比的定义

数学2019·4

小学教学参考

［摘要］比例知识一直是学生学习的难点，不仅在于其形式的特殊，还在于其定义的模糊。“比”和“比值”之间的异同点非常

微妙，而且关于“比”与“除法”，比值与“分数”等概念的交叉渗透，都给学生精准把控“比”与“比例”各概念的内涵造成障碍。

［关键词］比；比例；除法；分数

［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2019）11-0043-01

数学教学第一目标是传导正确的数学概念。因此

教学之前，教师要对概念的意义了然于胸，能够客观认

识概念的表述方式和立意角度。“比的意义”是“数与代

数”单元的重点课程。笔者通过对照各版本的教材，对

比的概念的教学有了一些心得体会。

一、对比新旧教材，比与除法大有不同2011年版的数学课程标准中明确定义了数感，在其

表述中，数感与数量关系有莫大关联。比较数量关系，

惯用两种方法：一种是求差值；另一种是求倍率，其结果

称为“比”。比的概念反映出数量间几何级的大小差距，

因此比例教学有助于培养学生的数感。

旧课程标准指出，教学比例时要应用比例分配。而

修改后的则没有提出这一要求。各版教材都是通过实

例引出比的概念的，这反映了比是从生活中提炼出的数

学知识。但是不同版本的教科书对比的定义表述不尽

相同，大部分将比和除法等同起来。那比和除法有什么

区别呢？

虽然比的前项和后项之间也存在着相除的关系，比

与除法异曲同工，但能否据此就将比和除法画上等号

呢？显然不行。因为除法算式重在运算，有着强烈的结

果指向，而比只是展现一种大小倍率关系，不重结果。

从除法的意义来看，若用除法定义“比”，则会出现

以下两点悖论：两个数相除，如果平均分，就不涉及两个

同类量的比较，只是将一个量分散了，这扩大了概念的

内涵；两个数相除，如果是求一个数含有多少个另一个

数，比的前项刚好是后项的整倍数，那么两个数量的大

小均未发生变化，因此缩小了比的定义。

那么，比的意义和本质究竟是什么呢？

二、考证其本质，与度量大有关联

《文子自然》一书中记载，老子曰：“朴至大者无形

状，道至大者无度量。故天圆不中规，地方不中矩。”度

量应用十分广泛，凡事需要预算的地方就要度量。比的

来源就与度量有关。度量过程可分两类，一种是同类量

之间的度量，另一种是非同类量之间的度量。如圆周率

是长度和长度的比值，溶液的浓度是质量和质量的比

值，故它们属于同类量比值度量；而速度是距离和时间

的比值，密度是质量和体积的比值，因此属于非同类量

比值度量。可见，比是通过比值来进行度量的。

有观点认为，比可用可度量的长度、面积、体积、质

量等来间接定义不可度量的颜色、形状、质地等不可量

化值。例如，甜度无法直接测量，但是通过计算糖和水

的质量比就可以间接定义甜度。台湾数学教材中就认

为“比是两个量的对等关系”。所谓“对等关系”其实就

是，两个数量之间由于客观需要产生的一种混搭分配。

根据求比的两个量的不同属性，可将比例划分为“分配”

“包含”“互换”“密度”等四种比型。而为了方便比较和

运算，将运算结果称为“比值”。

比值用商定义的缺陷。教学“比的意义”时，区分比

和比值是难点。大部分教材都是用两项相除的商数来

定义比值，比值一般用分数表示。如果用商来定义比

值，则直接越过了两个数量之间的包含或等分关系，直

抵对等关系。例如，120瓶白酒是12瓶的10倍，若将12

瓶白酒勾兑为一缸酒，那么120瓶白酒可以勾兑多少缸？

此处应指点学生，当12瓶变为1缸时，120瓶则变为10

缸，这样既印证了对等关系，也巩固了学生对概念的理解。

某些教材里，将两数A和B的比化为A:B=

A

B∶1，在

这种形势下，令后项=1，

A

B

就彻底成为A∶B的比值。按

照度量理论，后项化为1后，比的前项

A

B

其实就是用B度

量A的值。因此求比值本身就是一个度量的过程。故

将比例后项处理为1时，

A

B

就变成了比值，这种方式能很

好地揭示比例的真义。

三、比值与分数，需细细分辨

分数具有多重意义，其中一个义项为两数的比值。

人教版教材将“比的意义”置于分数除法单元中，分数与

比的紧密联系可见一斑，但比值的重要性被掩盖和削弱

了。

通过上面的研讨，发现比值需要用分数来记录，但

是，二者又有着本质区别——比是一种数量关系，分数

是一个数值，比值则成为沟通比和分数的桥梁。

综上所述，要想让学生正确无误地理解掌握比的概

念，必须追溯历史，正本清源，从源头上澄清比的出现与

发展过程，并且和相关知识进行认真辨析，从而为学生

学习比建立一个稳固清晰的认知。

（责编罗艳）

比较之后，才能知道什么是真正的“比”

江苏苏州高新区实验小学校（215000）潘鑫

教例剖析

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