右手规则

§8两矢量的矢量积

定义1设矢量c是由两个矢量a与b按下列方式定出：c的模|c||a||b|sin其中

为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向

b来确定，我们把这样的矢量c叫做矢量a与b的矢量积记作ab即

cab.

从定义知矢量积有下列性质：

(1)aa0

(2)对于两个非零矢量a，b如果ab0则a//b；反之如果a//b则ab0.

定理1两矢量a与b共线的充要条件是ab0.

证当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b|sin(a、b)=0，从而ab0；

反之，当ab0时，由定义知，a=0，或b=0，或a//b，因零矢可看成与任矢量都共

线，所以总有a//b，即a与b共线.

定理2矢量积满足下面的运算律

(1)交换律abba，

(2)分配律(ab)cacbc，

(3)数因子的结合律(a)ba(b)(ab)(为数).

证（略）.

定理3设aaxiayjazkbbxibyjbzk，则ab(aybzazby)i(azbx

a

xbz)j（axbyaybx）k

证由矢量积的运算律可得

ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)

axbxiiaxbyijaxbzik

a

ybxjiaybyjjaybzjk

a

zbxkiazbykazbzkk

由于iijjkk0ijkjkikij

所以ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j（axbyaybx）k.



为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

a

ybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k

例1设a(211)b(112)计算ab

解211

112





kji

ba

2ij2kk4jii5j3k

例2已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(345)、C(247)求三角形

ABC的面积

解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积

||

2

1

sin||||

2

1

ACABAACABS

ABC





由于AB(222)AC(124)因此





421

222

kji

ACAB

4i6j2k

于是142)6(4

2

1

|264|

2

1

222



kji

ABC

S



例3设刚体以等角速度绕l轴旋转计算刚体上一点M的线速度

解刚体绕l轴旋转时我们可以用在l轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于

角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴当右手的四个手指的转向与

刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向

设点M到旋转轴l的距离为a再在l轴上任取一点O作向量rOM并以表示n

与r的夹角那么

a|r|sin

设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为

|v||n|a|n||r|sin

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v

符合右手规则因此有

vnr