切线方程公式

三招求圆的切线方程

江西省永丰中学吴全根

求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况，而已知切线

上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线

方程呢？下面教你三招.

一、公式法可求过圆上一点的切线方程.公式如下：

①过圆x2+y2=r2上点P（x

0

,y

0

)的切线方程为x

0

x+y

0

y=r2.

②过圆（x-a)2+(y-b)2=r2上点P（x

0

,y

0

)的切线方程为（x

0

-a)(x-a)+(y

0

-b)(y-b)=r2.

③过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上点P（x

0

,y

0

)的切线方程

x

0

x+y

0

y+D

2

0

xx

+E

2

0

yy

+F=0.

点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.

（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜

率不存在时公式也适用.

（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.

例1求过点A（4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8相切的切线方程.

解一：（公式法）(4-2)2+(1+1)2=8点A（4，1）在圆上，

圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1)(y+1)=8,即x+y-5=0.

解二：（公式推导法）圆心C（2，-1）k

AC

=1过点A的切线的斜率k=-1.

所求切线方程为y-1=-1(x-4),即x+y-5=0.

二、待定系数法可求过圆外一点P(x

0

,y

0

)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k

的切线方程.此时可设圆的切线方程为y-y

0

=k(x-x

0

)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距

离等于半径”这一性质求k.

例2求过点M（2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.

解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0(倾斜角不为900）,

d=1

1

423

2







k

kk

,k=

7

24

,切线方程为24x-7y-20=0.

当倾斜角为900时，切线方程为x=2.过M点的切线方程为24x-7y-20=0或x=2.

点评：因为过圆外一点P（x

0

,y

0

）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k一

般有两个值,若k只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x

0

，应补回

来.

三、判别式法其依据是圆的切线的定义.

例3已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0，若圆C的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，

求此切线方程.

解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c分别代人圆C的方程得

2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0，或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0

直线与圆相切，上述两方程均有等根，=0，由此可得：b=3或b=-1,c=5或c=1

切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+5=0或x-y+1=0.

(2)当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±

6

)x.

点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.