幅频特性曲线怎么画

２０１３年１１月

第３１卷第６期

合肥师范学院学报

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｆｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

ＮＯＶ￣２０１３

Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．６

绘制开环幅相频率特性曲线的教学方法研究

郑长勇

（安徽建筑大学电子与信息工程学院，安徽合肥２３０６０１）

［摘要］线性控制系统的频率分析法是自动控制原理学习中的一个重要部分，而奈奎斯特稳定判据是其中的一个重点

内容，开环幅相频率特性曲线的绘制是奈奎斯特稳定判据的基础。多年的教学经验表明，开环幅相频率特性曲线的绘制是同

学们在学习频率分析法过程中的一个难点。本文针对此现状，提出一种绘制开环幅相频率特性曲线的方法，并给出详细的绘

制步骤，并结合几个典型的例子对该方法予以详细的阐述。教学实践表明，该方法取得了良好的教学效果。

［关键词］自动控制原理；奈奎斯特曲线；开环幅相频率特性曲线

［中图分类号］ＴＮ４０ ［文献标识码］Ｂ ［文章编号］１６７４—２２７３（２Ｏｌ３）０６—００６６—０３

０ 引言

《自动控制原理》是自动化专业的一门非常重要

的专业基础课，也是自动化专业的王牌课程，同时也

是电气类、机电类等许多工科专业必须掌握的课程

之一。其主要任务是通过对控制理论知识的学习，

培养学生对控制系统的分析设计能力、工程实践能

力和创新能力ｌ】］。开环幅相曲线的绘制是《自动控

制原理》中“线性系统频域分析法”一章的教学重点，

也是学生学习的难点，它是乃奎斯特曲线绘制的基

础，只有掌握开环幅相频率特性曲线的绘制，才能

在频域中利用乃奎斯特判据判断闭环系统的稳定性

［２］。笔者在教学过程中发现许多学生在绘制开环

频率特性曲线过程中非常容易出错。

笔者参阅了相关的文献资料＿［３ ］，常见的开环

幅相频率特性曲线的绘制方法为：分析线性系统的

每个典型环节在起始处和终点处的幅频和相频，而

后将它们叠加起来，再绘制整个系统的开环幅相频

率特性曲线。该方法较为繁琐，且相位容易出错进

而导致起始点象限出错。本文结合多年的教学经

验，提出一种绘制开环幅相频率特性曲线的方法，给

出详细的绘制步骤，并结合几个典型的例题对该方

法予以详细的阐述。多年的教学实践表明，该方法

的正确使用，使学生能正确的绘制开环幅相频率特

性曲线，特别是起点和终点所处的象限，取得了良好

的教学效果。

１开环幅相频率特性曲线的绘制方法

对于任意开环频率特性可以表示为：Ｇ（ｊｃｏ）Ｈ

（ｊｃｏ）一Ｍ（ ） Ｐ ’一Ｐ（ ）＋ Ｑ（ ），其中Ｍ（ ）一｛Ｇ

（ 叫）Ｈ（ｊｗ）Ｊ表示系统的幅频特性， （∞）表示系统

的相频特性，ＰＧｏ）表示系统的实频特性，Ｑ（∞）表示

系统的虚频特性。绘制系统开环幅相频率特性曲线

的步骤可归纳如下：

步骤一开环幅相频率特性曲线起点的确定

将ｃｏ＝Ｏ＋分别代入到系统频率特性表达式中的

实部和虚部，分别求出实部及虚部的值。根据实部

和虚部的值及正负性，确定起点坐标及所处的象限。

步骤二开环幅相频率特性曲线终点的确定

将∞一＋。。分别代入到系统频率特性表达式中的

实部和虚部，分别求出实部及虚部的值。根据实部和

虚部的值及正负性，确定终点坐标及所处的象限。

步骤三 开环幅相频率特性曲线与实轴、虚轴

的交点的确定

特性曲线与实轴的交点：由Ｑ（叫）一０求出对应

的∞的值，再将叫值代入到Ｐ（ ）表达式中，得到的

值即为频率特性曲线与实轴交点的坐标；

同理，特性曲线与虚轴的交点：由Ｐ（ ）＝＝＝０求

出对应的 的值，再将∞值代入到Ｑ（∞）表达式中，

得到的值即为频率特性曲线与虚轴交点的坐标。

注：问断点的问题。随着叫的值从０开始不断

增加，系统的频率特性曲线在某一点或某些点处不

连续，特别要注意这些不连续点，参看本文开环幅相

频率特性曲线绘制举例部分中的例４。

２开环幅相频率特性曲线绘制举例

例１ 某０型单位反馈系统Ｇ（Ｓ）一

［收稿日期］２ｏ１３一Ｏ６—１Ｏ

［基金项目］安徽省教育厅自然科学重点科研项目（ＫＪ２Ｏ１３ＡＯ７１）；安徽省质量工程项目（２０１００７５７）；安徽建筑大学教学研究项目

（２ＯｌｌＴＸＯ７）

［作者简介］郑长勇（１９７８一），男，安徽金寨人，副教授，在读博士，主要研究方向：智能控制

６６

干 干 ，其中Ｋ，Ｔ１， ＞ｏ，试概略绘

制系统开环幅相曲线。

解：将ｓ一歹 代人系统开环传递函数，得到系统

的开环频率特性为：

，． 、 Ｋ Ｇ （

Ｊ ） 一 一

二 ！互 二 一

（Ｔ｝ ＋１）（ ＋１）

－二 鲁 ，其中Ｐ（ ）：＝：（７＂

１

２ ＋１）（ ＋１） ’ 。

Ｋ（１一Ｔ１ Ｔ２ 。）

（砰∞ ＋１）（ ∞ ＋１）’ Ｑ （ 叫 ）

一 ！ ±

（砰 ＋１）（ ＋１）

①确定起点，当 一０＋时，Ｐ（ ）一Ｋ、Ｑ（叫）一

０一，起点在第四象限；

②确定终点，当 一＋。。时，Ｐ（ ）一０一、Ｑ（ｃｕ）

一０一，终点在第三象限；

③与实轴、虚轴的交点

与实轴没有交点

与虚轴的交点，由Ｐ（ｃｏ）一。得叫一 ，代人

、／』１』２

Ｎ Ｑ（叫）一一 得与实轴的交点

为 ）一 等

该系统开环幅相频率特性曲线如图１所示。

，

＞０

．

图１

。ｊ

＋￡） 厂、

０ 撼 一

／＼ ＋ Ｏ

图２

例２ 某，型单位反馈系统Ｇ（Ｓ）一

日 丽，其中Ｋ，Ｔ１，Ｔ２＞０，试概略绘

制系统开环幅相曲线。

解：将ｓ＝＝＝ 代入系统开环传递函数，得到系统

的开环频率特性为：

，． 、 Ｋ Ｇ（

Ｊ 一 一

∞Ｋ（ＷｌｊｏＡ－－１）（Ｔ２ 一１） 一

∞ （砰叫。＋１）（ ∞。＋１）

—

－Ｋ

—

ｏｏ （Ｔ １ ｑ－ Ｔ２ ）－ ＦｊＫ （ －１

干

ｑ－ Ｔ１

一

Ｔ２ｏｏ２）

，其中Ｐ（叫） （Ｔｉ ＋１）（

∞ ＋１） ’ 。 、

二 ！： ±

（Ｔｉ 。＋１）（ ＋１）’

一

①确定起点，当∞一０＋时，Ｐ（ｃＵ）一一Ｋ（Ｔ ＋

）、Ｑ（ ）一一ｃ×。，起点在第三象限；

②确定终点，当 一＋∞时，Ｐ（ｅｏ）一０一、Ｑ（叫）

＝＝＝Ｏ＋，终点在第二象限；

③与实轴、虚轴的交点。与实轴的交点，由Ｑ

（∞）一０得（Ｕ一— ，代人到Ｐ（叫）一

√』１』２

得与实轴的交点为Ｐ（叫） （砰 。＋１）（Ｔｉ

∞ ＋１）何 犬寸田刚ｘ 叫

～Ｋ Ｔ１

１ ＋

与虚轴没有交点该系统开环幅相频率特性曲线

如图２所示。

例３ 已知单位反馈系统Ｇ（Ｓ）一

苦 ，其中Ｋ，ｒ，Ｔ ，Ｔｚ＞０，试概略

绘制系统开环幅相曲线。

解：将ｓ一 代人系统传递函数，得到系统的开

环频率特性为：

Ｇ（ 一 一

二 型± 二 二垦

（Ｕ。（砰 。＋１）（ ∞ ＋１）

一比ｕ（ｒ一丁１一丁２一丁１ ）＿ Ｋ（１一 ＋丁１ ＋丁２ ）

叫（砰 ＋１）（ ＣＯ２＋１）

其中Ｐ ｃｃｕ，一 专 乏 ，Ｑ ｃ∞ 一

Ｋ（１一Ｔ１ Ｔ２（Ｕ。＋Ｔ１ ＋７＂２ 。）

（Ｔ｝叫。＋１）（ ｃｃ， ＋１）

①确定起点，当∞一ｏ＋时，Ｐ（ ）一Ｋ（ｒ—Ｔ１一

Ｔ２）、Ｑ（叫）一一∞，起点在第三象限（ｒ＜Ｔ１＋Ｔ２）

６７

一

０－ ｒ￣

，

Ｔ１ ７＂２

当ｒ￣…Ｔ１＂１＂２ 点

０当ｒ＜ 时 ～ ２ ～

在第三象限；当 寺时，终点在第二象限。

当ｒ＜ 时，曲线与实轴有交点＇由 ）

＝＝＝ｏ得叫一 ；ｉ１ 三 ，代入到Ｐ 叫 ＝＝＝

毒墨 得与实轴的交点为Ｐ（∞）一 （砰 。＋１）（ 叫 ＋１）个寸 犬叶田叫火 Ⅷ

Ｋ（Ｔ】＋ ）（ｒｌ 一丁１ｒ一 ＋ ）

（Ｔ】Ｔ２一Ｔ１ｒ—Ｔ ＋ ）（Ｔ１ Ｔ２一Ｔ１ｒ—Ｔｒ２＋ ）

该系统开环幅相频率特性曲线如图３所示。

ｌ＿，

ｒ＜热 ＼

＼

Ｏ 一

＞鹣

图３

例４ 已知单位反馈系统Ｇ（ｓ）一

干 ，其中Ｋ，Ｔ＞Ｏ，试概略绘制系

统开环幅相曲线。

解：将ｓ— 代人系统传递函数，得到系统的开

环频率特性为：

Ｇ（ｊ ）Ｈ（ ）：

．

讦 Ｋ 嘶一

其中Ｐ（ ）一 （

叫。＋１）（１一（Ｕ。／ ） 、

币Ｔ — ， Ｑ （叫） 一４ （Ｔ２

（Ｕ。－１）（１一 ／∞：）’

一 （Ｔｚ ＋１）（１一 。／∞ｉ）

①确定起点，当ｃｏ＝０＋时，Ｐ（ｃｏ）一一ＫＴ、ＱＧｏ）

一一。。，起点在第三象限；

②间断点，当 一 时，曲线出现了间断

当 ＝＝＝叫 时，Ｐ（叫）一一∞、Ｑ（ ）＝＝＝一∞

当∞一叫 时，Ｐ（∞）一＋Ｃｘ。、Ｑ（∞）一＋。。

６８

③确定终点，当∞一４－∞时，Ｐ（ ）一０＋、Ｑ（叫）

一Ｏ＋，即终点在第一象限；

④与实轴或虚轴交点，该曲线与实轴或虚轴均

没有交点

该系统开环幅相频率特性曲线如图４所示。

， ．

／．．．

。

∞ＩｌＷ ．，． ： ／ ｒ．．一

．

一 口

；：＝二＝—

一 、

图４

３结束语

通过本文的论述，准确的给出了开环幅相频率

特性曲线起点和终点，从而确定了曲线所经过的象

限，避免了学生用叠加方法绘制曲线出现起点、终点

和象限容易出错的问题。文中例１、例２分别介绍

了０型、１型系统的开环幅相频率特性曲线的绘制

方法，例３讨论了ｒ与Ｔ 、Ｔ 之间大小关系不同则

曲线所经过的象限也不同，例４介绍了曲线出现间

断点的问题。掌握文中所述的绘制步骤及以上４个

例题的绘制方法，学生基本可以掌握开环幅相频率

特性曲线的绘制，为后续应用奈奎特稳定判据打下

坚实的基础。

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