正方形判定定理

加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力

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20．4正方形判定（1）

教学目的

1．掌握正方形的判定方法．

2．通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力．

3．通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美

教学设计：小结、归纳、提高

教学重点：正方形的判定方法．

教学难点：正方形判定方法的应用．

教学过程：

一．复习提问

1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？

2．正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？

二．讲解新课

我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．四条边都相等；

2．四个角都是直角．

因此，正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．

这些实际上就是判定正方形的方法．

例如图20．4．1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF

⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．

分析要证明四边形CFDE是正方形，可以先证四边形CFDE是矩形，

然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形CFDE是菱形，然后再证有

一个角是直角．

证明∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．

又∵∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，

∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），

∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

图20.4.1

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正方形的判定方法：提问：

1：对角线相等的菱形是正方形吗？

2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？

4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？

5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

三．小结：

（1）判定一个四边形为正方形的基本方法：定义法，矩形菱形法．

（2）正方形的性质较多，在证题时要灵活应用．

2．思考题：已知如图3正方形

ABCD

的边长为1，

AB

、

AD

上都有一点

P

、

Q

，如果△

APQ

周长为2，求

PCQ

度数．

四．布置作业：P118。1。2

图3

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20．4正方形（2）

教学目的：

1．掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．

2．掌握正方形的性质定理．

3．正确运用正方形的性质解题．

教学方法：小结、归纳、提高

教学重点：正方形的性质．

教学难点：正方形性质的应用．

教学过程：

一．复习提问】

1．让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质．

2．说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系．

二．讲解新课

设问：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有

什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形（写出课题）

1．正方形的定义：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

设问：正方形从定义看，它既是矩形又是菱形。哪么它又有什么性质呢？

2．正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质

的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）．

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等．

正方形性质定理2：正方形的两条对角钱相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对

角．

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角钱的性质，一个题设同时有四个结论，这

是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全．

例题讲解：例4如图3，

练习：1、课本1、2、3提问回答。

2．补充练习：如图4，已知正方形ABCD，延长

AB

到

E

，

连结

EC

，作

ECAG

于

G

，

AG

交

BC

于

F

，求证：

CEAF

．

图4

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4

小结：

2．思考题已知正方形

ABCD

的边长为4，

E

为

BC

边上一点，且

1BE

，

P

为

AC

上

一点，求

PDPE

的最小值

八、布置作业

教材P119。3

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19．2．3正方形（三）

教学目的：

1．掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．

2．掌握正方形的性质定理及判定方法

3．正确运用正方形的性质解题．

4．通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力．

教学过程：

设问：前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边

形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形

ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，

要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.（板书证明过程）

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，

但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，

考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.

由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，

G

F

E

D

C

B

A

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即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，

从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。（让学生板书证明过

程）

三．小结：重复一下判定一个四边形是正方形的思路，即一个四边形同时具有矩形和菱

形的判定条件，就可以判定这个四边形是正方形。

四．作业布置：