椭圆柱面

关于一个柱面及其准线的形状

张先叶

【期刊名称】《高师理科学刊》

【年(卷),期】2012(000)006

【总页数】1页(P10-10)

【作者】张先叶

【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院,陕西渭南714000

【正文语种】中文

解析几何的学习中主要有两方面任务：一是由曲线或曲面的特性求方程[1-2]；另

一个是由方程判断曲线或曲面的形状、性质等[3-5].

设柱面准线为，母线垂直于准线所在平面，求柱面方程.

很多学生给出解答为：由准线方程得y2+z2=2z，即y2+（z-1）2=1.它表示一个

母线平行于x轴的圆柱面，所以所求柱面为圆柱面y2+（z-1）2=1.

上面的解答是错误的.由准线方程分析可知，x=y2+z2表示一个顶点在原点，x轴为

对称轴的旋转椭圆抛物面.x=2z表示一个过y轴的平面，平面与抛物面的交线是柱

面的准线，所以准线所在的平面不是yoz坐标面，而是平面x=2z.这时母线的方向

为该平面的法矢量方向{1，0，-2}，然后就可以按照所学的方法由准线和母线方向

来求柱面方程.具体过程为：

由可知，准线也可以表示为，由此容易看出，准线是一个圆柱面和一个与它的轴不

垂直的平面的交线，是椭圆.通过分析准线方程，可得椭圆的4个顶点为（0，0，

0），（4，0，2），（2，1，1）（2，-1，1）.对称轴为，长轴为，短轴为2，中心为

（2，0，1）.母线与椭圆所在平面垂直，所以，所求柱面为一个椭圆柱面.

学生产生错误的主要原因是对准线的形状认识不清，事实上，空间曲线形状的确定

是空间解析几何的一个难点，因此应加强此方面的训练.空间曲线的形状，可以通

过它的3个射影柱面来认识.如对于曲线从中消去x，得y2+（z-k）2=k2，则该准

线在yoz坐标面的射影柱面为圆柱面；对xoy坐标面的射影柱面为，是椭圆柱面；

在xoz坐标面的射影柱面为平面x=2kz(k≠0).该曲线为平面x=2kz(k≠0)内的一个

椭圆，该椭圆长轴长，短轴长2k，中心为（2k2，0，k）.当k=0时，平面为x=0，

是yoz坐标面，这时它与椭圆抛物面交于原点.

曲线，与曲线完全类似.若曲线为曲线则这时曲线为椭圆旋转抛物面与过对称轴的

平面的交线，交线为平面y=2kz上，与主抛物线全等（两个有相同的焦参数p的

抛物线全等），且开口方向相同的抛物线.

【相关文献】

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[2]叶晓俐.空间图形中轨迹问题的求解策略[J].数学教学研究，2009（2）：46-48

[3]李善明.一道例题的别解与引申[J].高等数学研究，2010，13（2）：39-40

[4]张玉兰.一道空间解析几何习题的别解与探析[J].科技信息，2011（12）：128

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