三角函数之间的关系

感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

同角三角函数基本关系

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:





tan

cos

sin

,1cossin22，掌握已知一个角

的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】

要点一：同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：22sincos1

(2)商数关系：

sin

tan

cos









(3)倒数关系：tancot1，sincsc1，cosc1

要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关

系式都成立；

(2)2sin是2(sin)的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

2222sin1coscos1sin，，212sincos(sincos)

2．商数关系式的变形

sin

sincostancos

tan







，。

【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．若

4

sin

5

，且是第三象限角，求cos，tan的值。

【思路点拨】由sin求

cos

，可利用公式22sincos1，同时要注意角所在的象限。

【答案】

3

5



4

3

【解析】∵

4

sin

5

，是第三象限，

∴

2

2

43

cossin1

55











，

感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

sin454

tan

cos533















。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中

如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种

结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。

举一反三：

【变式1】已知

3

sin

5

，求cos，tan的值。

【解析】因为

3

sin0

5

，所以是第三或第四象限角。

由sin2+cos2=1得

2

22

316

cos1sin1

525











。

当



是第三象限角时，cos



＜0，于是

164

cos

255



，

从而

sin353

tan

cos544















；

当



是第四象限角时，cos



＞0，于是

164

cos

255



，

从而

sin353

tan

cos544















。

类型二：利用同角关系求值

【高清课堂：同角三角函数关系公式385948例2】

例2．已知：tancot2,求：

（1）sincos的值；（2）sincos的值；

（3）sincos的值；（4）sin及cos的值

【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变

形提供了工具与方法。

【答案】（1）

1

2

（2）2（3）0（4）

22

,

22

或

22

,

22



【解析】（1）由已知

sincos

2

cossin







22sincos

2

sincos









1

sincos

2



感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

（2）2sincos12sincos112Q

sincos2

（3）2sincos12sincos110Q

sincos0

（4）由

sincos2

sincos0



















，解得

2

sin

2

2

cos

2























或

2

sin

2

2

cos

2























【总结升华】本题给出了sincos,sincos及sincos三者之间的关系，三者知一求二，在

求解的过程中关键是利用了22sincos1这个隐含条件。

举一反三：

【变式1】已知sincos2，求下列各式的值：

（1）tan



+cot



；（2）sin3－cos3。

【解析】由sincos2两边平方得

1

sincos

2

。

（1）

22sinsincos1

tancot2

cossincossincos













。

（2）3322sincos(sincos)(sinsincoscos)

2

(sincos)(1sincos)

2

。

【高清课堂：同角三角函数关系公式385948例2】

例3．已知：

1

tan

2

，求：

（1）

sincos

sin3cos









；

（2）

22

12sincos

sincos









；

（3）222sin3sincos5cos。

【解析】（1）原式=

1

1

tan11

2

1

tan37

3

2















（2）原式=





2sincos

sincostan11

sincossincossincostan13















（3）原式=

22

22

2sin3sincos5cos

sincos









感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

=

2

2

2tan3tan5

tan1









=

13

25

42

1

1

4





=

12

5



【总结升华】已知tan



的值，求关于sin



、cos



的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos



≠

0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从

而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，注意将分母的1化为

1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。

举一反三：

【变式1】已知

tan

1

tan1

A

A





，求下列各式的值.

(1)

sin3cos

;

sin9cos

AA

AA





(2)2sinsincos2AAA

【解析】

1

tan,

2

A

sin3costan35

;

sin9costan919

AAA

AAA







22

2

222

sinsincostantan13

sinsincos222.

5

sincostan1

AAAAA

AAA

AAA







类型三：利用同角关系化简三角函数式

例4．化简：

（1）

2

12sin10cos10

sin101sin10





；

（2）若

3

2

2



，化简

1cos1cos

1cos1cos











。

【思路点拨】把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。

【解析】（1）原式

2

2

(cos10sin10)

sin10cos10







|cos10sin10|cos10sin10

1

sin10cos10sin10cos10







。

（2）∵

3

2

2



，∴sin＜0，

∴原式

22(1cos)(1cos)

(1cos)(1cos)(1cos)(1cos)











22

22

(1cos)(1cos)

sinsin









|1cos||1cos|

|sin||sin|









感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

∵sin＜0，

∴原式

1cos1cos2

sinsinsin







。

【总结升华】解答此题目常用的方法有：

（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化

简的目的。

（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。

（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次

数，达到化简的目的。

举一反三：

【变式1】化简

（1）

12sincos

,2,2

sincos2

kkkZ



















；

（2）221sin21cos2；

【答案】（1）－1（2）cos2sin2

【解析】（1）原式=

2(sincos)

|sincos|

1

sincossincos















（2）原式=22cos2sin2|cos2||sin2|cos2sin2

类型四：利用同角关系证明三角恒等式

例5．求证：（1）

111

sin(1tan)cos(1)

tansincos





；

（2）

cossin2(cossin)

1sin1cos1sincos











。

【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。

【证明】（1）左边

22

2

sincossincos

sin1cos1sincos

cossincossin















2222sincossincos11

sincossincos







=右边，

∴原等式成立。

（2）左边

coscos2sinsin2(cossin)(1sincos)

1sincossincos1sincossincos











22

2(cossin)(1sincos)

1sincos2sin2cos2sincos











2

2(cossin)(1sincos)2(cossin)

(1sincos)1sincos











=右边，

∴原等式成立。

【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。

（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本

题也可从右到左证明。

举一反三：

感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！

楊老师联系电话（微信）无

【变式】求证：

cos1sin

1sincos

xx

xx







.

【解析】证法一：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

∴左边=

2

cos(1sin)cos(1sin)

(1sin)(1sin)cos

xxxx

xxx







1sin

cos

x

x



右边.

∴原式成立.

证法二：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

又∵22(1sin)(1sin)1sincoscoscosxxxxxx，

∴

cos1sin

1sincos

xx

xx







.

证法三：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

cos1sin

1sincos

xx

xx







coscos(1sin)(1sin)

(1sin)cos

xxxx

xx







22cos1sin

0

(1sin)cos

xx

xx







，

∴

cos1sin

1sincos

xx

xx







.