉曲率半径，以公里为单位

S——1、2点间的距离，以公里为单位

B

1

——1点的纬度

A

1

——1至2点的大地方位角

（注：相对法截弧之间的角差

11

222

2

1

2sincos

4

ABSe

N









）

δ

g

是一项很微小的改正，仅在国家一等网方向计算时顾及。

至此，归算到参考椭球面上的方向值：

L＝l＋c＋r＋δ

u

＋δ

h

＋δ

g

式中：l——测站平差值

c、r——归心改正数

δ

u

、δ

h

、δ

g

——三差改正

3.将地面测量的长度归算到参考椭球面上

①基线尺量距的归算

h

2

/m

δ

h

/″

2000.02

10000.08

40000.32

N

B

P

2

′

δ

h

A

P

2

P

1

k

a

k

b

2

δg

1

基线平均水准面

S′2

1

S0

平行椭球面的高程面

⊿S

u

u

1

u

2

法垂法垂

线线线线

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

102

1）垂线偏差对长度归算的影响

由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面；基线尺测得的长度值经倾斜改正

后，可认为是基线平均水准面上的长度值S′，首先应将其改成平行于椭球面的该高程面的长度S

0

。

假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算影响为：

















)(

2)(

12

21HH

u

h

uu

Sm

u







式中：u

1

，u

2

——1，2点处，垂线偏差在基线方向上的分量

H

1

，H

2

——1、2点的大地高

此项改正较小，且与垂线偏差分量u

1

，u

2

及两端点大地高差H

2

－H

1

有关，是否需要改正，需结合测区情

况及精度要求具体分析。

2）高程对长度归算的影响

经过垂线偏差改正后，得到平行于椭球面的基线高程面上的基线长度S

0

，其

在椭球面上的长度S为：

R

H

R

HR

S

S

mm



10

即：1

0

)1(

R

H

SSm

展开取至二次项：

)1(

2

2

0R

H

R

H

SSmm

式中：H

m

＝(H

1

＋H

2

)/2

顾及垂线偏差对长度归算的影响，地面基线长度归算到椭球面上的长度公式

为：

)()1(

12

1

0

HH

u

R

H

SSmm









②电磁波测距的归算

已知大地点Q

1

和Q

2

之间用电磁波测距仪测得的直线距离D，求大地点Q

1

和Q

2

沿法线在椭球面上的投影

点Q

1

′和Q

2

′间的大地线长度。

推导公式过程中有两点近似：

1）椭球面上两点间的大地线长度与法截线长度之差极微小，可以忽略不计；

2)两点间法截线长度，与半径为起始点曲率半径的圆弧长相差亦很微小（当S＝640km时，二者相差0.3m；

S＝200km时，二者相差0.05m），可以忽略不计。

故，所求大地线长度可以认为是半径R

A

的圆弧长。由平面三角形Q

1

Q

2

O，根据余弦定理有：

))((2

)()(

cos

21

22

2

2

1

HRHR

DHRHR

AA

AA







另：

AA

R

S

R

S

2

sin21coscos2

S0

12

H

m

S

RR

Q

2

D

Q

1

H

2

H

1

S

Q

1

′Q

2

′

R

A



o

第七章椭球面上的基本计算2006版控制测量学讲稿

103

由以上二式可得：

))((4

)(

2

sin

21

2

12

2

2

HRHR

HHD

R

S

AAA







由上式解出：

)1)(1(

)(1

2

arcsin2

21

2

12

AA

A

A

R

H

R

H

D

HH

R

D

RS









将上式按反正弦函数展开，舍去五次项，则得：

3

3

21

2

12

24

)1)(1(

)(1

A

AA

R

D

R

H

R

H

D

HH

DS









（1）

式中：H

1

，H

2

——大地高，H＝H常＋ζ（若要S的精度不低于10-6级，D＜10km时，⊿h＝H

1

－H

2

的精度须达

到0.1m，H本身的精度须达5m级）

R

A

——1点（大地方位角为A）的平均曲率半径，精度达1km即可

为某些应用及了解归算公式的几何意义，上式又可简化为：

2

32

24

2

1

A

A

m

R

D

R

H

D

D

h

DS





（2）

上式第二项是两端点高差引起的倾斜改正主项，经过此项改正，测线值已变成了平距；第三项是平均测线

高出椭球面引起的投影改正，经此项改正后，测线值已变成了弦线；第四项则是由弦长改化为弧长的改正数。

例：已知B

1

＝35°，B

2

＝35°02′，A＝30°（算得R

A

＝6366km），H

1

＝800m，H

2

＝1000m，D＝3456.789m

根据（1）式算得S＝3450.511m

根据（2）式算得S＝3450.513m

(应以（1）式结果为准，（2）式结果作为检核)

练习及作业：

1、阅读

①、教材§7.6；§7.7；§10.1；§10.2

②、梅是义、孔祥元主编《控制测量学》§6-7

2、思考

①、椭球定位的意义和基本方法；

②、地面观测值归算到参考椭球面上的内容有哪些？

③、天文方位角如何归算为大地方位角？

④、地面方向观测值如何归算为椭球面上的大地线方向？

⑤、作图并说明“三差改正”；

⑥、“三差改正”各在什么等级、何种情况下进行？

⑦、作图并理解两种地面测量的长度归算到椭球面的方法。