连续可微

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一．累次极限与重极限

例.1yxf,=















0,0

0,

1

sin

1

sin

yx

yx

x

y

y

x

例.2



















00

0

3

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf

例.3

22

222

(,)

()

xy

fxy

xyxy





，证明：0,limlim,limlim

0000





yxfyxf

yxxy

，而二重极限

yxf

y

x

,lim

0

0





不存在。

一般结论：

重极限与累次极限没有关系

重极限),(lim

),(),(

00

yxf

yxyx

与累次极限),(limlim),,(limlim

0000

yxfyxf

xxyyyyxx

均存在，则有

),(lim

),(),(

00

yxf

yxyx

=),(limlim),(limlim

0000

yxfyxf

xxyyyyxx



),(limlim),,(limlim

0000

yxfyxf

xxyyyyxx

均存在但不等，),(lim

),(),(

00

yxf

yxyx

不存在

二．多元函数的极限与连续，连续函数性质

例.4求下列极限：

（1）1

1

)0,1(),(

)(lim





yx

yx

yx

yx；（2）)ln()(lim22

)0,0(),(

yxyx

yx





;

（3）

(,)(0,0)

sin()

lim

xy

xy

x

；（4）

22

lim

x

y

xy

xxyy







；

（5）22()lim()xy

x

y

xye





。

例.5证明：极限0)(lim2

22

),(),(





x

yxyx

xy

．

例.6若yxfz,在2R上连续,且

22

lim,

xy

fxy



,证明函数f在2R上一

定有最小值点。

例.7)(xf在nR上连续,且

(1)0x时,0)(xf

(2),0c)()(xxcfcf

例.8若),(yxf在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(f，且

a

yx

yxyxf

yx









22

22

)0,0(),(

),(

lim

a

为常数。证明：

（1）),(yxf在)0,0(点连续；

（2）若1a，则),(yxf在)0,0(点连续，但不可微；

（3）若1a，则),(yxf在)0,0(点可微。

例.9函数



















0,0

0),sin(

),(

22

2222

22

yx

yxyx

yx

xy

yxf在)0,0(点是否连续?

(填是或否)；在)0,0(点是否可微?(填是或否)．

三．多元函数的全微分与偏导数

例.10有如下做法：

设),()(),(yxyxyxf其中),(yx在)0,0(点连续,则

dyyxyxyxdxyxyxyxyxdf

yx

),()(),(),()(),(),(

令0,0yx,))(0,0()0,0(dydxdf.

(1)指出上述方法的错误；

(2)写出正确的解法.

例.11设二元函数),(yxf于全平面2上可微，),(ba为平面2上给定的一点，则极限





x

bxafbxaf

x

),(),(

lim

0

。

例.12设函数),(yxf在)1,1(点可微，1)1,1(f，

2)1,1(



x

f，

3)1,1(



y

f

，